7.2 排列（第2课时 排列的应用）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦排列的应用，涵盖无限制条件、特殊元素与位置、邻与不邻、定序问题等核心题型，从简单排队问题（如6人排成一排）入手，逐步过渡到含限制条件的复杂排列，构建由易到难的学习支架，帮助学生衔接计数原理基础与实际应用。 其亮点在于题型分类清晰，每个题型配套例题解析、规律方法总结及跟踪训练，如用捆绑法解决相邻问题（例3甲、乙相邻排法）、倍缩法处理定序问题（例4 A,B,C顺序不变排列），培养学生数学思维中的推理能力与运算能力，助力学生用数学语言表达解题逻辑，既提升学生解题技能，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

第7章　计数原理 7.2　排列 第2课时　排列的应用 【课标要求】 1.能够利用排列知识求解一些简单的实际问题. 2.掌握几种含限制条件的排列问题的解法. 题型分析·能力素养提升 【题型一】无限制条件的简单排列问题 例 1 [链接教材例6]现有6个人要排成一排照相,按下列要求各有多少种不同的排列方法. (1)排成一排; (2)6人排成前后两排,前排2人,后排4人. 解 (1)6人排成一排的所有的排列数为=720种不同的方法. (2)6人排成前后两排,可以分成两步,第一步先排前排的2人,有种不同的方法,第二步将剩余的4人排在后排,有种不同的方法,由分步计数原理可知共有=6×5×4×3×2×1=720种不同的方法. 规律方法　无限制条件排列问题的求解方法 求解无限制条件的排列问题,首先应明确是否为排列问题,二是明确完成这件事是分类还是分步,还是既要分类又要分步.根据问题的需要直接列出排列数后求解. 跟踪训练1(1)有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有多少种? (2)用1,2,3,4,5,6,7这7个数字可以组成多少个无重复数字的四位数? 解 (1)司机、售票员各有种安排方法,由分步计数原理知共有=576种不同的安排方法. (2)用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成无重复数字的四位数,就是从7个不同元素中取出4个不同元素的排列,共有=7×6×5×4=840(个). 【题型二】特殊元素与特殊位置问题 例 2 [链接教材例7](1)某停车场有两排空车位,每排4个,现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有车辆停泊,且甲、乙两车停泊在同一排,则不同的停车方案有(　　) A.288种 B.336种 C.384种 D.672种 D 解析 甲、乙两车停泊在同一排,丙、丁两车停泊在同一排时,有2种方案;丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排,另一辆单独一排,有2种方案,所以共有2+2=672种方案.故选D. (2)甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同的排法共有(　　) A.20种 B.16种 C.12种 D.8种 B 解析 因为乙和丙之间恰有2人,所以乙、丙及中间2人占据首四位或尾四位,①当乙、丙及中间2人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙、丙中间,排乙、丙有种方法,排甲有种方法,剩余两个位置两人全排列有种排法,所以有=8种方法;②当乙、丙及中间2人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙、丙中间,排乙、丙有种方法,排甲有种方法,剩余两个位置两人全排列有种排法,所以有=8种方法.由分类计数原理可知,一共有8+8=16种排法,故选B. 规律方法　特殊元素(位置)的优先排列问题的解法 对于特殊元素或特殊位置的排列问题,求解时应优先满足特殊元素或特殊位置,然后考虑其他元素或其他位置.当一个位置上安排的元素影响到另一个位置上的元素个数时,应进行分类讨论.   跟踪训练2(1)现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的4×100 m接力赛,已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒,乙不能跑第1棒,则合适的选择方法种数为(　　) A.84 B.108 C.132 D.144 B 解析 当甲跑第1棒时,则有=60种选择方法;当甲跑第4棒时,乙参加比赛,则有=24种选择方法,乙不参加比赛,则有=24种选择方法.故合适的选择方法种数为60+24+24=108.故选B. (2)用0,1,2,3,4,5这六个数字, ①能组成多少个无重复数字的四位数? ②能组成多少个无重复数字的四位奇数? ③能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数? 解 ①由题意知,因为数字中有0,0不能放在首位,先安排首位的数字,从五个非0数字中选一个,共有5种结果,余下的五个数字在三个位置进行全排列,共有种结果,由分步计数原理可知,能组成5=5×60=300个无重复数字的四位数. ②先排个位数,方法数有3种,然后排千位数,方法数有4种,剩下百位和十位任意排,方法数有种,由分步计数原理可知,能组成3×4×=144个无重复数字的四位奇数. ③分以下三种情况讨论:①首位是2,3,4,5中的一个,则其他数位可以任意排列,共有4=240(个);②首位是1,百位数字为4或5,剩余两个数位可以任意排列,共有2=24(个);③首位是1,百位数字为3,则十位上的数字为4或5,个位数字可以任意排列,共有2×3=6(个).综上所述,由分类计数原理可知,能组成240+24+6=270个无重复数字且比1 325大的四位数. 【题型三】“邻”与“不邻”问题 例 3 7人站成一排,问: (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种? (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种? (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种? 解 (1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余5人全排列,共有种排法.将甲、乙两人进行排列,有种排法.故共有=1 440种排法. (2)(方法一　间接法)7人任意排列,有种排法,甲、乙两人相邻的排法有种.故甲、乙不相邻的排法有=3 600(种). (方法二　插空法)将其余5人全排列,有种排法,5人之间及两端共有6个位置,从中任选2个位置排甲、乙两人,有种排法.故共有=3 600种排法. (3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列,有种排法,甲、乙、丙三人有种排法,故共有=720种排法. (4)(插空法)将其余4人排好,有种排法.将甲、乙、丙插入5个空中,有种排法.故共有=1 440种排法. 规律方法　元素相邻与不相邻问题的求解策略 限制条件 解题策略 元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素的排列 元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中 跟踪训练3(1)甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩,其中甲家庭有2个大人和2个小孩,乙家庭有2个大人和3个小孩,他们9人在景区门口站成一排照相,要求每个家庭的成员要站在一起,且同一家庭的大人不能相邻,则所有不同站法的种数为(　　) A.144 B.864 C.1 728 D.2 880 C 解析 甲家庭的站法有=12(种),乙家庭的站法有=72(种),最后将两个家庭的整体全排列,有=2种站法,则所有不同站法的种数为12×72×2=1 728.故选C. (2)现有7位老师(含甲、乙)排成一排拍照留念. ①求甲、乙不相邻且不在两端的概率; ②如果甲、乙之间所隔人数为3,那么共有多少种不同的排法? 解 ①7位老师(含甲、乙)随意排成一排有个等可能的基本事件,甲、乙不相邻且不在两端的事件中含有的基本事件数为,所以甲、乙不相邻且不在两端的概率为P=. ②从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种,排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体,同余下的2位老师作全排列有种,甲、乙的排列有种.由分步计数原理,得=720(种).所以甲、乙之间所隔人数为3,共有720种不同的排法. 【题型四】定序问题的解法 例 4 五个人排成一排,求满足下列条件的不同排列各有多少种. (1)A,B,C三人左中右顺序不变(不一定相邻); (2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻). 解 (1)(方法一　倍缩法)首先五个人站成一排,共有种排法,其中A,B,C三人的全排列有种排法,而A,B,C从左到右的顺序只是其中一种,所以满足条件的排法共=20(种). (方法二　空位插空法)设想有5把椅子让除A,B,C三人外的另外两人去坐,共有种方法,A,B,C三人按左中右顺序坐剩余3个空位的方法只有一种.所以满足条件的排法共有=20(种). (方法三　逐步插空法)先将A,B,C三人按顺序排好,形成4个空位,将剩余两人中的一人选一个空位坐好,有4种排法,排好的这4个人形成5个空位,最后一个人选一个空位坐好,有5种排法,由分步计数原理得,不同的排法共有4×5=20(种). (2)同(1),不过此题中A和B,C和D被指定了顺序,则满足条件的排法共=30(种). 规律方法　定序问题的解法 (1)倍缩法.对于某些特定元素的顺序固定问题,先将全部元素进行全排列,再除以定序元素的全排列,如n个不同的元素排成一排,其中m(m<n,m,n∈N*)个元素的相对顺序不变的方法共有种. (2)空位插空法.可先排无限制条件的元素,再按顺序安排特殊元素. (3)逐步插空法.可先安排特殊元素,再将无限制条件的元素逐个插入. 跟踪训练4(1)某公司为庆祝年利润实现目标,计划举行答谢联欢会,原定表演6个节目,已排成节目单,开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变,那么不同排法的种数为(　　) A.42 B.56 C.30 D.72 B 解析 增加2个互动节目后,一共有8个节目,这8个节目的不同排法有种,而原有的6个节目对应的不同排法共有种,所以不同的排法有=56(种).故选B. (2)今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列的排法总数为(　　) A.1 782 B.1 720 C.2 520 D.1 260 D 解析 同色球不加以区分可以理解为定序问题,故将这9个球排成一列的排法总数为=1 260(种).故选D. (3)某种产品的加工需要A,B,C,D,E五道工艺,其中A必须在D的前面完成(不一定相邻),其他工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B与C必须相邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有　　种. (用数字作答)  解析 先把B,C当作一个整体,将所有工艺进行排列,有种排法;将B,C进行全排列,有种排法.故此时共有种排法. 因为A必须在D的前面完成(不一定相邻),故满足条件的共有=24种排法. 24 $