7.2 排列（第1课时 排列、排列数公式）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦排列概念、排列数公式及应用，通过课标要求导入，先提炼定义要素与公式，结合名师点睛辨析易混点，自主诊断判断题巩固基础，再以题型分析（概念判断、列举、公式应用）搭建从理解到应用的学习支架，衔接计数原理前后知识。 其亮点在于以组成两位数、机票问题等实例引导学生用数学眼光观察有序性，通过树形图列举和公式推导培养数学思维的逻辑性，用符号和公式精准表达数量关系发展数学语言。闭环设计帮助学生巩固知识，教师可系统教学提升效率。

第7章　计数原理 7.2　排列 第1课时　排列、排列数公式 【课标要求】 1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列. 2.理解排列数公式,能利用排列数公式进行计算和证明. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　排列的概念 一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 名师点睛 理解排列应注意的问题: (1)排列定义的两个要素:一是“取出元素”,二是“将元素按一定顺序排列”. (2)每一个排列不仅与选取的元素有关,而且还与元素的排列顺序有关,选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫作不同的排列,只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列. 知识点二　排列数与排列数公式 排列数的定 义及表示 一般地,从n个不同元素中取出m(n,m∈N*,m≤n)个元素的所有排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示 排列数公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N*,且m≤n) 全排列的概念 n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个不同元素的一个全排列 全排列公式 =n(n-1)(n-2)×…×3×2×1 阶乘的概念 把n(n-1)(n-2)×…×3×2×1称为n的阶乘,记作n! 排列数的阶乘式 (n,m∈N*,m≤n) 名师点睛 1.排列数=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,m≤n)的公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共有m个因数. 2.“排列”与“排列数”是两个不同的概念,“排列”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,它不是数,而是具体的一件事;而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数,它是一个数. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列.(　　) (2)圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题.(　　) (3)从1,2,3三个数字中取出两个不同数字可组成个不同的两位数.(　　) (4)7×8×9×…×15可表示为(　　) (5)的值为20.(　　) √ × √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】排列的概念及判断 例 1 (多选题)下列问题中,属于排列问题的有(　　) A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长,共有多少种不同的选取方法 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动,共有多少种不同的选取方法 C.平面上有七个点,任意三点不共线,这七个点最多可确定多少条直线 D.从四个不同的数字中任选两个组成一个两位数,共有多少个不同的两位数 AD 解析 对于A,因为两名同学担任的是正、副班长,所以是排列问题,A正确;对于B,因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关,所以不是排列问题,B错误;对于C,七个点中任取两个点,不涉及顺序问题,因此不是排列问题,C错误;对于D,四个数字中任取两个组成两位数,与顺序有关,是排列问题,D正确.故选AD. 规律方法　判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题. 跟踪训练1从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1 (a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程? 上面四个问题属于排列问题的是(　　) A.①②③④ B.②④ C.②③ D.①④ B 解析 因为加法满足交换律,所以①不是排列问题;因为除法不满足交换律,所以②是排列问题;若方程=1(a>0,b>0)表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,故③不是排列问题;在双曲线=1(a>0,b>0)中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故④是排列问题.故选B. 【题型二】排列的列举问题 例 2 [链接教材例1]写出下列问题的所有排列: (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,一共可以组成多少个? (2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列. 解 (1)由题意作“树形图”,如下. 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个. (2)由题意作“树形图”,如下. 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 规律方法　在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后按树形图写出排列. 跟踪训练2北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有　　　　种机票.  12 解析 列出每一个起点和终点的情况,如图所示. 故符合题意的机票种类有:北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→南京,共12种,故答案为12. 【题型三】排列数公式及应用 角度1利用排列数公式求值或化简 例 3 [链接教材例2](1)(多选题)下列各式中,等于n!的是(　　) A.m! B C D.n CD 解析 对于选项A,m!≠n!,故A错误.对于选项B, =(n+1)!≠n!,故B错误.对于选项C,=n!,故C正确.对于选项D,n=n·(n-1)!=n!,故D正确.故选CD. (2)计算: 解 . 跟踪训练3计算: (1)4+5; (2) 解 (1)4+5=4×4×3+5×5×4×3=348. (2)=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64. 角度2解方程或不等式 例 4 [链接教材习题7.2,T2](1)解方程:=140; (2)解不等式:3+1211 解 (1)易知所以x≥3,x∈N*.由=140, 得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x(x-1)(x-2),化简得(4x2-35x+69)(x-1)=0,解得x1=3,x2=(舍去),x3=1(舍去).所以原方程的解为x=3. (2)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11(x+1)x,化简得2x2-7x+3≤0, 即(2x-1)(x-3)≤0,所以≤x≤3.因为x≥2,且x∈N*,所以不等式的解集为{2,3}. 跟踪训练4不等式<6的解集为(　　) A.[2,8] B.(7,12) C.{x|7<x<12,x∈N} D.{8} D 解析 因为<6×,所以<6×,且3≤x≤8,x∈N, 所以(10-x)(9-x)<6, 所以(x-7)(x-12)<0,所以x=8,所以不等式<6×的解集为{8}.故选D. 角度3证明排列恒等式 例 5 [链接教材例4]证明: (1)-8+7; (2)=n2 证明 (1)左式=8!-8×7!+7×6!=8!-8!+7!=7!==右式,故等式成立. (2)左边==n(n+1)-n=(n2+n-n)=n2=右边,故等式成立. 规律方法　1.排列数公式=n(n-1)·…·(n-m+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要注意它的特点. 2.排列数公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等,在具体运用时,应注意先提取公因式再计算,同时还要注意隐含条件“m≤n,且n,m∈N*”的运用. 跟踪训练5证明:(k≤n). 证明 当k≤n时,左边==右边,所以结论成立,即(k≤n). $