7.2 第3课时 排列的综合应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦排列的综合应用，通过元素“在”与“不在”、“相邻”与“不相邻”、定序问题等题型，以典型例题为支架，从直接法、间接法到捆绑法、插空法，构建从基础到复杂的递进式学习脉络。 其亮点在于通过一题多解（如例1的元素分析法、位置优先法、间接法）培养数学思维，结合数字排列、排课表等实际情境发展数学眼光，以规范的解题步骤强化数学语言。学生能掌握多种解题策略，教师可直接用于教学提升效率。

第3课时　排列的综合应用 1 典例研析 01 课时作业 02 目录 2 01 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜元素“在”与“不在”问题 【例1】　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列， 求解下列问题. （1）甲不在首位的排法有多少种？ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 法一　把元素作为研究对象. 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置 上，有 种排法； 第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个 排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有 种排法. 根据分步计数原理，有4× 种排法. 由分类计数原理知，共有 ＋4× ＝2 160（种）排法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有 种排法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置 上，有 种排法. 由分步计数原理知，共有 ＝2 160（种）排法. 法三（间接法）　先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把 不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有 种，甲在首位的情况有 种， 所以符合要求的排法有 － ＝2 160（种）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有 种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有 种排法. 根据分步计数原理，共有 ＝1 800（种）排法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有 种排 法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 种排法. 根据分步计数原理，共有 ＝1 200（种）排法. （3）甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：间接法.总的可能情况有 种，减去甲在首位的 种排法，再减去 乙在末位的 种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了 两次，所以还需补回一次 种排法，所以共有 －2 ＋ ＝1 860 （种）排法. （4）甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 “在”与“不在”问题的解决方法 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复 的数字？ （1）六位奇数； 解：第一步，排个位，有 种排法； 第二步，排十万位，有 种排法； 第三步，排其他位，有 种排法. 故共有 ＝288个六位奇数. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）个位数字不是5的六位数； 解：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类. 第一类，当个位排0时，有 个； 第二类，当个位不排0时，有 个. 故符合题意的六位数共有 ＋ ＝504个. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）不大于4 310的四位偶数. 解：分三种情况， ①当千位上排1，3时，有 个； ②当千位上排2时，有 个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有 个； 形如41××的有 个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数. 故共有 ＋ ＋2 ＋ ＋2＝110个. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜“相邻”与“不相邻”问题 【例2】　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的 种数. （1）选其中5人排成一排； 解：从7个元素中选出5个进行排列，有 ＝2 520种排法. （2）全体站成一排，男、女各站在一起； 解：男生站在一起，有 种排法， 女生站在一起，有 种排法， 全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法， 由分步计数原理知，共有 ＝288种排法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）全体站成一排，男生不能站在一起. 解：先安排女生共有 种排法， 男生在4个女生隔成的五个空中安排共有 种排法，故共有 ＝1 440 种排法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 处理元素“相邻”与“不相邻”问题的策略 （1）元素相邻：通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其 他元素排列； （2）元素不相邻：通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排 列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空中. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两 端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（　　） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 解析： 　第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有 种摆法；第二 步：丙、丁两本书必须相邻，将丙、丁两本书视为整体，与其他两本共三 个元素全排列，有 种摆法.∴不同的摆法种数为 ＝24. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节 课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是 （　　） A. 24 B. 16 C. 8 D. 12 解析： 　根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与 化学看成一个整体，考虑其顺序，有 ＝2种情况；②将这个整体与英语 全排列，有 ＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学与物理不相邻，有 3个空位可选，有 ＝6种情况，则不同排课法的种数是2×2×6＝24. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜定序问题 【例3】　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排 列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排 列方法有 种（用数字作答）. 解析：法一（整体法）　5个元素无约束条件的全排列有 种排法，由于 字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在 上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”的排列方法有 ×2＝40（种）. 40 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二（插空法）　若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母 D，E插入这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则 有 种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有 种排法.所以不同 的排列方法有 ＋ ＝20（种）.同理，若字母A，B，C的排列顺序 为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.因此，满足条件的排列方法 有20＋20＝40（种）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 部分元素定序的排列问题的两种解法 （1）把不要求定序的元素首先排列，剩余的位置就是定序的元素，这 些定序的元素只有一种排法，所以问题就转化为不要求定序的元素有 多少种排法； （2）用“倍缩法”，有（m＋n）个元素排成一列，其中m个元素之间的 先后顺序确定不变，将这（m＋n）个元素排成一列，有 种不同的 排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素 交换顺序，有 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有 种满足条件的不同排法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1.6名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边且乙必须站在丙的左边（均 可以不相邻）的不同站法有（　　） A. 720种 B. 144种 C. 120种 D. 24种 解析： 　不同的站法有 ＝120种. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的 顺序一定，则有 个七位数符合条件. 解析：法一（直接转化法）　七个位置先安排2，4，6三个数的排法为 ，然后1，3，5，7的顺序按照要求只能是1种，由分步计数原理得符合 条件的七位数的个数为 ×1＝210. 法二（重复插空法）　先将1，3，5，7按固定顺序排好，这四个数有5个空 隙，将2插入，有5个空隙可以选择，然后再将4插入，有6个空隙可以选 择，最后将7插入，有7个空隙可以选择，所以由分步计数原理得符合条件 的七位数的个数为5×6×7＝210. 210 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 六人站成两排，甲、乙站前排，其余人站后排，排法种数为（　　） A. 24 B. 48 C. 120 D. 240 解析： 　甲、乙两人站前排，站法为 ，剩余4人站在后排，站法为 ，根据分步计数原理，总的排法种数为 ＝48. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5 位数的个数是（　　） A. 144 B. 192 C. 216 D. 240 解析： 　因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5 位数，个位上的数字只能是0或5，万位上的数字不能是0.当个位上的数字 是0时，共有 ＝120（种）可能；当个位上的数字是5时，共有 ＝96 （种）可能.因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字 且能被5整除的5位数的个数是120＋96＝216.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 （　　） A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 解析： 　先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把3人带 椅子插放在4个位置，共有 ＝24种放法.故选D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程， 如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？ 解：不考虑任何条件限制共有 种排法，其中不符合条件的有： （1）数学排在最后一节，有 种； （2）体育排在第一节，有 种. 但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况，有 种（即重复）， 故共有 －2 ＋ ＝504（种）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 课时作业 课时作业 目 录 1.6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则 不同的演讲次序共有（　　） A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 720种 解析： 　先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有 ＝120种，所以不同 的演讲次序有4×120＝480种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长和1名副组长，但甲不能当副 组长，则不同的选法种数是（　　） A. 20 B. 16 C. 10 D. 6 解析： 　不考虑限制条件有 种选法，若甲当副组长，有 种选法，故 甲不当副组长的选法有 － ＝16（种）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 把2个相同的红球、1个黄球、1个蓝球放到A，B，C三个盒子里，每个 盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为（　　） A. 18 B. 20 C. 21 D. 24 解析： 　先把4个球分成3堆，分法有4种：（红红，黄，蓝）、（红黄， 红，蓝）、（红蓝，红，黄）、（红，红，蓝黄）.前3种分法，把3堆球放 入3个盒子中，各有 种放法，最后一种分法，把3堆球放入3个盒子中， 有3种放法，所以共有 ＋3＝18＋3＝21种放法. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽.如 果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在 角音阶的同侧，则可排成这样的不同音序有（　　） A. 120种 B. 90种 C. 80种 D. 60种 解析： 　若“角”在两端，则“宫、羽”一定在“角”的同侧，此时有 2 ＝48（种）；若“角”在第二或第四个位置，则有2× × ＝24 （种）；若“角”在第三个位置，则有2· · ＝8（种），故共有48＋24 ＋8＝80（种）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（　　） A. 共有720种不同的排法 B. 男生甲排在两端且女生丙不与甲相邻的排法有192种 C. 男生甲、乙相邻且甲、乙都不与女生丙相邻的排法总数为72种 D. 男女生相间排法总数为72种 解析： 　A选项：6人全排列，有 ＝6！＝720（种），A正确；B选 项：男生甲排在两端，有2种排法.此时女生丙不与甲相邻，当甲在两端 时，丙有4个位置可选，剩下4人全排列，所以排法有2×4× ＝2×4×24 ＝192（种），B正确； √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 C选项：将男生甲、乙看成一个整体（内部有 ＝2种排法），先排女生丙 和另外3人，有 种排法，这4人排好后产生5个空位（包括两端），甲、 乙整体不与女生丙相邻，所以只能从除丙旁边的3个空位中选1个插入，有3 种选法，所以排法总数为 × ×3＝2×24×3＝144（种），C错误；D 选项：男女生相间排法有两种情况：男在前女在后和女在前男在后.当男在 前女在后时，男生全排列有 种排法，女生全排列有 种排法，所以这 种情况有 × ＝6×6＝36种排法；同理，女在前男在后也有36种排法. 所以男女生相间排法总数为2× × ＝72（种），D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百 首》《徐志摩诗集》和《戏曲论丛》7本书放在一排，则（　　） A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有 种 B. 诗集相邻的不同放法有2 种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有 种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有 种 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，戏曲书只有1本，将戏曲书放在正中间，其余6本书全 排列，所以不同放法种数为 ，故A错误；对于B，诗集共有2本，把2本 诗集看作一个整体，则7本书的不同放法种数为 ＝2 ，故B正确；对 于C，四大名著互不相邻，则只能在这4本书之间的3个空隙中放置其他 书，共有 种放法，这4本书全排列，所以不同放法种数为 ，故C正 确；对于D，四大名著可以在除两端外的5个位置中任选4个位置放置，共 有 种放法，这4本书放好后，其余3本书在剩下的3个位置上全排列，所 以不同放法种数为 ，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育 委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种. （用数字作答） 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有 ＝12（种） 方法，由分步计数原理知，共有3×12＝36（种）选法. 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个 曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有 ⁠种不同 的排法. 解析：不同排法的种数为 ＝3 600. 3 600 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶 数夹在两个奇数之间的五位数有 个. 解析：分两类：0夹在1，3之间有 种排法，0不夹在1，3之间又不在首 位有 种排法，所以一共有 ＋ ＝28（个）五位数. 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职 务具体分工. （1）若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分 工方案？ 解： 选排正、副班长有 种方法，再安排其余职务有 种方法，依 分步计数原理，知共有 ＝720（种）分工方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种 分工方案？ 解： 7人中任意分工方案有 种，其中A，B，C三人中无一人担任 正、副班长的分工方案有 种，因此A，B，C三人中至少有一人担任 正、副班长的方案有 － ＝3 600（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，要求奇数数字 不能相邻，这样的五位数的个数为（　　） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 解析： 　先排偶数数字，将2个偶数全排列，有 ＝2种排法，排好后形 成3个空位（包括两端）.再将3个奇数数字插入这3个空位，有 ＝6种排 法.根据分步计数原理，满足条件的五位数共有 × ＝2×6＝12（个）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的 有（　　） A. 若A，B两人站在一起有24种方法 B. 若A，B不相邻，有72种方法 C. 若A在B左边，有60种方法 D. 若A不站在最左边，B不站在最右边，有78种方法 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人， 一共4个元素进行全排列，由分步计数原理可知共有 ＝48种方法，所 以A不正确；对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A， B两元素插空，所以共有 ＝72种方法，所以B正确；对于C，5人全排 列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的 排法有 ＝60种方法，所以C正确；对于D，对A分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有 种，另一个是A不在最左边也不在 最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中 任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类计数原理可知共有 ＋ ＝78种方法，所以D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的 排法种数为 ⁠. 解析：甲、乙、丙等六位同学进行全排列可得有 ＝720（种）排法， 甲、乙、丙的排列有 ＝6（种）排法，因为甲、乙在丙的两侧，所以可 能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数为2× ＝240. 240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 用0，1，2，…，9十个数可组成多少个满足以下条件的且没有重复数 字的排列？ （1）五位奇数； 解： 要得到五位奇数，个位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种 取法，取定个位数字后，万位就有除这个数字和0之外的8种不同取法.万位 和个位取定后，还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选 取，共有 种不同的排列方法，因此由分步计数原理知共有5×8× ＝ 13 440（个）没有重复数字的五位奇数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）大于30 000的五位偶数. 解： 要得到偶数，个位应从0，2，4，6，8中选取，而要得到比 30 000大的五位偶数，可分两类： ①个位数字从0，2中选取，则万位可取3，4，5，6，7，8，9中任一 个，共7种选取方法，其余三个数位就有除个位和万位两个数位上的数 字之外的八个数字可以选取，共 种取法.所以共有2×7×＝4 704 （种）不同情况. ②个位数字从4，6，8中选取，则万位应从3，4，5，6，7，8，9中除 去个位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有种选法，所以共 有3×6× ＝6 048（种）不同情况. 由分类计数原理知，比30 000大的无重复数字的五位偶数的个数为4 704＋6 048＝10 752. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 设（x1，x2，x3，x4，x5）是1，2，3，4，5的一个排列，若（xi－xi＋ 1）（xi＋1－xi＋2）＜0对任意的i∈{1，2，3}恒成立，则称该排列是“交 替”的.求“交替”排列的不同种数. 解：由于（xi－xi＋1）（xi＋1－xi＋2）＜0对一切i∈{1，2，3}恒成立，于 是其排列方式只能为“小大小大小”或“大小大小大”，其中这里的 “小”与“大”指的是比相邻的数小或大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 当排列方式为“小大小大小”时，如35142，13254，…，①当1，2，3在 小，4，5在大时，排列方式有 ＝12（种）；②当1，2，4在小，3，5 在大时，必须4，5在一边，1，2，3在另一边，于是排列方式有 ＝4 （种）.因此排列方式为“小大小大小”有16种. 同理可得，当排列方式为“大小大小大”时，排列方式也有16种. 综上所述，“交替”的排列的数目是32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $