6.3.4 空间距离的计算（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

6.3.4　空间距离的计算 1.若O为坐标原点，＝（1，1，－2），＝（3，2，8），＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（　　） A.　　B.2　　C.　　D. 2.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点D（2，1，0）和向量m＝（4，1，2），且m⊥平面DEF，则点O到平面DEF的距离为（　　） A. B. C. D. 3.已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为（　　） A. B. C. D. 4.已知△ABC的顶点分别为A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1，3，－1），则AC边上的高BD＝（　　） A.25 B.5 C. D.1 5.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） A.5 B.8 C. D. 6.〔多选〕如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.＝（1，0，1） B.平面OBB1的一个法向量为n＝（0，1，－1） C.A1C⊥平面OBB1 D.点A到平面OBB1的距离为 7.已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（x，3，0）在平面α内，若点P（－2，1，4）到平面α的距离d＝，则x的值为　　　　. 8.在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，则O1到直线AC的距离为　　　　. 9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为　　　　. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P-BE-C的余弦值为. （1）求PD的长度； （2）求点C分别到直线PB和平面PEB的距离. 11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（　　） A. B. C. D.1 12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　. 13.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离. 14.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，求四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.4　空间距离的计算 1.D　∵＝（＋）＝（4，3，6）＝，＝（0，1，0），∴＝－＝，∴｜｜＝＝. 2.B　因为D（2，1，0），所以＝（2，1，0），又向量m＝（4，1，2），m⊥平面DEF，所以m＝（4，1，2）是平面DEF的一个法向量，所以点O到平面DEF的距离为d＝＝＝＝. 3.A　建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（1，0，0）＋（0，1，0）＋（0，0，1）＝.又＝（1，0，0），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝. 4.B　法一　设＝λ，∵＝（0，4，－3），∴＝（0，4λ，－3λ），又∵＝（4，－5，0），∴＝－＝（－4，4λ＋5，－3λ）.由·＝0，得4（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝（－4，，），∴BD＝｜｜＝5.故选B. 法二　＝（0，4，－3），＝（－4，5，0），故点B到边AC的距离即AC边上的高BD＝＝＝5. 5.C　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）.设AD＝x（x＞0），则B（x，12，0），B1（x，12，5）.设平面A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c），由n⊥，n⊥，得n·＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0，n·＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝（0，5，12）.又＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 6.BCD　由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），故A不正确；＝（1，0，0），设平面OBB1的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，得n＝（0，1，－1），故B正确；＝（0，1，－1）＝n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；连接OA（图略），＝（0，－1，0），则点A到平面OBB1的距离d＝＝＝，故D正确.故选B、C、D. 7.－1或－11　解析：连接PA（图略），由题意知＝（x＋2，2，－4），∴d＝＝，即＝，解得x＝－1或x＝－11. 8.　解析：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系.则A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0），∴＝（－2，0，2），＝（－2，3，0），记φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝2×＝. 9.a　解析：由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，a，0），A1（a，0，a），C（0，a，0），＝（a，－a，a），＝（0，－a，0），连接A1C，则A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝（1，－1，1），则两平面间的距离d＝＝＝a. 10.解：（1）如图所示，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可得D（0，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0）. 设PD＝a，则P（0，0，a）.所以＝（2，2，－a），＝（1，0，－a）. 易知平面CBE的一个法向量为n1＝（0，0，1）. 设平面PBE的法向量为n2＝（x，y，z）， 则有即 取z＝1，则x＝a，y＝－， 即n2＝（ a，－，1）. 由二面角P-BE-C的余弦值为cos＜n1，n2＞＝＝， 解得a＝2， 故PD的长度为2. （2）由（1）得，n2＝（2，－1，1），＝（2，0，0），＝（2，2，－2）， 所以点C到直线PB的距离为 ＝＝， 点C到平面PEB的距离为＝＝. 11.A　建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（0，1，0），B1（0，1，1），C1（0，0，1），则＝（，，－1），＝（0，1，0），＝（0，1，－1）.设平面ABC1的一个法向量为n＝（x，y，1），则有解得n＝（，1，1），则所求距离为＝＝. 12.　解析：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则A（4，0，0），M（2，0，4），D（0，0，0），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4），N（4，2，4）. ∴＝（2，2，0），＝（2，2，0），＝（－2，0，4），＝（－2，0，4），∴＝，＝，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝（x，y，z）是平面AMN的法向量，则解得取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝（2，－2，1）.平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.∵＝（0，4，0），∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝. 13.解：（1）建立以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示. 则P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E，F（，1，0），D（0，0，0）. 所以＝， ＝，＝， 设平面PEF的法向量n＝（x，y，z）， 则即 取x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝（2，2，3）， 所以点D到平面PEF的距离 d＝＝＝. （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC. 又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF， 所以AC∥平面PEF. 因为＝，所以点A到平面PEF的距离d＝＝＝， 所以直线AC到平面PEF的距离为. 14.解：该几何体的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO， ∵PO＝1，OM＝2，PM＝＝＝， ∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM， 又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD， 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D（－1，0，0），P（0，0，1）， 设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N（0，1，a）， ∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0. 设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z）， ＝（1，2，－1），＝（－1，2，－1），＝（0，－1，1）， ⇒ 取z＝2，则n＝（0，1，2）， 则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离d＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $