6.3.3 空间角的计算（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.3.3　空间角的计算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量方法解决简单夹角问题. 2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 重点 难点 重点:利用空间向量求空间角. 难点:利用空间向量求空间角. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 空间角 |cos〈a，b〉| 续表 |cos〈a，n〉| cos〈n1，n2〉 cos(π－〈n1，n2〉) 续表 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等． (　 ) (2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角. (　 ) (3)若二面角α-l-β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 (　 ) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 答案：C [题点一] 向量法求异面直线所成的角 方法技巧 对点训练 答案：A　 [题点二] 向量法求直线与平面所成的角 方法技巧 对点训练 [题点三] 向量法求二面角 [解]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. 拓展 本例条件不变，求二面角B-A1C-D的余弦值． 方法技巧 2．利用法向量求二面角的大小的一般步骤 对点训练 一、在典题训练中内化学科素养 夹角问题是立体几何中一类重要题型，夹角的计算在高考中考查力度大，较多采用向量法解决问题．解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，并正确进行向量的坐标运算．在求解过程中体现了对直观想象、数学运算等核心素养的考查． 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA. 内化素养 直观想象 由题意和几何体的形状，由空间几何体的直观图分析空间直线与平面的位置关系等 逻辑推理 由题意及相关定理转化为向量间关系问题 数学运算 空间向量的坐标运算，解方程组，以及数字运算等 答案：C　 2．已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，则二面角B-PC-D的余弦值为________． 强化拓广探索 答案：B　 4．已知点D，E是边长为12的等边三角形ABC的两边AB，AC的中点，沿DE折叠△ADE，使得二面角A-DE-B为60°，则四棱锥A-BCED外接球的表面积为________． 答案：148π “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（八） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 角的分类 向量求法 范围 异面直线 所成的角 设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝ ________________＝_________ _______ 角的分类 向量求法 范围 直线与 平面所成 的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝ _________________＝__________ 角的分类 向量求法 范围 二面角 设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝______________或____________________ [0，π] (1)求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面所成的角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为 (　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：A [典例1]　如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值． [解]　以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1，1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4