精品解析：2026年山东青岛市即墨区九年级数学阶段检测（二模）

九年级数学阶段检测 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，直线切于点，、是上的点，且弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数，满足，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）. A. B. C. D. 2 9. 如图，抛物线与交于第四象限点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于，两点，且，分别为顶点．则下列结论的正确是（ ） A. B. 当时， C. 是等边三角形 D. 是等腰直角三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：______． 11. 甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示．设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 12. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球____________个． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．则反比例函数解析式为________． 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上，将线段绕点C顺时针旋转到图中的位置，点B也在格点上，连接，点D是的中点，格点E在上，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，已知四边形是菱形，，对角线，相交于点，过点作交的延长线于点，为的中点，连接交于点，连接交于点，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有______．（填序号） 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 如图，已知，求作：平行四边形．使对角线与边垂直．且点D到的距离相等． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. （1）解不等式组：，并写出整数解； （2）化简：． 18. 某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分（单位：分） 中位数（单位：分） 众数（单位：分） 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ，b＝ ，并直接把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是 （填“七年级”或“八年级”）； （3）若该校七年级有400人、八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 19. 2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗．还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以从4张贴画中任意抽取2张作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 20. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 21. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 22. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： （1）【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； （2）【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 23. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接． （1）求证： ； （2）若 ，当 满足什么条件时，四边形 为正方形？请说明理由． 24. 某黄金珠宝商店，今年4月份以前，每天的进货量与销售量均为1000克，进入4月份后，每天的进货量保持不变，因国际金价大跌走熊，市场需求量不断增加.如图是4月前后一段时期库存量(克)与销售时间(月份)之间的函数图象. （4月份以30天计算） 商品名称 金 额 A B 投资金额x（万元） x 5 x 1 5 销售收入y（万元） y1=kx (k≠0) 3 y2=ax2+bx(a≠0) 2.8 10 （1）该商店 月份开始出现供不应求的现象，4月份的平均日销售量为 克？ （2）为满足市场需求，商店准备投资20万元同时购进A、B两种新黄金产品．其中购买A、B两种新黄金产品所投资的金额与销售收入存在如图所示的函数对应关系. 请你判断商店这次投资能否盈利？ （3）在（2）的其他条件不变的情况下，商店准备投资m万元同时购进A、B两种新黄金产品，并实现最大盈利3.2万元，请求出m的值．（利润=销售收入-投资金额） 25. 已知：和如图①摆放（点与点重合），，，在同一直线上，，，，，．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当点运动到点时，点与都停止运动．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，沿过的直线翻折，点与点重合？ （2）是否存在某一时刻，使？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． （3）连接、．设面积为，求与的函数关系式； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段检测 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 4. 如图，是的直径，直线切于点，、是上的点，且弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，由弦切角定理知，由是的直径得，接着求出；再根据圆内接四边形的对角互补可以求出，而由得到，由此求出，求出． 【详解】解：如图，连接， ∵直线切于点，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查弦切角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，等边对等角等知识点．掌握弦切角定理和圆内接四边形是解题的关键． 5. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 6. 墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图为： 7. 若实数，满足，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求出，，得出函数的解析式为，即可得出函数图象经过第一、二、三象限，求解即可． 【详解】解：实数，满足， 即， ，， ，， 函数的解析式为， 此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 8. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）. A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【详解】如图所示： ∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=， ∴FM=DM×cos30°=， ∴MC=， ∴A′C=MC-MA′=-1． 故选B． 9. 如图，抛物线与交于第四象限点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于，两点，且，分别为顶点．则下列结论的正确是（ ） A. B. 当时， C. 是等边三角形 D. 是等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的表达式可知，两个抛物线的对称轴分别为直线和直线，又，则点D，E水平距离为6，且，则A错误；易求得，令，解得，，结合图象可知，当时， ，则B错误；由已知得， ，点E到的距离为，则不是等边三角形，则C错误；由点，，点D到的距离为3，，易得为等腰直角三角形，则D正确． 【详解】解：由抛物线表达式可知，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴为直线． 过点作x轴平行线分别交两条抛物线于B、C两点， 根据抛物线的对称性可得． 点D、E分别为两抛物线顶点，点D、E水平距离为， 所以，故错误，A选项错误； 因为抛物线与交于点， 将点A坐标代入可得， 解得． 令，即， 解方程可得，． 结合图象可知，当时，图象低于图象，即， 所以当时，错误，B选项错误； 由已知，点E的纵坐标为3，点A的纵坐标为， 所以点E到的距离为， 因为等边三角形三边相等且高与边的关系特殊， 所以不是等边三角形，C选项错误； 已知点，，， 点D到(平行于x轴)的距离为，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形，D选项正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，先化简二次根式，代入三角函数值，再约分，计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解： 故答案为：． 11. 甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示．设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】由扇形图得出甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可解答． 【详解】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有5人，6个的有5人，7个的有5人，8个的有5人； 乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有6人，6个的有4人，7个的有4人，8个的有6人， ∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定， ∴． 12. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球____________个． 【答案】32 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，分式方程，解题关键是要读懂题意，找出的等量关系列出方程，注意分式方程要验根． 设盒子里有白球x个，根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”列出分式方程，再进行计算，即可得出答案． 【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得： 解得：， 经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球32个． 故答案为：32． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．则反比例函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得出，，则，，得出，，连接，推出为等边三角形，得出，据此求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴，， ∴，， 连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为． 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上，将线段绕点C顺时针旋转到图中的位置，点B也在格点上，连接，点D是的中点，格点E在上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，中点在格点上，根据网格构造直角三角形，求出，进而得出扇形的圆心角的度数和半径，利用，求解即可． 【详解】解：如图：由题意可得，中点在格点上，连接， 根据网格构造直角三角形可得：，，， ∴是以为圆心，以为半径的弧， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握勾股定理，勾股定理的逆定理以及扇形、三角形面积的计算方法是解题的关键． 15. 如图，已知四边形是菱形，，对角线，相交于点，过点作交的延长线于点，为的中点，连接交于点，连接交于点，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①；根据相似三角形的判定和性质即可判定②；证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③；过点作于点，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可判定④． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， ，即， ， ， 为的中点， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故①正确； ， ， ，故②正确； 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 又，， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 如下图，过点作于点， 设菱形的边长为，则， ， ， ，， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，掌握这些知识是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 如图，已知，求作：平行四边形．使对角线与边垂直．且点D到的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作出的平分线，过点作的垂线，垂足为点，再以B为圆心、长为半径作弧，以D为圆心、长为半径作弧，两弧交点即为E，则四边形即为所作． 【详解】解：平行四边形如图所示． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. （1）解不等式组：，并写出整数解； （2）化简：． 【答案】（1），整数解为：4；（2） 【解析】 【分析】（1）解出不等式组，再确定整数解； （2）根据平方差公式，完全平方公式，同分母分式相加减即可． 【详解】解：（1）由，解得， ，解得， 不等式组的解为， 整数解为：4； （2）原式 ． 18. 某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分（单位：分） 中位数（单位：分） 众数（单位：分） 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出： ，b＝ ，并直接把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是 （填“七年级”或“八年级”）； （3）若该校七年级有400人、八年级有500人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），，补全条形图见解析 （2）七年级 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级B中，可以确定的值，根据所占百分比最大的数据是众数，可以确定的值；根据题意得到七年级等级C人数后补全条形图即可． （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用各年级总人数乘以优秀率，再求和即可得到人数． 【小问1详解】 解：七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 七年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级B中， 故七年级中位数， 由扇形图可知：即等级A所占比例最多， 八年级众数， 由题可知：七年级等级C人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：，； 【小问2详解】 解：七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级方差， 七年级成绩更好，更稳定； 故答案为：七年级 【小问3详解】 解：由图可知：样本中七、八年级的优秀率为：， 估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有人． 19. 2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗．还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以从4张贴画中任意抽取2张作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到贴画“②”和“③”的结果数有2种， ∴恰好抽到贴画“②”和“③”的概率是． 20. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 （2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 21. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】（1）甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． 【小问2详解】 解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 22. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： （1）【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； （2）【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 【答案】（1）30 （2）①，；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； （2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解 【小问1详解】 解：， ， ， 如图，取的中点O，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：30； 【小问2详解】 ①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ， ， ，， 同法（1）可得：， ， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， ， ， 故答案为：15，； ②，理由如下： ，， ， ； 【小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，， ， ， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ； 当点Q在点F的上方时，如图， ，， ， 由（2）可知，， 设， 即， 解得：， ， 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键 23. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接． （1）求证： ； （2）若 ，当 满足什么条件时，四边形 为正方形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当满足时，四边形为正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由AAS证明即可； （2）先证四边形为平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出平行四边形为矩形． 【小问1详解】 证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：当满足时，四边形为正方形，理由如下： ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ， ， ∴平行四边形为矩形． ， ， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 24. 某黄金珠宝商店，今年4月份以前，每天的进货量与销售量均为1000克，进入4月份后，每天的进货量保持不变，因国际金价大跌走熊，市场需求量不断增加.如图是4月前后一段时期库存量(克)与销售时间(月份)之间的函数图象. （4月份以30天计算） 商品名称 金 额 A B 投资金额x（万元） x 5 x 1 5 销售收入y（万元） y1=kx (k≠0) 3 y2=ax2+bx(a≠0) 2.8 10 （1）该商店 月份开始出现供不应求的现象，4月份的平均日销售量为 克？ （2）为满足市场需求，商店准备投资20万元同时购进A、B两种新黄金产品．其中购买A、B两种新黄金产品所投资的金额与销售收入存在如图所示的函数对应关系. 请你判断商店这次投资能否盈利？ （3）在（2）的其他条件不变的情况下，商店准备投资m万元同时购进A、B两种新黄金产品，并实现最大盈利3.2万元，请求出m的值．（利润=销售收入-投资金额） 【答案】（1）5，1220；（2）不能盈利；（3）10万元 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接根据图象及表中数据即可求得结果； （2）设购进B产品的金额为x万元，总销售收入为y万元，先根据题意列出y关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）设购进B产品的金额为x万元，总销售收入为y万元，，先根据题意列出y关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可. （1）该商店5月份开始出现供不应求的现象，4月份的平均日销售量为1220克； （2）设购进B产品的金额为x万元，总销售收入为y万元，由题意得 y=0.6(20－x)+(−0.2x2+3x)= −0.2x2+2.4x+12 =－0.2(x－6) 2+19.2 当x=6时，y最大=19.2＜20 ∴商店这次投资不能盈利； （3）设购进B产品的金额为x万元，总销售收入为y万元，由题意得 y=0.6(m－x)+(−0.2x2+3x)= −0.2x2+2.4x+0.6m =－0.2(x－6)2+0.6m+7.2 ∴当x=6时，y最大=0.6m+7.2 ∴0.6m+7.2 －a=3.2 ∴m=10万元. 考点：二次函数的应用 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型． 25. 已知：和如图①摆放（点与点重合），，，在同一直线上，，，，，．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当点运动到点时，点与都停止运动．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，沿过的直线翻折，点与点重合？ （2）是否存在某一时刻，使？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． （3）连接、．设面积为，求与的函数关系式； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）证明，求得，，连接，作于点，由题意得，根据等积法列式计算即可求解； （2）作于点，由题意得四边形是矩形，证明，求得； （3）证明，求得，，根据，据此计算即可求解； （4）连接，与交于点，作于点，证明是的中位线，求得，证明，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 连接，作于点， ∵沿过的直线翻折，点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：作于点， 当时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； 【小问3详解】 解：作于点， ∵，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴； 【小问4详解】 解：连接，与交于点，作于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 是的中位线， ∴， 作于点， ∴，， ∴，， ∴，， 同理，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $