6.3.4 空间距离的计算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间向量应用中的空间距离计算，涵盖点面、点线、异面直线等距离类型，从空间向量法基础切入，通过知识辨析明确距离转化关系，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点是结合正方体、四棱锥及航天情境典例，以直观想象构建空间模型，用数学建模将距离问题转化为向量运算，培养数学思维。步骤化教学与转化思想总结，助学生掌握方法提升推理能力，为教师提供系统资源与多样化例题。

6.3　空间向量的应用 6.3.4　空间距离的计算 必备知识 清单破 1.平面外一点到平面的距离 　　如图所示,P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向 量,则点P到平面α的距离d= .   知识点 空间距离的向量求法 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 2.直线外一点到直线的距离 如图所示,P是直线l外一点,PO⊥l,O为垂足,A是l上任意一点,设e是直线l的方向向量,记φ=<  ,e>,则cos φ= ,故点P到直线 l的距离d=| |sin φ= .   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 3.其他距离 (1)两平行直线之间的距离:在其中一条直线上取定一点,转化为直线外一点到直线的距离. (2)平行的线面、面面之间的距离:转化为平面外一点到平面的距离. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识拓展 　　异面直线间的距离: 　　如图,设A,P分别为异面直线a,b上的点,向量n与直线a,b都垂直,则异面直线a,b间的距离d = ,即为向量 在平面α的法向量n上的投影向量的模.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识辨析 1.若直线l平行于平面α,则直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l和平面α的 距离吗? 2.若平面α∥平面β,两平面α,β间的距离为d1,平面α内某条直线和平面β的距离为d2,平面α内某 点到平面β的距离为d3,则d1,d2,d3有何关系? 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 一语破的 1.不是.当直线l上一点与平面α内一点的连线垂直于平面α时,两点间的距离才是直线l与平面 α的距离. 2.d1=d2=d3.平行平面间的距离可以转化为平面内一条直线和另一平面的距离,也可转化为平 面内一点到另一平面的距离. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   1.用向量法求距离问题的两种思路 (1)转化为求向量模的问题.过已知点作已知直线或已知平面的垂线段,利用待定系数法求出 垂足的坐标,然后通过已知点坐标及垂足坐标求出表示此距离的向量的模,这是求各种距离 的通法. (2)直接套用相关公式求解.用向量法求点到直线(平面)的距离时需注意以下几点:①不必找 点在直线(平面)上的垂足以及垂线段;②可以选直线(平面)上的任意点,但一般选较易求得坐 标的特殊点;③直线的方向向量(平面的法向量)可以任取. 2.点到直线的距离的求解步骤 (1)求直线的方向向量; (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度; 关键能力 定点破 定点 1 利用空间向量求距离 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 (3)利用勾股定理求得点到直线的距离. 3.点到平面的距离的求解步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出(求出)相关点的坐标; (3)求出平面的一个法向量n; (4)找出从已知点出发的平面的任一条斜线段对应的向量u; (5)由d= 计算可得点到平面的距离. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点. (1)求点A1到直线B1E的距离; (2)求直线FC1和直线AE间的距离; (3)求直线FC1和平面AB1E的距离.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    以{ , , }为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图,   则A(1,0,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E ,F . (1)解法一:设点H满足 =λ 且A1H⊥B1E,连接DH,DB1,则 = + = +λ .易得  =(1,1,1), = ,所以 =(1,1,1)+λ = 1-λ,1-λ,1- λ ,所以H  ,所以 = . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 因为A1H⊥B1E,所以 · =0,即-λ×(-1)+(1-λ)×(-1)+ × =0,解得λ= ,所以 =  ,所以点A1到直线B1E的距离为| |= = . 解法二:易得 =(0,1,0), = , 所以点A1到直线B1E的距离为 = = . (2)易得 = , = ,所以 = ,又 与 不共线,所以C1F∥AE,所以直线 FC1和直线AE间的距离等于点F到直线AE的距离. 易得 =(1,1,0),所以直线FC1和直线AE间的距离为 = = . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 (3)由(2)知FC1∥AE,又FC1⊄平面AB1E,AE⊂平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直线FC1和平 面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离. 易得 =(0,1,1), = . 设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,得z=2,y=-2, 所以n=(1,-2,2), 又 =(-1,1,1),所以直线FC1和平面AB1E的距离为 = . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   　　解决几何体中与距离有关的探索性问题的方法与解决几何体中与空间角有关的探索性 问题的方法相同,一般通过求距离的基本方法把问题转化为求关于某个参数的方程的实数解 的问题,根据方程实数解的存在性来解决. 定点 2 利用空间向量解决与距离有关的探索性问题 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2, E为PD的中点.   (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)求PC与平面ACE所成角的正弦值; (3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为 ?若存在,确定点F的位置;若不 存在,请说明理由. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    (1)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴BC⊥AB,CD⊥AD. ∵PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB,∴BC⊥平面PAB. 又∵PA⊂平面PAB,∴PA⊥BC. ∵PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,∴CD⊥平面PAD. 又∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥CD. ∵PA⊥BC,PA⊥CD,BC∩CD=C,BC,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥平面ABCD. (2)由(1)知PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, ∴以{ , , }为正交基底,建立空间直角坐标系,如图, 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1), ∴ =(2,2,0), =(0,1,1), =(2,2,-2). 设平面ACE的法向量为m=(x,y,z), 则  取y=1,则x=-1,z=-1,∴m=(-1,1,-1). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 cos<m, >= = = , ∴PC与平面ACE所成角的正弦值为 . (3)假设存在满足题意的点F, 设F(2,t,0)(0≤t≤2). 易得 =(2,t,0), =(0,0,2), =(0,1,1). 设平面PAF的法向量为n=(a,b,c), 则 则c=0, 取a=t,则b=-2,∴n=(t,-2,0), 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 ∴点E到平面PAF的距离d= = = ,解得t=1(负值舍去),∴F(2,1,0), ∴在线段BC上存在点F,使得点E到平面PAF的距离为 ,且F为BC的中点. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 学科素养 情境破 素养 通过立体几何图形与空间向量培养直观想象、数学建模的素养 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 素养解读 1.直观想象是数学的六大核心素养中重要的一个,它是数学抽象和数学建模的基础.我们常对 生活中的实际情境进行分析,探索其本质,并通过数学抽象或数学建模将其转化为数学问题. 在用向量法解决立体几何问题的过程中,利用空间图形的特点,建立空间直角坐标系,是从直 观想象到数学建模的有效手段,常见的建立空间直角坐标系的技巧如下: (1)寻找共顶点且两两互相垂直的三条棱建系. (2)利用线面垂直、面面垂直建系. (3)利用图形中的对称关系建系(如正三棱柱、正四棱柱等本身具有明显的对称性). 2.数学建模是对实际问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建数学 模型解决问题的过程.在用向量法解决立体几何问题的过程中,“向量表示、向量运算、解 释结论”是数学建模的一个典型的解题流程,其中求出相关点或相关向量的坐标是解题的基 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 础,确定坐标的常见方式如下: (1)利用解三角形知识求出相关线段的长度,确定关键点的坐标. (2)选择适当的参数来表示动点的坐标或相关向量的坐标,然后利用题设条件求解待定参数. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例呈现 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 例题    2021年6月17日,神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接. 神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图如图1所示,半径相等的圆I1,I2,I3,I4与圆柱OO 1的底面圆分别相切于点A,B,C,D,且圆I1与I2,I2与I3,I3与I4,I4与I1分别外切,线段A1A为圆柱OO1的 母线.M为线段A1O1的中点,点N在线段CO1上,且CN=2NO1.已知圆柱OO1的底面圆的半径为2, AA1=4.  图1 (1)求证:AM∥平面BDN; 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 (2)线段AA1上是否存在一点E,使得OE⊥平面BDN?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理 由; (3)飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图如图2所示.天和核心舱可 简化为底面半径为2的圆柱O2O3,它与飞船推进舱共轴,即O,O1,O2,O3四点共线.天和核心舱舱 体两侧伸展出太阳翼,其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形,四边形PQRS为矩形. 已知飞船推进舱与天和核心舱的距离为4,即O1O2=4,且O2O3=RS=2,PS=7.在对接过程中,天和 核心舱可能会做出相对于飞船推进舱的逆时针旋转的运动,请你求出在舱体相对距离保持不 变的情况下,在舱体相对旋转过程中,直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解题思路    (1)证明:如图①,设M',N'分别是点M,N在线段AC上的射影,  图① ∴M'为AO的中点,N'为OC上靠近点O的三等分点,∴tan∠MAM'= = =4,tan∠NON'=  = =4,∴∠MAM'=∠NON',∴AM∥ON, 又AM⊄平面BDN,ON⊂平面BDN, 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 ∴AM∥平面BDN. (2)根据题意,以{ , , }为正交基底,建立如图②所示的空间直角坐标系O-xyz,   图② 则O(0,0,0),B(0,2,0),D(0,-2,0),N ,∴ =(0,4,0), = . 设E(2,0,t)(0≤t≤4),则 =(2,0,t). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 假设OE⊥平面BDN,则  ∴- + t=0,∴t= ,∴线段AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BDN,且AE= . (3)将矩形PQRS作为参照物,不妨设A1顺时针旋转α(α>0),则结合(2)中所建坐标系可得A1(2cos (-α),2sin(-α),4),即A1(2cos α,-2sin α,4),又P(10,0,8),∴ =(10-2cos α,2sin α,4). 易知平面PQRS的一个法向量为(0,1,0),记u=(0,1,0). 设直线A1P与平面PQRS所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,u>|=  = × , 当cos α=±1时,sin θ=0; 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 当-1<cos α<1时,设t=3-cos α,则t∈(2,4), ∴sin θ= × ≤ × = ×(2- )= ,当且仅当t= ,即t=2 , 即cos α=3-2 时,等号成立, 故sin θ的最大值为 ,即直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值为 . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 思维升华 　　在立体几何的学习过程中,我们不但要借助空间几何体模型认识点、线、面之间的位置 关系,将二维平面图形与三维空间图形进行类比联想,还要学会借助几何直观和空间想象感 知事物的形态与变化,利用图形来理解并梳理思路,寻找方向,可将复杂问题简单化. 　　立体几何中有多种模型,如线面平行与垂直、面面平行与垂直、二面角等相关的求解模 型,我们可以将其有意识地记忆下来,这样当遇到一个新问题时,辨认它属于哪一类模型的基 本模式,进而联想起一个已经解决了的问题,并以此为索引,在记忆存储中提取出相应的方法 来加以解决,可以起到事半功倍的效果. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 $