6.3.2 空间线面关系的判定（第2课时 空间向量与垂直关系）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量与线线、线面、面面垂直关系的判定，通过复习方向向量、法向量知识，衔接向量数量积与垂直关系，搭建从向量运算到空间垂直判定的学习支架。 其亮点是以题型为载体，结合坐标法与向量运算（如例1两种证法）培养数学语言表达，自主诊断与规律总结引导抽象垂直判定方法（数学眼光），探究性问题（例4）发展逻辑推理（数学思维）。帮助学生构建空间观念，教师可高效实施教学。

第6章　空间向量与立体几何 6.3.2　空间线面关系的判定 第2课时　空间向量与垂直关系 【课标要求】 1.能用向量语言表述线线、线面、面面垂直关系. 2.能用向量方法证明空间线面垂直的一些定理. 3.能用向量方法判定空间线面的垂直关系. 要点深化·核心知识提炼 知识点　空间中直线、平面垂直的向量表示 设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表: 线、面间的位置关系 与向量间的等价关系 图示 垂 直 线线垂直 l1⊥l2 l1⊥l2⇔e1⊥e2⇔e1·e2=0   线面垂直 l1⊥α1 l1⊥α1⇔e1∥n1⇔e1=λn1,λ≠0   面面垂直 α1⊥α2 α1⊥α2⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0   名师点睛 用空间向量证明垂直的基本思路是先求出直线的方向向量或平面的法向量,再确定直线的方向向量与平面法向量之间的关系(平行或垂直),最后判定线线、线面、面面的垂直关系. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) 已知e为直线l的方向向量,n1和n2分别为平面α与β的法向量,则 (1)n1⊥n2⇒α⊥β.(　　) (2)e∥n1⇒l⊥α.(　　) (3)e⊥n1⇒l⊥α.(　　) √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】证明直线与直线垂直 例 1 [链接教材例3]如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,E,F,M分别为AP,AC,PB的中点,PA=AB=BC=1.求证:EF⊥AM. 证明 (方法一)过定点A作BC的平行线AD,易知AB,AD,AP两两垂直,以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题意得A(0,0,0),E(0,0,),F(,0),M(,0,), ∴=(,-),=(,0,),∴+0+(-)× =0,即,∴EF⊥AM. (方法二)因为=()·[)]=[)-]·[)]=-2-2)=(1+0-0+0+0-1)=0,所以,所以EF⊥AM. 规律方法　利用空间向量证明直线与直线垂直的两种思路 跟踪训练1 如图,在多面体PABCD中,∠ABC=90°,△DAB,△DBC都是等边三角形, AC=2,PB=,PB⊥平面ABC,M为PC的中点.证明:BM⊥AD. 证明 由∠ABC=90°,△DAB,△DBC都是等边三角形,AC=2,可得AB=BC=2.取AC的中点为Q(如图),则QB=QC=QA.因为DB=DC=DA,所以△QBD≌△QCD≌△QAD,所以∠DQA=∠DQC=∠DQB=90°,即DQ⊥AC,DQ⊥BQ.又AC∩BQ=Q,AC,BQ⊂平面ABC,故DQ⊥平面ABC. 因为△ABC≌△ADC,所以∠ADC=∠ABC=90°,DQ=AC=.因为PB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AB,BC⊂平面ABC,所以PB⊥AB,PB⊥BC,AB⊥BC,所以BA,BC,BP两两垂直,以{}为正交基底,建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A(2,0,0),D(1,1,-),P(0,0,),C(0,2,0),M(0,1,),所以=(-1,1,-),=(0,1,),所以=0, 则BM⊥AD. 【题型二】证明直线与平面垂直 例 2 [链接教材例6]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中点.求证:B1E⊥平面AED1. 证明 以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则A,E,D1(0,0,1),B1(1,2,1), 所以, 所以=1×0+1×+1×1=0,=1×1+1×+1×0=0,所以. 所以B1E⊥ED1,B1E⊥EA,因为ED1∩EA=E,ED1,EA⊂平面AED1,所以B1E⊥平面AED1. 规律方法　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直:①将直线的方向向量用坐标表示;②找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直. (2)利用平面的法向量:①将直线的方向向量用坐标表示;②求出平面的法向量;③判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 跟踪训练2 如图,已知直三棱柱ABC-FGE,AC=BC=4,AC⊥BC,O为BC的中点,D为侧棱BG上一点,且BD=BG,三棱柱ABC-FGE的体积为32.过点O作OQ⊥DE,垂足为点Q.求证:BQ⊥平面ACQ. 证明 由直三棱柱ABC-FGE,得CE⊥平面ABC. 又AC⊥BC,AC=BC=4,可得三棱柱ABC-FGE的体积V=AC·BC·CE=×4×4×CE=32,得CE=4. 因为三棱柱ABC-FGE为直三棱柱,所以AC⊥CE, BC⊥CE. 又AC⊥BC,所以CA,CB,CE两两垂直, 所以以{}为正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则O(0,2,0),D(0,4,1),E(0,0,4),B(0,4,0),A(4,0,0),C(0,0,0),则=(0,-4,3). 设=λ=(0,-4λ,3λ),则Q(0,4-4λ,1+3λ),故=(0,2-4λ,1+3λ).因为OQ⊥DE,所以=0,所以0-8+16λ+3+9λ=0,解得λ=,即Q(0,). 所以=(0,-),=(0,),=(4,0,0), 所以=(4,0,0)·(0,-)=0,=(0,)·(0,-)=-=0.所以BQ⊥CA,BQ⊥CQ.又因为CA⊂平面ACQ,CQ⊂平面ACQ,CA∩CQ=C,所以BQ⊥平面ACQ. 【题型三】证明平面与平面垂直 例 3 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C=CB=CA=2,AC⊥BC,D,E分别为棱C1C,B1C1的中点.证明:平面ACE⊥平面A1BD. 证明 易知CA,CB,CC1两两垂直,以{}为正交基底,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),E(0,1,2),D(0,0,1), 所以=(2,0,0),=(-2,1,2),=(2,0,1),=(0,2,-1). 设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),则 令x=-1,y=1,z=2,可得平面A1BD的一个法向量m=(-1,1,2). 设平面ACE的法向量为n=(a,b,c),则 则a=0,令b=2,则c=-1,可得平面ACE的一个法向量n=(0,2,-1).所以m·n=-1×0+1×2+2×(-1)=0, 所以m⊥n,所以平面ACE⊥平面A1BD. 规律方法　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)法向量法:证明两个平面的法向量互相垂直. 跟踪训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC, PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点,点F在PC上,且 求证:平面AEF⊥平面PCD. 证明 如图,过D作AP平行线DG,易知DA,DC,DG两两垂直,以{}为正交基底,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),E(1,0,1),所以=(0,2,0),=(-2,2,-2).因为,所以,所以(-2,2,-2)+(2,0,2)=(), 即F(),所以=(-),=(-1,0,1).设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则令x=z=1,则y=-1,所以n=(1,-1,1). 设平面PCD的法向量为m=(a,b,c),则令a=1,则b=0,c=-1, 所以m=(1,0,-1),所以n·m=1×1+0×(-1)+1×(-1)=0,所以n⊥m,所以平面AEF⊥平面PCD. 【题型四】与位置关系有关的探究性问题 例 4 [链接教材复习题,T13]如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2. (1)求证:AC⊥BF. (2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥平面BCEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. (1)证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,AF⊂平面ADEF, ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD,∴AF⊥AC. 过点A作AH⊥BC于点H(图略),则BH=1,AH=,CH=3,∴AC=2,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB. ∵AB∩AF=A,AB,AF⊂平面FAB,∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB,∴AC⊥BF. (2)解 存在.理由:由(1)知,AF,AB,AC两两垂直. 以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(-1,,2). 假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P与点B,E不重合,设=λ,则λ>0,P(). 设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z). 由=(),=(0,2,0), ⊥m,⊥m, 得 不妨取x=1,则z=,所以m=(1,0,)为平面PAC的一个法向量. 同理,可求得n=(1,,1)为平面BCEF的一个法向量. 当m·n=0,即λ=时,平面PAC⊥平面BCEF,故存在满足题意的点P, 此时. 题后反思　对于探究性问题,用向量法比较容易入手,一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在.对于线面位置关系的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论,则否定假设. 跟踪训练4 如图,平面上两个等腰直角三角形PAC和三角形ABC,AC既是△PAC的斜边又是△ABC的直角边,沿边AC折叠使得平面PAC⊥平面ABC,M为斜边AB的中点. (1)求证:AC⊥PM. (2)在线段PB上是否存在点N,使得平面CNM⊥平面PAB?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. (1)证明 如图,取AC的中点D,连接MD,PD. ∵M为AB的中点, ∴MD∥BC, 由AC⊥BC,得MD⊥AC.又△PAC为等腰直角三角形, PA⊥PC,PA=PC,∴PD⊥AC. 又MD∩PD=D,MD,PD⊂平面PMD,∴AC⊥平面PMD.又PM⊂平面PMD,∴AC⊥PM. (2)解 存在.理由如下:∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, PD⊥AC,PD⊂平面PAC,∴PD⊥平面ABC,DM⊂平面ABC,故PD⊥DM, 故以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,设AC=2, 则A(1,0,0),B(-1,2,0),C(-1,0,0),P(0,0,1),则=(1,0,1),=(-1,0,1), =(1,-2,1). 若存在点N使得平面CNM⊥平面PAB,且=λ(0≤λ≤1),则=λ=λ(-1,2,-1), 解得N(-λ,2λ,1-λ),M(0,1,0),则=(1-λ,2λ,1-λ),=(1,1,0). 设n=(x,y,z)为平面PAB的一个法向量, 则令z=1,即n=(1,1,1). 设m=(a,b,c)是平面CNM的一个法向量,则令b=1,则m=(-1,1,),∴m·n =-1+1+=0,可得λ=.∴存在点N使得平面CNM⊥平面PAB,此时. $