湖北武汉市武钢三中2025-2026学年高一下学期五月月考数学试卷

**基本信息** 武汉市武钢三中高一下五月月考数学卷，聚焦立体几何与解三角形，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、推理能力及数学抽象，突出知识综合应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|圆锥轴截面、斜二测画法、空间线面关系、球体与圆锥表面积体积|单选基础巩固（如1题圆锥轴截面），多选综合应用（如9题正方体中点共线共面）| |填空题|3题/15分|解三角形面积、直三棱柱中点面平行、正方体表面轨迹|14题结合正方体表面动点轨迹，考查空间角与轨迹长度，体现空间观念| |解答题|5题/77分|四棱锥线面证明、三棱锥体积、三棱柱线线垂直与线面角、解三角形角与范围、四面体空间勾股定理|19题类比平面勾股定理拓展至四面体，证明垂心及面积关系，培养创新意识与推理能力|

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 五月月考试卷参考答案 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6. 【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 2．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是用斜二测画法得到的直观图，其中，， 则， 中，，， ． 3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中错误的为（   ） ①若，，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可． 【详解】对①：若，，则，因为，所以，所以①正确； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：由，可得可能平行，可能异面，③错误； 对④，若，，则，又，所以，④正确． 故选：C． 4．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该圆锥的高为，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合推得，代入所求式化简计算即得. 【详解】依题意，，设该圆锥的高为，则，. 由可得，化简得， 故. 5．在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接. 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 6．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 7．四面体中，AB⊥底面BCD，△BCD为等边三角形，AB=BC=2，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 8．如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． 10．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，判断A的真假；假设平面，可得，根据未必成立，可得假设错误，进而判断B时错误的；利用面面平行的判定定理证明平面平面，判断C的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面平面，判断D的真假. 【详解】对A：因为分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面.故A正确； 对B：假设平面成立，因为平面，所以，因为四边形为矩形，所以未必成立，所以假设错误.故B错误； 对C：因为分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 因为，平面，且，所以平面平面.故C正确； 对D：因为平面，平面，所以； 又因为四边形为矩形，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 11．如图，一个半圆柱的轴截面为矩形，点E在上底面上，连接，若，，该几何体的外接球的表面积为，则（    ） A． B． C．面积为 D．点C到平面的距离为 【答案】BD 【分析】先由外接球面积公式求出外接球的半径，即可求出半圆柱的高，然后在直角三角形中求出,再利用勾股定理求出的长度，用余弦定理、三角形面积公式求出的面积，最后利用等体积法即可求出点C到平面的距离. 【详解】由该几何体的外接球的表面积为，可知外接球的半径为， ，则，即. 如图，连接，过点E作于点F，易证平面， 由已知条件可得， ，，A错误；B正确； 由余弦定理可得， ， 的面积为，C错误； 设点C到平面ABE的距离为h， 由三棱锥与的体积相等可得，， 故，即点C到平面ABE的距离为，D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．△ABC的内角的对边分别为.已知，则△ABC的面积为__________. 【答案】 【详解】的内角的对边分别为. ， 利用正弦定理可得， 由于， 所以， 所以，则或 由于，故为锐角，所以， 由，得，解得， 所以. 13．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． 【答案】1 【分析】先证明平面，得​，再结合平面的条件，推导出，利用正方形性质确定为中点，求解． 【详解】由题意可得，，，，平面， 所以平面，又平面， 所以，作交于点（如图）， 连接，，此时平面， 在矩形中，，所以四边形是正方形，所以，， 又为的中点，所以为的中点，，因为， 所以．故答案为：1． 14．如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理进行证明； 【详解】（1）如图，连，，， 平面平面，平面    （2）平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 16、（15分）如图，在四棱锥中，，，，平面平面． （1）求证：平面； （2）设，，求三棱锥的体积． 【解答】解：（1）取的中点，连接， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，所以， 且，，平面，所以平面． （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以， 又，，所以， 因为，所以为等腰三角形， 所以， 所以， 所以． 17、（15分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 18．（17分）已知锐角△ABC三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围. 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. （2）由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 19、（17分）在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设△ABC的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为； (1)证明在底面的射影是底面三角形△ABC的垂心； (2)（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）． （ⅱ）若△ABC不是直角三角形，过点作底面△ABC的高，请直接利用的关系证明：； (3)设是△ABC内一点，点到△PAB、、△PCA的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论） 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，由线面垂直的判定定理和性质定理可证得平面，进而得出，同理可得，即可证明； （2）（ⅰ）由三角形的面积公式和余弦定理可得，再求出，即可给出、、、的关系；（ⅱ）由等体积法即可证明. （3）由等体积法可得，再由三元基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面，又平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得：， 所以在底面的射影是底面三角形的垂心. （2）（ⅰ）所以， 由余弦定理可得：， 所以 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. （ⅱ），又因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以， 所以，两边同时平方化简可得： 所以. （3）在四面体中，因为两两垂直， 故分别为面对应的高， 即，又因为， 所以，对于内任意一点，连接， 因为， 所以， 又因为，则有， 等式两边同时除以，可得， 由三元不等式可得：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 武汉市武钢三中2025级高一下学期五月月考试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中错误的为（   ） ①若，，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 A．① B．② C．③ D．④ 4．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 5．在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 7．四面体中，AB⊥底面BCD，△BCD为等边三角形，AB=BC=2，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 10．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 11．如图，一个半圆柱的轴截面为矩形，点E在上底面上，连接，若，，该几何体的外接球的表面积为，则（    ） A． B． C．面积为 D．点C到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．△ABC的内角的对边分别为.已知，则△ABC的面积为__________. 13．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． (13题图) （14题图） 14．如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面． 16、（15分）如图，在四棱锥中，，，，平面平面． （1）求证：平面； （2）设，，求三棱锥的体积． 17、（15分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 18．（17分）已知锐角△ABC三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 19、（17分）在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设△ABC的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为； (1)证明在底面的射影是底面三角形△ABC的垂心； (2)（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）． （ⅱ）若△ABC不是直角三角形，过点作底面△ABC的高，请直接利用的关系证明：； (3)设是△ABC内一点，点到△PAB、、△PCA的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $