6.3.4 空间距离的计算 课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中的空间距离计算，系统涵盖点到平面、点到直线、线面、面面及异面直线距离的向量求解方法，通过衔接空间向量及法向量知识，以转化思想构建知识支架，帮助学生形成完整知识脉络。 其亮点在于知识点提炼精准，设“名师点睛”揭示距离本质，题型分析典型（如正方体中点面距、点线距例题），规律方法总结清晰。结合数学思维（逻辑推理）与数学语言（向量表达），助力学生提升空间观念和运算能力，教师可直接用于教学，高效落实课标要求。

第6章　空间向量与立体几何 6.3.4　空间距离的计算 【课标要求】 1.能用向量方法解决点线、点面、面面的距离的计算问题. 2.通过空间中距离问题的求解,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　点到平面的距离 若P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向量,则点P到平面α的距离d= 名师点睛 1.A为平面α内的任意一点,可视题目情况灵活选择. 2.点P到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点出发的任一条斜线段AP对应的向量的数量积的绝对值. 知识点二　点到直线的距离 若P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离为d= 设e是直线l的方向向量,记φ=<,e>,则点P到直线l的距离为d=||sin φ. 名师点睛 点到直线的距离也可以这样求解:如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ= 知识点三　直线(平面)到平面的距离 1.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 2.如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 名师点睛 运用空间向量也可求异面直线间的距离.如图,设A,P分别为异面直线a,b上的点,n是与直线a,b都垂直的向量,从而异面直线a,b间的距离为d=,即为向量在向量n上的投影向量的模. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)点P到平面π的距离等于向量在法向量n上的投影长度(P0∈π).(　　) (2)线面距离公式要求直线方向向量s与平面法向量n必须满足s·n=0.(　　) (3)若平面法向量为n=(2,-1,2),点Q(0,0,0)到平面的距离一定为(　　) √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】点到平面的距离 例 1 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离. 解 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),所以=(0,1,0),=(-2,1,1),=(-1,-1,2). 设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量,点A到平面EFG的距离为d, 则所以所以 令z=1,此时n=(1,1,1),所以d=, 即点A到平面EFG的距离为. 规律方法　向量法求点面距的一般步骤 (1)求出该平面的一个法向量; (2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量; (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离,即点A到平面α的距离d=,其中B∈α,n是平面α的法向量. 跟踪训练1 在如图所示的几何体中,平面ACE⊥平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形,∠CAD=90°,EF∥BC,EF=BC,AC=2,AE=EC= (1)求证:A,D,E,F四点共面,且平面ADEF⊥平面CDE; (2)若二面角E-AC-F的大小为45°,求点D到平面ACF的距离. (1)证明 ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC.∵EF∥BC,∴EF∥AD, ∴A,D,E,F四点共面. ∵∠CAD=90°,∴AC⊥AD.∵平面ACE⊥平面ABCD,平面ACE∩平面ABCD=AC,∴AD⊥平面ACE. ∵CE⊂平面ACE,∴CE⊥AD, ∵AC=2,AE=EC=,∴CE2+AE2=AC2, ∴CE⊥AE. ∵AE∩AD=A,AD,AE⊂平面ADEF, ∴CE⊥平面ADEF. ∵CE⊂平面CDE,∴平面ADEF⊥平面CDE. (2)解 ∵平面ACE⊥平面ABCD,∠CAD=90°,∴如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,设AD=2a,则A(0,0,0),C(2,0,0),E(1,0,1),F(1,-a,1), =(2,0,0),=(1,-a,1).设平面ACF的法向量m=(x,y,z),则 取y=1,得m=(0,1,a),平面ACE的一个法向量n=(0,1,0).∵二面角E-AC-F的大小为45°, ∴cos 45°=,解得a=1.∵AD=2, ∴D(0,2,0),=(0,2,0),平面ACF的法向量m=(0,1,1), ∴点D到平面ACF的距离为d=. 【题型二】点到直线的距离 例 2 如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱AA1上,且AE=1.若点P在棱D1C1上,且P到平面B1DE的距离为,求点P到直线EB1的距离. 解 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4,0,0),B(4,4,0),B1(4,4,4),D1(0,0,4),E(4,0,1),P(0,a,4),其中0≤a≤4,则=(4,0,1),=(4,4,4),=(0,a,4).设平面B1DE的法向量为n=(x,y,z),则 令x=1,则平面B1DE的法向量n=(1,3,-4). 设P到平面B1DE的距离为d, ∴d=. 由于0≤a≤4,解得a=1, 故P(0,1,4),=(0,4,3),=(4,3,0). 设φ=<>,则cos φ=,sin φ=, ∴点P到直线EB1的距离为||·sin φ=. 规律方法　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量e. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)求a与e夹角的正弦值sin φ. (5)计算距离d=|a|sin φ. 跟踪训练2 如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,若AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离. 解 如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0), ∴=(3,0,-1),=(-3,4,0). 设<>=φ,∴cos φ==-, ∴sin φ=, ∴点P到直线BD的距离d=||·sin φ=. 【题型三】线线距、线面距和面面距 例 3 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求: (1)直线B1C到平面A1BD的距离; (2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离. 解 (1)以D为原点,DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),所以=(2,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0),所以,即CB1∥DA1.又CB1⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,所以CB1∥平面A1BD,所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离.设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1). 又=(0,2,0),所以点B1到平面A1BD的距离 d=. (2)由(1)知CB1∥平面A1BD,同理,D1B1∥平面A1BD,又B1C∩D1B1=B1,B1C,D1B1⊂平面B1CD1,所以平面A1BD∥平面B1CD1,即平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点B1到平面A1BD的距离.由(1)知,点B1到平面A1BD的距离d=,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 规律方法　用向量方法研究空间距离问题的一般步骤 (1)确定法向量. (2)选择参考向量. (3)利用公式求解. 跟踪训练3在四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=8a,SA,SC的中点分别为M,N,底面正方形的边长为4a,求DM与BN间的距离. 解 以正方形ABCD的中心O为原点建立如图所示 的空间直角坐标系,则B(2a,-2a,0),D(-2a,2a,0), 由题意知SO==2a, M(-a,-a,a),N(a,a,a),故=(-a,3a,a), =(a,-3a,a).设n=(x,y,z)为与DM和BN的公垂线在同一个方向上的向量,则·n=x-3y-z=0,·n=x-3y+z=0,令y=1,得n=(3,1,0),=(2a,2a,0),∴异面直线DM与BN间的距离d=a. $