6.3.3 空间角的计算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间角的计算，通过握笔写字、大坝建造等生活情境导入，衔接向量知识，以情境问题、自我诊断为支架，引导学生从具体现象抽象出异面直线、线面、二面角的向量解法。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过基底法、坐标法等多解法发展数学思维，通性通法总结（如线面角四步解题）强化数学语言表达。学生提升直观想象与运算能力，教师可借助结构化资源高效教学。

6.3.3　空间角的计算 1 1.能用向量方法解决简单夹角问题（直观想象、数学运算）. 2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（直观想象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　日常生活中，很多场景中都有直线与平 面、平面与平面成一定角度的现象.例如， 如图（1），握笔写字时，如果把笔抽象成 直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一 定角度；如图（2），地球仪的地轴（即旋 转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平 桌面成一定角度；如图（3），在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图（4），很多屋顶都是二面角的形象. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【问题】　能否用向量法计算直线与直线、直线与平面、平面与平面所成 的角的大小呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则 cos θ＝｜ cos ＜u，v＞｜＝ 　 　＝ 　 　. 　 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 　两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么关系？ 提示：相等或互补. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　直线与平面所成的角 　直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线 AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝｜ cos ＜u，n＞｜ ＝ 　 　＝ 　 　. 　 　 　　提醒：（1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投 影所成的角，其范围是 ；（2）若＜u，n＞是一个锐角，则θ＝ －＜u，n＞；若＜u，n＞是一个钝角，则θ＝＜u，n＞－ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　二面角 　两个平面所成的二面角可以转化为这两个平面的法向量所成的角，如 图，向量n1⊥α，n2⊥β，则二面角α-l-β的大小为＜n1，n2＞或π－＜ n1，n2＞，若二面角α-l-β的大小为θ（0≤θ≤π），则｜ cos θ｜ ＝ ⁠. 　 　　提醒：因为两个平面法向量的方向不确定，故＜n1，n2＞∈（0， π），故二面角的平面角与＜n1，n2＞相等或互补. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝（0，－2，－1），b＝（2， 0，4），则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　因为a·b＝－4，｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，设l1与l2的夹角为 θ，所以 cos θ＝｜ cos ＜a，b＞｜＝ ＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量m，n分别是直线l的方向向量与平面α的法向量，若 cos ＜ m，n＞＝－ ，则l与α所成的角为（　　） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 解析： 　设l与α所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ ， ∴θ＝60°，故选B. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 平面α的一个法向量为n1＝ ，平面β的一个法向量为n2 ＝ ，那么平面α与平面β所成的锐二面角的平面角为 （　　） A. 120° B. 30° C. 60° D. 30°或150° 解析： 　 cos ＜n1，n2＞＝ ＝－ ，设α与β所成的锐二面角 为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝ ，所以θ＝30°. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜两异面直线所成的角 【例1】　（链接教科书第36页例7）如图所示，在四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝ AD＝1，求 PB与CD所成角的大小. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：法一　由题意知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＋ . 因为PA⊥平面ABCD，所以 · ＝ · ＝ · ＝0， 因为AB⊥AD，所以 · ＝0， 因为AB⊥BC，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1. 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 所以＜ ， ＞＝60°， 所以PB与CD所成的角为60°. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　由题意得AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图 所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）， 所以 ＝（－1，0，1）， ＝（1，－1，0）， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ . 所以＜ ， ＞＝120°， 故PB与CD所成的角为60°. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求异面直线所成的角的方法 （1）几何法：先作，再证，最后求角，即将两异面直线所成角转化到同一 个三角形中，再利用余弦定理求解； （2）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定基底的方 法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则 与 可分别作 为a，b的方向向量，则 cos θ＝ ，根据条件可以把 与 用 基底表示，再进行计算； （3）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相关点的 坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的 步骤，使过程变得更简单. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且 E1B1＝ A1B1，D1F1＝ D1C1，求异面直线BE1与DF1所成角的余弦值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：法一　设G是AB的中点，点H在A1B1上，且A1H＝ A1B1，连接AH，GH（如图），则AH∥DF1， GH∥BE1，所以∠AHG就是异面直线BE1与DF1所成的角. 不妨设正方体的棱长为4，则AG＝2，AH＝HG＝ .由 余弦定理，得 cos ∠AHG＝ ＝ ＝ ，所以异面直线BE1与DF1所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　设 ＝4a， ＝b，则｜a｜＝｜b｜且a⊥b. 因为 ＝ ＝4a， ＝－b， 所以 ＝ ＋ ＝4a＋b， ＝ ＋ ＝4a－b， 所以｜ ｜2＝｜ ｜2＝（4a）2＋b2＝17｜a｜2， · ＝（4a＋b）·（4a－b）＝15｜a｜2， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ， 即异面直线BE1与DF1所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法三　设正方体的棱长是4，以{ ， ， }为正交 基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则B（4， 4，0），E1（4，3，4），D（0，0，0），F1（0，1， 4）， 所以 ＝（0，－1，4）， ＝（0，1，4）， 所以 · ＝15，｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ， 即异面直线BE1与DF1所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜直线与平面所成的角 【例2】　（链接教科书第37页例8）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：以D为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系. 设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1， 1），A1（1，0，1），D（0，0，0）， ∴ ＝（－1，0，1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（－1，－1，0）. 设平面A1BD的一个法向量为n＝（1，x，y），直线 BC1与平面A1BD所成的角为θ. ∵n⊥ ，n⊥ ，∴n· ＝0，n· ＝0， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ∴ 解得 ∴平面A1BD的一个法向量为n＝（1，－1，－1）. ∴ cos ＜ ，n＞＝ ＝ ＝－ ， ∴ sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝ . 故直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下： 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝ ，AB＝AC＝2，AA1＝ ，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝ ，即 AB⊥AC，以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系（图略），则A（0，0，0），B1（0，2， ），C1（2，0， ），A1（0，0， ）， ＝（0，0， ）， ＝（0，2， ）， ＝（2，0， ）.设平面AB1C1的法向量为n ＝（x，y，z），则由 得 令x＝1，则y＝ 1，z＝－ ，所以n＝ .设直线AA1与平面AB1C1所成角为 θ，则 sin θ＝｜ cos ＜n， ＞｜＝ ，所以θ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜二面角 【例3】　（链接教科书第38页例9）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥ 底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC， AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA. 求二面角A-BE-D的余 弦值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：以B为原点，以直线BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立如图所示的 空间直角坐标系.则P（0，0，3），A（0，3，0），D（3，3，0）. 设平面EBD的一个法向量为n1＝（x，y，z）， 因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝（0，0，3）＋ （0，3，－3）＝ （0，2，1）， ＝（3，3，0）， 由 得 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 取z＝1，得 于是n1＝ . 又因为平面ABE的一个法向量为n2＝（1，0，0）， 所以 cos ＜n1，n2＞＝ ＝ . 故二面角A-BE-D的余弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 向量法求二面角的步骤 （1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； （2）求出两个平面的法向量n1，n2； （3）求两个法向量的夹角； （4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； （5）确定二面角的大小. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O， A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. （1）证明：O1O⊥底面ABCD； 解：证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1， 所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O， 所以O1O⊥底面ABCD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值. 解： 因为四棱柱的所有棱长都相等， 所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD. 又O1O⊥底面ABCD， 所以OB，OC，OO1两两垂直. 如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 设四棱柱的棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝ ，OC＝1， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 所以O（0，0，0），B1（ ，0，2），C1（0，1，2）， 则 ＝（ ，0，2）， ＝（0，1，2）. 平面BDD1B1的一个法向量为n＝（0，1，0）， 设平面OC1B1的法向量为m＝（x，y，z）， 则由m⊥ ，m⊥ ， 所以 取z＝－ ，则x＝2，y＝2 ， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 所以m＝（2，2 ，－ ）， 所以 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ . 即二面角C1-OB1-D的余弦值是 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若 cos ＜m， n＞＝－ ，则二面角α-l-β＝（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 　设二面角α-l-β为θ，0°≤θ≤180°，由图可知， cos θ＝ cos ＜m，n＞＝－ ，∴θ＝120°. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中 点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 60° √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∵M，N 分别为棱BC和棱CC1的中点，∴M（1，2，0），N（0，2，1），A （2，0，0），C（0，2，0）， ＝（－1，0，1）， ＝（－2，2， 0），设异面直线AC和MN所成的角为θ，则 cos θ ＝ ＝ ＝ ，又θ是锐角，∴θ＝60°. ∴异面直线AC和MN所成的角为60°，故选D. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ PA，点O，D分 别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，求直线OD与平面PBC所成角的 正弦值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系，如图， 设AB＝a，则OP＝ a，所以P（0，0， a）， C（－ a，0，0），B（0， a，0），D（－ a， 0， a）， ＝（－ a，0， a），可求得平面 PBC的法向量 n＝ ， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 所以 cos ＜ ，n＞＝ ＝ ， 设 与平面PBC所成的角为θ， 则 sin θ＝ . 故直线OD与平面PBC所成角的正弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜ a，n＞＝ ，则l与α所成的角为（　　） A. B. C. D. 解析： 　∵＜a，n＞＝ ，∴l与法向量所在直线所成锐角为 ，∴l与 α所成的角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上， ＝（0，0，2），平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，2），则二面角C- AB-O的余弦值为（　　） A. B. C. D. － 解析： 　∵点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上， ＝（0，0，2），平面ABC的法向量为n＝（2，1，2），∴ cos ＜n， ＞＝ ＝ ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 在空间四边形ABCD中，向量 ＝（0，2，－1）， ＝（－1，2， 0）， ＝（0，－2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为 （　　） A. B. C. － D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设n＝（x，y，z）是平面ABC的一个法向量n，则 即 令y＝1得n＝（2，1，2），∴｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ，故直线AD与平面ABC所成角的正弦值 为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝ 2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设CA＝CC1＝2CB＝2，则A（2，0，0），B（0，0，1），B1 （0，2，1），C1（0，2，0），所以 ＝（－2，2，1）， ＝（0， 2，－1），从而 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 如图，在底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝1.若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ，则AA1的长为 （　　） A. 3 B. C. 2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略）.设AA1＝t，则A1（1，0，t）， B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，t），∴ ＝（0，1，－ t）， ＝（－1，0，t）.∵A1B与AD1所成角的余弦值为 ，∴｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ，∴t＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D 为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间 直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A. B1的坐标为（2，2，3） B. ＝（0，－2，3） C. 平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2） D. 二面角B-A1C1-B1的余弦值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（0，2，3），B（2， 2，0），B1（2，2，3），C1（2，0，3），所以 ＝（0，－2，3）， ＝（2，0，－3），故A、B正确；设平面A1BC1的法向量为m＝（x， y，z），所以 则 令x＝－3，则y＝－3，z ＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为m＝（－3，－3，－2），故C错误； 由几何体知识易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝（0，0，1），所以 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝－ ，结合图形可知二面角B-A1C1-B1 的余弦值为 ，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2， 4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为 ⁠. 解析：∵ ＝（2，－2，－1）， ＝（－2，－3，－3），∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴直线AB，CD所成角的余弦 值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD， 则异面直线AC与BF所成的角等于 ⁠. 解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则 A（0，0，0），C（1，1，0），F（0，0，1），B（0， 1，0）.∴ ＝（1，1，0）， ＝（0，－1，1），∴｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， · ＝－1，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝－ ，∴＜ ， ＞＝120°. 又∵异面直线所成的角θ的取值范围为0°＜θ≤90°， ∴AC与BF所成的角为60°. 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于 底面ABC，SA＝3，则直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 ⁠. 解析：如图所示，以A为原点，分别以AB，AS所在直线为x 轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，易知S（0，0，3），B （2，0，0），C（1， ，0）.设平面SBC的法向量为n＝ （x，y，z），则 得n＝（3， ，2），又 ＝（2，0，0），设α为AB与平面SBC所成的角，则 sin α＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，在空间直角坐标系D-xyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方 体，AA1＝AB＝2AD，点E为C1D1的中点，求二面角B1-A1B-E的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：设AD＝1，则A1（1，0，2），B（1，2，0）.因为E为C1D1的中 点，所以E（0，1，2），所以 ＝（－1，1，0）， ＝（0，2，－ 2）. 设m＝（x，y，z）是平面A1BE的法向量，则 即 取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝ （1，1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 又因为DA⊥平面A1B1B，所以 ＝（1，0，0）是平面A1B1B的一个法 向量， 所以 cos ＜m， ＞＝ ＝ ＝ ，所以二面角B1-A1B-E的余 弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，E，F分别是AD，BC 的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 　 ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），∴ · ＝ （ · ＋ · ＋ · ＋ · ）＝－ ｜ ｜2.又｜ ｜ ＝｜ ｜＝ ｜ ｜，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝－ ， ∴∠EOF＝120°，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为1，点P在线段BC上运 动，则下列结论中正确的是（　　） A. 异面直线A1C与BC1所成的角为 B. 异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是［ ， ］ C. 二面角A-B1C-B的正切值为 D. 直线AB1与平面ABC1D1所成的角为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（1， 0，0），A（1，0，1），B1（1，1，0），B（1，1， 1），C1（0，1，0），C（0，1，1），D1（0，0，0）， 设P（t，1，1）（0≤t≤1）.对于A，设异面直线A1C与 BC1所成的角为θ1，由 ＝（－1，1，1）， ＝（－ 1，0，－1），得 cos θ1＝ ＝0，即异面直线 A1C与BC1所成的角为 ，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 对于B，设异面直线A1P与AD1所成的角为θ2，由 ＝ （t－1，1，1）， ＝（－1，0，－1），得 cos θ2＝ ＝ ＝ ，当t＝0时， cos θ2＝0，θ2＝ ，当t≠0时， cos θ＝ （ ≥1）. 因为y＝6（ ）2－4（ ）＋2图象的对称轴为直线 ＝ ， 所以当 ≥1时，y＝6（ ）2－4（ ）＋2≥6－4＋2＝4， 即0＜ cos θ2＝ ≤ .由0＜θ2≤ ，知 ≤θ2＜ ， 综上， ≤θ2≤ ，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 对于C，取B1C的中点E，连接AE，BE，则AE⊥B1C， BE⊥B1C，所以∠AEB为二面角A-B1C-B的平面角.在 Rt△ABE中，tan∠AEB＝ ＝ ＝ ，故C正确；对于D， 在正方体中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，AB∩BC1＝B， AB，BC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，即平 面ABC1D1的一个法向量为 ＝（－1，0，1）.设直线 AB1与平面ABC1D1所成的角为θ3，又 ＝（0，1，－ 1），所以 sin θ3＝ ＝ ＝ ≠ ，故D错 误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 在空间中，已知平面α过A（3，0，0）和B（0，4，0）及z轴上一点 P（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面xOy所成的锐二面角为 45°，则a＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：平面xOy的一个法向量为n＝（0，0，1）.设平面α的一个法向量 为u＝（x，y，z），又 ＝（－3，4，0）， ＝（－3，0，a），平 面α过点A，B，P，则 即 即3x＝4y＝ az，取z＝1，则u＝（ ， ，1）.而｜ cos ＜n，u＞｜＝ ＝ ，又∵a＞0，∴a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝ 90°，AB＝ ，BC＝1，AD＝AA1＝3. （1）证明：AC⊥B1D； 解：证明：以{ ， ， }为正交基底，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），C（ ，1，0）， B1（ ，0，3），D（0，3，0）， C1（ ，1，3），D1（0，3，3）. 易知 ＝（ ，1，0）， ＝（－ ，3，－3）， ∴ · ＝0，∴AC⊥B1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. 解：设平面ACD1的一个法向量为m＝（x，y，z）， 又 ＝（ ，1，0）， ＝（0，3，3）， 则 即 令x＝1，则y＝－ ，z＝ ， ∴平面ACD1的一个法向量为m＝（1，－ ， ）. 设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ， ∵ ＝（0，1，0）， ∴ sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ＝ ， ∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. （1）设 ＝λ （0＜λ＜1），异面直线AC1与CD所成角的余弦值为 ，求λ的值； 解：由题意得CC1⊥AC，CC1⊥BC. 因为AC＝3，BC＝4，AB＝5， 所以AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC. 以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 易得A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，0，4）， 所以 ＝（－3，0，4）， ＝（－3，4，0）. 因为 ＝λ ＝（－3λ，4λ，0）， 所以D（－3λ＋3，4λ，0），所以 ＝（－3λ＋3，4λ，0）. 因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为 ， 所以｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 解得λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若D是AB的中点，求二面角D-CB1-B的正弦值. 解：由A（3，0，0），B（0，4，0），D是AB的中点得D（ ，2，0）. 又B1（0，4，4），C（0，0，0）， 所以 ＝（ ，2，0）， ＝（0，4，4）. 易知平面CB1B的一个法向量为n＝（1，0，0）， 设平面DB1C的一个法向量为m＝（x0，y0，z0）. 由 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 令x0＝4，得y0＝－3，z0＝3， 所以m＝（4，－3，3）， 所以 cos ＜n，m＞＝ ＝ ＝ . 所以二面角D-CB1-B的正弦值为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $