精品解析：安徽马鞍山市第七中学2025-2026学年九年级下学期第三次教学质量监测九年级数学学科

2025－2026学年度第二学期九年级第三次教学质量监测 数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 81的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 9 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体中，主视图是如图的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点B的对应点E恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知关于x的分式方程的解为负数，则a的值为（ ）． A. B. C. D. 且 8. 如图，分别是边上的高，，，则的值为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 9. 已知 ，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知如图，在平行四边形中，相交于O点．E为上一点，且，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若|x|=2，则x的值为_______. 12. 某学校书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成，从中随机抽取2名参加比赛，刚好抽到1名男生与1名女生的概率是______ 13. 如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 14. 已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组： 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；（A，B，C的对应点分别为，，） （2）以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出；（，，的对应点分别为，，） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某学校组织学生参加以人工智能为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级n名学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下：已知C等级学生的成绩分别为 72，72，73，73，74，74，75，75，75，75，76，76，76，78，78 请根据以上信息，完成下列问题： （1） ， （2）扇形统计图中的值为______， （3）m的值为______， （4）抽取样本同学成绩的中位数是 ． 18. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上．轴，过点A作轴于点D连接，与相交于点C，若 （1）求k的值； （2）求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 一辆高空作业的工作示意图如图所示，支撑板距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，， （1）求主臂拐点B到的距离； （2）求吊篮的边沿点C到地面的距离（两小题结果均精确到）． （参考数据：，，） 20. 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 六、 21. 小明同学在实践课上用若干个大小相同的正方形组件进行拼接研究，规定相邻的两个正方形组件的边有两个或一个公共点，如图1，图2所示． （1）若相邻的两个正方形组件的左端点为另一个正方形的中心，如图3所示，则两个正方形组件组成的图案中有3个正方形； （ⅰ）则三个正方形组件组成的图案中有 个正方形； （ⅱ）n（）个正方形组件组成的图案中有 个正方形 （2）三个正方形组件组成的图案中最多能有 个正方形，四个正方形组件组成的图案中最多有 个正方形； （3）若正方形组件的边长为2厘米，以三个正方形组件组成的图案，最左侧的端点与最右侧的端点距离最大值为 厘米，如图4所示，若要装饰厘米的矩形，至少需要 个正方形组件． 七、 22. 已知，如图1所示：四边形，，，G为的中点，连接交于E； （1）求证：； （2）若，； ①求的长； ②如图2所示，连接，F为上一点，且，连接，求的长． 八、 23. 已知，如图1所示：抛物线与直线相交于A，B两点，A点在B点左侧，抛物线顶点为D点； （1）求A，B两点的横坐标； （2）如图2所示：过点D作平行y轴交直线于E，过点E作平行x轴交抛物线于F点，若，求a的值； （3）当时，点G，H分别为线段上两点，过G，H分别作平行于y轴的直线交抛物线于M，N，设四边形的面积为s，G，H的横坐标分别为t，；若s随t的增大而减小，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期九年级第三次教学质量监测 数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 81的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数．81是正数，其平方根为． 【详解】∵，且， ∴ 81的平方根是． 故选：B． 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，n的绝对值等于原数变为a时小数点移动的位数，原数绝对值小于1时，n为负整数，据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 3. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 4. 下列几何体中，主视图是如图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据主视图是从正面看到的图形分析即可． 【详解】解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意； B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意； C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意； D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点B的对应点E恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据折叠的性质得到，最后利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点B的对应点E恰好落在边上， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 6. 已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点在直线上的坐标满足直线解析式，得到关于的表达式，再结合求出的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵直线经过点和， ∴，， ∵， ∴ ， ∴或 解得：， 所以的值可能为． 7. 已知关于x的分式方程的解为负数，则a的值为（ ）． A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为负数结合分式有意义的条件，确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得． ∵方程的解为负数， ，即， 得； 又分式方程分母不为零， ， 即， 得； 必然满足， ∴a的取值范围是． 8. 如图，分别是边上的高，，，则的值为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，可得，即，再证明，可得，再求值即可． 【详解】解：∵分别是边上的高， ， 在和中， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ． 9. 已知 ，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式用a表示b和c，结合不等式得到a的符号，即，再结合每个选项的式子进行整理化简，分析，然后判断选项正误即可． 【详解】解：依题意，即 得， 化简得， 将代入①得， 解得， 将 代入， 得 ， 化简得 ， 解得 ， ∴ ，， ∵， ∴ ， 故A选项不符合题意； ∵， ∴ ， 故B选项符合题意； 则， ∵， ∴ ， 故C选项不符合题意； 则， ∵， ∴ ∴， 故D选项不符合题意； 10. 已知如图，在平行四边形中，相交于O点．E为上一点，且，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分及已知条件推出 ，取中点构造中位线，得出关系；过作垂线，利用含角直角三角形性质及勾股定理建立方程求解长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 取的中点，连接 ∴是的中位线 ∴ ∴ 过点作于点 在Rt 中， ∴ 设，则 ∴ 在与中，由勾股定理得： ∵ ∴ ∴ 即 解得  ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若|x|=2，则x的值为_______. 【答案】2或-2 【解析】 【分析】根据绝对值解答即可． 【详解】因为|x|=2， 所以x=2或-2， 故答案为2或-2． 【点睛】此题考查绝对值，关键是根据绝对值的定义解答． 12. 某学校书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成，从中随机抽取2名参加比赛，刚好抽到1名男生与1名女生的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，列出所有等可能的抽取结果总数，再确定满足刚好抽到1名男生与1名女生的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 所有等可能的情况有12种，其中1名男生与1名女生有6种， 所以刚好抽到1名男生与1名女生的概率是． 13. 如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示， 设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中，，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ． 14. 已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】(1) 根据三角形三边关系，结合，，是正整数的条件推导的值； (2) 先构造出最大的不存在三个数可构成三角形的集合，再根据题意得到的最小值． 【详解】（1）解： ，，，，为正整数， ， 将代入，得， 又， ， 且是整数， ； （2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长， 则其中任意从小到大排列的三个数 ，且都满足， 要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列： 取第一个数为，第二个数为， 第三个数满足，取， 第四个数满足，取， 第五个数满足，取， 第六个数需要满足， ，超出到的范围， 不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素， 当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组： 【答案】不等式组无解 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组无解． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；（A，B，C的对应点分别为，，） （2）以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出；（，，的对应点分别为，，） 【答案】（1）如图所示，即所求 （2）如图所示，即所求 【解析】 【分析】（1）本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的图形画法，解题核心是利用关于x轴对称的点的坐标特征，先求出对称点坐标，再依次连接各点； （2）本题考查平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的图形画法，解题核心是利用绕原点逆时针旋转的点的坐标变换规律，先求出旋转后点的坐标，再依次连接各点． 【小问1详解】 解：A，B，C的坐标分别为，，，则它们关于x轴对称的对应点，，的坐标为，，，在网格中描出点，，，依次连接各点，图形如答案； 【小问2详解】 解：，，的坐标为，，，则逆时针方向旋转对应点，，的坐标分别为，，，在网格中描出点，，，依次连接各点，图形如答案． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某学校组织学生参加以人工智能为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级n名学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下：已知C等级学生的成绩分别为 72，72，73，73，74，74，75，75，75，75，76，76，76，78，78 请根据以上信息，完成下列问题： （1） ， （2）扇形统计图中的值为______， （3）m的值为______， （4）抽取样本同学成绩的中位数是 ． 【答案】（1）80 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用A，D，E等级的人数之和除以其所占的百分比，即可求解； （2）360度乘以等级的人数所占的百分比，即可求解； （3）用D等级的人数除以抽取学生的人数，即可求解； （4）根据中位数的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：， 即； 【小问4详解】 解：∵共有80个数据，中位数为第40个和第41个的平均数，且第40个和第41个分别为75，76， ∴抽取样本同学成绩的中位数是． 18. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上．轴，过点A作轴于点D连接，与相交于点C，若 （1）求k的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）先设，则；由轴，得，则得，则可得点B的坐标，代入中即可求得k的值； （2）根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A在上， ∴设， ∵轴 ∴，； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴ ∴， ∴， ∵轴 ∴点B的坐标为， 把点B的坐标代入中， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵轴，轴， ∴ ∵ ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 一辆高空作业的工作示意图如图所示，支撑板距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，， （1）求主臂拐点B到的距离； （2）求吊篮的边沿点C到地面的距离（两小题结果均精确到）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点B作于点D，在中，利用锐角三角函数解答即可； （2）延长交于点G，过点C作，交于点H，则，先求出，在中，利用锐角三角函数，求出的长，即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点D， 在中，，， ∴， 即主臂拐点B到的距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点G，过点C作，交于点H，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）得：， ∴， 即吊篮的边沿点C到地面的距离为． 20. 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，且是的半径， ∴为的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，根据以及等腰三角形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据勾股定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， 在中，， ∴， 解得：． 六、 21. 小明同学在实践课上用若干个大小相同的正方形组件进行拼接研究，规定相邻的两个正方形组件的边有两个或一个公共点，如图1，图2所示． （1）若相邻的两个正方形组件的左端点为另一个正方形的中心，如图3所示，则两个正方形组件组成的图案中有3个正方形； （ⅰ）则三个正方形组件组成的图案中有 个正方形； （ⅱ）n（）个正方形组件组成的图案中有 个正方形 （2）三个正方形组件组成的图案中最多能有 个正方形，四个正方形组件组成的图案中最多有 个正方形； （3）若正方形组件的边长为2厘米，以三个正方形组件组成的图案，最左侧的端点与最右侧的端点距离最大值为 厘米，如图4所示，若要装饰厘米的矩形，至少需要 个正方形组件． 【答案】（1）7； （2）8；13 （3）； 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）观察规律：每增加1个正方形组件，图案内新增4个正方形（）； （ⅱ）列出前几项找通项即可； （2）最多正方形数量 （图1重叠拼接方式，重叠越多新增正方形越多），图1拼接：每新增1个正方形组件，图案内新增5个小正方形； （3）无重叠拼接时横向长度最大；单个正方形边长2cm，最左侧的端点与最右侧的端点距离最大值为 ． 【小问1详解】 解：（1）（ⅰ）2个组件：3个正方形； 3个组件：； （ⅱ），个数， ，个数， 可归纳通用公式： 【小问2详解】 解：2个正方形组件：3个正方形， 3个正方形组件：个正方形， 4个正方形组件：个正方形， 故两空依次：8、13． 【小问3详解】 解：单个正方形边长2cm，两个正方形时最左侧的端点与最右侧的端点距离最大值为 ，以三个正方形组件组成的图案，最左侧的端点与最右侧的端点距离最大值为， 若要装饰厘米的矩形， ，， 则至少需要个正方形组件． 七、 22. 已知，如图1所示：四边形，，，G为的中点，连接交于E； （1）求证：； （2）若，； ①求的长； ②如图2所示，连接，F为上一点，且，连接，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，G为的中点， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∵ ∴． （2）①5；② 【解析】 【分析】（1）由，G为的中点，可得，，再结合，可得垂直平分，即可证明结论； （2）①在中，可得，则，由G为的中点，可得，再由（1）可知，，可得，则，在中，即可求得的长； ②由①可得，，可证明，可得是的中点，连接，设与交于点，可得，由（1）可知，，则，可得，再证明，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． ②由①可得，， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即是的中点， 如图，连接，设与交于点， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 八、 23. 已知，如图1所示：抛物线与直线相交于A，B两点，A点在B点左侧，抛物线顶点为D点； （1）求A，B两点的横坐标； （2）如图2所示：过点D作平行y轴交直线于E，过点E作平行x轴交抛物线于F点，若，求a的值； （3）当时，点G，H分别为线段上两点，过G，H分别作平行于y轴的直线交抛物线于M，N，设四边形的面积为s，G，H的横坐标分别为t，；若s随t的增大而减小，求t的取值范围． 【答案】（1）点A的横坐标为，点B的横坐标为5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立两函数解析式，即可求解； （2）用a表示出求出点D，E，F的坐标可得，，再由，即可求解； （3）用t表示出点，，点，，可得，，从而得到，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：联立，得：， 解得：， ∴点A的横坐标为，点B的横坐标为5； 【小问2详解】 解：∵， ∴点D的坐标为， ∵平行y轴， ∴点E的横坐标为1， 把代入得：， 即点E的坐标为， ∴， ∵平行x轴， ∴点F的纵坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）， 即点F的横坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：当时，，， 如图， ∵G，H的横坐标分别为t，， ∴点，， ∵过G，H分别作平行于y轴的直线交抛物线于M，N， ∴点，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，s随t的增大而减小， ∵点G，H分别为线段上两点， ∴， ∴， ∴s随t的增大而减小，t的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $