6.3.2 空间线面关系的判定（第1课时 空间向量与平行关系）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量与平行关系，系统梳理线线、线面、面面平行的向量判定方法，通过课标要求引导，结合方向向量、法向量等前置知识，以等价关系表和自主诊断题搭建学习支架，帮助学生衔接空间向量与立体几何知识脉络。 其亮点在于通过线线、线面、面面平行证明的题型分类，结合坐标法（如例1建系求向量）和基底法（如例2共面向量推理）实例，培养数学思维的推理能力与数学语言的模型观念。规律方法总结助力学生形成解题策略，既提升学生空间几何论证能力，也为教师提供结构化教学资源。

第6章　空间向量与立体几何 6.3.2　空间线面关系的判定 第1课时　空间向量与平行关系 【课标要求】 1.能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系. 2.能用向量方法证明空间线面平行的一些定理. 3.能用向量方法判定空间线面的平行关系. 要点深化·核心知识提炼 知识点　空间中直线、平面平行的向量表示 设空间两条不重合的直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个不重合的平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表: 线、面间的位置关系 与向量间的等价关系 图示 平行 线线平行 l1∥l2 l1∥l2⇔e1∥e2⇔e1=λe2,λ≠0   线面平行 l1∥α1 l1∥α1⇔e1⊥n1,且l1⊄α1⇔e1·n1=0,且l1⊄α1   面面平行 α1∥α2 α1∥α2⇔n1∥n2⇔n1=λn2,λ≠0   名师点睛 (1)用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合; (2)证明线面平行时,必须说明直线不在平面内. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) 已知e为直线l的方向向量,n1和n2分别为平面α与β的法向量,则 (1)e∥n1⇒l∥α.(　　) (2)e⊥n1⇒l∥α.(　　) × × 题型分析·能力素养提升 【题型一】利用空间向量证明直线与直线平行 例 1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,E为CP的中点,N为DE的中点,DM=DB,DA=DP=1,CD=2,求证:MN∥AP. 证明 (方法一)由题意知,直线DA,DC,DP两两垂直.以{}为正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,1),N(0,),M(,0),所以=(-1,0,1),=(-,0,),所以. 又M∉AP,故MN∥AP. (方法二)由题意可得)=)=, 又M∉AP,所以MN∥AP. 规律方法　利用空间向量证明直线与直线平行的两种思路 跟踪训练1 如图,已知四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,求证:CE∥MN. 证明 因为M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,则有, 又=-,两式相加得2,因此共线,而直线CE与MN不重合,所以CE∥MN. 【题型二】利用空间向量证明直线与平面平行 例 2 [链接教材例5]如图,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,E为AB的中点.求证:BD1∥平面A1DE. 证明 (方法一)取CD的中点F,连接FD1,BF(图略),则,所以共面.又BD1⊄平面A1DE,EA1,ED⊂平面A1DE,所以BD1∥平面A1DE. (方法二)∵平面AA1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,DD1⊥AD,DD1⊂平面AA1D1D,∴DD1⊥平面ABCD,则以{}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz(图略),则D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0).∴=(1,0,1),=(1,1,0). 设平面A1DE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 令x1=1,解得y1=-1,z1=-1,∴n1=(1,-1,-1). 又=(-1,-2,1), ∴·n1=0,即⊥n1. 又BD1⊄平面A1DE, ∴BD1∥平面A1DE. 规律方法　线面平行的判定方法一般有以下三种: (1)利用共面向量定理.设a,b为平面α内不共线的两个向量,l为直线l的方向向量,证明存在两个实数x,y,使得l=xa+yb,则l∥α. (2)转化为证明直线和平面内的某一直线平行. (3)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(此方法最常用). 跟踪训练2如图所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB, AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD,试用向量方法证明AP∥平面EFG. 证明 由题意可知底面ABCD为正方形,因为PD⊥平面ABCD,DA,DC⊂平面ABCD,所以DA,DC,DP两两垂直,如图,以{}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,则有关点及向量的坐标为P(0,0,2),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),=(-2,0,2),=(0,-1,0), =(1,1,-1).设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), 则取x=1, 可得平面EFG的一个法向量为n=(1,0,1). 所以n·=-2+0+2=0, 又AP⊄平面EFG,所以AP∥平面EFG. 【题型三】利用空间向量证明面面平行 例 3 如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:平面EFG∥平面PBC. 证明 因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,△PAD是直角三角形,所以PA⊥AD,PA⊥平面ABCD.又四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以{}为正交基底,建立空间直角坐标系(如图),则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1), F(0,1,1),G(1,2,0). 所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),=(0,2,0).设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量,则n1⊥,n1⊥,即 令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1).设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,由n2⊥,n2⊥,即令z2=1,则x2=1,y2=0,所以n2=(1,0,1), 所以n1=n2,E∉平面PBC,所以平面EFG∥平面PBC. 规律方法　1.由面面平行的判定定理,知要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可. 2.若能求出平面α,β的法向量n1,n2,则要证明α∥β,只需证明n1∥n2(常用此方法). 跟踪训练3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点.求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(2,0,0),=(0,2,1). (1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一个法向量,则 n1⊥,n1⊥,所以令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE. (2)设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量,则n2⊥,n2⊥,所以令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2). 因为n1=n2,F∉平面ADE,所以平面ADE∥平面B1C1F. $