独立事件的乘法公式、递推法求概率专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦独立事件乘法公式与递推法求概率两大核心考点，通过真实情境问题构建概率模型，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立事件的乘法公式|3例+3变式|以射击、问答、传感器等为背景，考查独立事件概率计算、分布列及期望|从频率估计概率到独立事件判定，再到复杂情境下的概率模型构建，形成"概念-计算-应用"完整链条| |递推法求概率|3例+3变式|涉及水质变化、投篮规则、通信切换等动态过程，需建立概率递推关系|通过状态转移分析，将复杂概率问题转化为数列递推模型，体现"动态过程-状态分析-递推求解"的思维路径|

独立事件的乘法公式、递推法求概率专项训练 独立事件的乘法公式、递推法求概率专项训练 考点目录 独立事件的乘法公式 递推法求概率 考点一 独立事件的乘法公式 例1．（2026·北京·三模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下： 环数 6环 7环 8环 9环 10环 甲的射击频数 1 1 10 24 24 乙的射击频数 3 2 10 30 15 丙的射击频数 2 4 10 18 26 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立． (1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由； (2)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率； (3)甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于a环的次数，其中，写出一个a的值，使．（结论不要求证明） 【答案】(1)甲进入决赛 (2) (3)（或，任选其一即可） 【分析】(1)计算甲、丙的资格赛总环数，比较大小后结合丙进入决赛的条件判断甲的入围情况； (2)以频率估计概率得到甲乙命中 9 环、10 环的概率，分三类互斥场景用独立事件乘法和互斥事件加法公式求解； (3)利用二项分布方差公式，代入不同对应的成功概率验证得到满足大小关系的. 【详解】（1）分别计算甲、丙的资格赛总环数： 丙的总环数：， 甲的总环数：， 可得，即甲总环数高于丙， 因此甲排名也在前 8，甲进入决赛； （2）用频率估计概率，可得： 甲命中 9 环的概率，甲命中 10 环的概率； 乙命中 9 环的概率，乙命中 10 环的概率； 4 次射击共 2 个 9 环、2 个 10 环包含三类互斥事件： ① 甲 2 次均为 9 环，乙 2 次均为 10 环，概率为； ② 甲 2 次均为 10 环，乙 2 次均为 9 环，概率为； ③ 甲命中 1 次 9 环、1 次 10 环，乙命中 1 次 9 环、1 次 10 环，概率为； 由互斥事件概率加法公式，总概率为； （3）取，验证如下： 当时，每次射击中： 甲命中大于 7 环的概率，，方差； 乙命中大于 7 环的概率，，方差； 丙命中大于 7 环的概率，，方差； 显然，满足要求.（若取，同理计算可得，，，也满足条件.） 例2．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）足球赛事“宁超”是宁夏回族自治区于2026年推出的区级男子业余足球赛事，现收集了其中6场比赛的场次顺序和对应球迷人数（千）数据如表所示． 场次x 1 2 3 4 5 6 球迷人数y/千 15 17 23 23 29 31 (1)求球迷人数y关于场次x的经验回归方程，数据保留小数点后两位． (2)某公司组织城市知识问答活动，活动共有5个问题，其中3个为城市历史知识问题，2个为陶瓷制作工艺问题，答对4个问题可获得球赛门票一张．甲答对每个城市历史知识问题的概率为，答对每个陶瓷制作工艺问题的概率为，且每个问题答对与否互不影响，求甲赢得门票的概率． 附：，，.，. 【答案】(1)； (2)（或）． 【分析】(1)利用经验回归方程公式代入计算即可； (2)根据独立事件概率计算公式以及互斥事件概率计算公式，根据4道题的分布情况计算概率即可． 【详解】（1）由可得：； 因为；，； 则， ； 经验回归方程：； （2）设（）表示答对个历史问题， 则； 设（）表示答对个陶瓷制作工艺问题， 则； 因为每个问题答对与否互不影响，故与相互独立； 则甲赢得门票的概率 因为与互斥， 故； 因为，； 且，； 代入可得：． 例3．（2026·北京顺义·三模）为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) 估计该校高三男生支持方案一的概率为，女生支持方案一的概率为 (2) (3) 【分析】（1）利用频率估计概率，分别计算男、女生支持方案一的频率即可； （2）分“男生支持+1名女生支持”和“男生不支持+2名女生都支持”两类，结合独立事件、互斥事件概率公式计算求和； （3）对比目标班支持方案二的频率与全年级平均频率的大小，即可判断与的关系. 【详解】（1）由样本数据，抽取的男生中支持方案一的共50人，抽取男生总人数为， 因此男生支持方案一的概率估计值为； 抽取的女生中支持方案一的共80人，抽取女生总人数为， 因此女生支持方案一的概率估计值为. （2）记“抽取的1名男生支持方案一”为事件，“抽取的2名女生中恰有人支持方案一”为事件（）， “3人中恰有2人支持方案一”为事件， 则，， ，. 由题意知，事件与事件相互独立， 因此， 即 “3人中恰有2人支持方案一”的概率为. （3）全年级支持方案二的总频率， 该年级某班有20名男生和30名女生，设该班支持方案二的频率估计值为， 则. 即该班支持率低于全年级平均水平，因此去掉该班后剩余班级的平均支持率高于全年级平均，故. 变式1．（2026·湖北武汉·模拟预测）某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为，已知王同学第天选择的是在餐厅用餐. (1)求； (2)若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 期望 【分析】（1）根据和题意逐步计算即可； （2）先列举出王同学前天不连续三天在同一家餐厅就餐的所有情况，然后结合条件概率和独立事件的乘法公式求解. 【详解】（1）由题意可知，，，. （2）王同学前天在哪个餐厅用餐的可能情况如下： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 所以的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 因此期望. 变式2．（2026·北京海淀·三模）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试结果真实路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的传感器个数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 (3)可以 【分析】（1）统计传感器1判断正确的路段总数，结合古典概型概率公式求解即可. （2）先分别计算有障碍路段中传感器、传感器判断正确的概率，结合独立事件概率公式计算取不同值的概率，列出分布列后根据期望公式计算期望. （3）推导无障路段小汽车减速的概率表达式，结合传感器、的固定判断准确率分析极限情况即可得到结论. 【详解】（1）由表格数据可知，传感器判断正确的路段数为： 真实无障碍时判断无障碍的个，真实有障碍时判断有障碍的个，共个. ∵ 总测试路段共个，由古典概型得：. （2）由表格可知，有障碍的路段共个. 在有障碍路段中，传感器判断正确的概率，判断错误的概率为， 传感器判断正确的概率，判断错误的概率为. 由题意可知的可能取值为，且两传感器判断相互独立. ∴ (传感器错且传感器错)， (传感器对传感器错)+(传感器错传感器对)， (传感器对且传感器对). 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. （3）结论：可以. 无障路段共个，传感器1判断为无障的概率为，传感器2判断为无障的概率为，两值固定. 小汽车不减速的条件为三个传感器都判断为无障，故减速的概率，其中为传感器3判断无障的概率，当最大取时，，故可以通过提高传感器3的判断正确率满足要求. 变式3．（2026·甘肃张掖·二模）甲、乙两机器人进行比赛，规则如下：每局比赛，获胜方得1分，另一方得0分，没有平局；当一方比另一方的得分多2分时，比赛结束，得分多者获胜．据以往比赛经验，甲每局获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)求比赛2局后甲获胜的概率； (2)设比赛局后比赛结束，若比赛局数大于4，则统一记为6局，求的分布列与数学期望； (3)设甲得分与乙得分之差为，表示时最终甲获胜的概率，其中，求的值． 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算求解； （2）根据题意求出的可能取值为，进而计算相关概率列出分布列并求出期望； （3）根据已知条件，列出递推式，联立方程求出相关概率，进而求解． 【详解】（1）设甲每局获胜为事件，则， 若比赛两局后获胜，则两局比赛均获胜， 两局比赛均获胜的概率为：． （2）由题意知，比赛结束的条件是分差为2分，故取偶数，时， 的可能取值为，则 ， ， ； 的分布列为： 2 4 6 的数学期望为：． （3）， 已知，甲获胜；，乙获胜； 当时，下一局甲胜则分差为2，乙胜则分差为0， ①， 当时，下一局甲胜则分差为1，乙胜则分差为， ②， 当时，下一局甲胜则分差为0，乙胜则分差为， ③， 把③代入②得，化简得， 代入①得，解得， ， ． 考点二 递推法求概率 例1．（2026·重庆万州·三模）设某湖泊每年的水质会在Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是Ⅰ类，则下一年仍是Ⅰ类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率为0.2; 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为Ⅰ类，设第n年的水质为Ⅰ类的概率为，水质为Ⅱ类的概率为. (1)求; (2)证明并求; (3)证明:存在λ和μ，使得是等比数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用马尔可夫链的状态转移规律，结合初始状态的概率分布，直接计算第2、3年的水质概率，是对状态转移递推关系的基础应用； （2）通过水质概率和为1的关系，消元后推导出的一阶线性递推关系，再用构造法转化为等比数列求解，体现了递推数列的核心解题技巧 （3）通过消元将的递推式用表示，再代入的通项，整理为可构造等比数列的形式，完成了对递推数列的深层转化与证明． 【详解】（1）已知第1年水质为Ⅰ类，故，，. 根据转移规律，，，， 因此． （2）由，得，故， 整理为，这是首项为、公比为的等比数列，因此． （3）由，代入得， 再代入，整理得， 取，，则是公比为的等比数列． 例2．（2026·湖南长沙·三模）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)设第i次投篮的人是甲的概率．求 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据独立事件的概率公式可求题设中的概率； （2）根据全概率公式构建递推关系，利用构造法可求. 【详解】（1）设为“第2次投篮的人是乙”， 则. （2）由题设有，， 而，故， 故，而， 故为等比数列，首项为，公比为， 故即，. 例3．（2026·河北沧州·模拟预测）甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. (1)射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. (2)新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【分析】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，由题设求解即可. （ii）第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，可得化简后可得数列为等比数列，由此求解即可. （2）设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，分别求解，即可. 【详解】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件， 可得. （ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为， 所以，即. ， 令，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （2）表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率， 则①， ②， 联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为. 变式1．（2026·山西·模拟预测）在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． (1)求，的值； (2)求的分布列； (3)记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 【答案】(1) (2) 分布列如下： 1 2 3 (3)证明见解析 【分析】（1）根据为偶数时计算对应概率即可； （2）确定的可能取值，再分别计算每个取值对应的所有路径的概率和，进而求解分布列； （3）利用期望的线性性质表示，结合的递推关系，通过数学归纳法证明，进而完成证明. 【详解】（1）表示的概率，从到共走步，要使， 需步中和的步数相等，即为偶数. ，共走步，需1步、1步： ， ，共走步，需2步、2步： . （2）是前5项中0的个数，偶数项不可能为0， 仅可能为0，故的可能取值为； ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 （3）设变量，，则， 由期望可加性得：， 对任意，，化简得：， 即， 整理得：①， 归纳证明： 若，则，成立； 假设时成立， 则时： ，归纳成立； 将代入式①， 得：，原等式得证. 变式2．（2026·甘肃白银·三模）某太空探测器配备两套通信系统：激光通信模组与射频通信模组．每次向地球发送数据包时，若当前使用的模组发送成功，则下一次继续使用该模组，若发送失败，则下一次自动切换至另一模组，每个模组的工作相互独立．已知激光模组发送成功的概率为，射频模组发送成功的概率为．发送成功记1分，失败记0分，第1次发送使用激光模组． (1)记为前2次发送的总得分，求． (2)设为第次发送使用激光模组的概率． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合题意求相应的概率和期望； （2）（ⅰ）根据题意可得，整理可得，结合等比数列求数列的通项公式；（ⅱ）可得，根据分组求和法结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以. （2）（ⅰ）由题意可知：，且， 可得，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； （ⅱ）由（ⅰ）可知：， 则 ， 所以. 变式3．（2026·河南·模拟预测）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）应用独立事件乘法公式求丙组队员一次未投的概率； （2）（i）根据已知及概率的性质得到，构造法确定为等比数列，从而写出其通项公式；（ii）由题设，，两式作差且令，应用累加法、等比数列的前n项和公式求，从而得到的通项，应用分类讨论判断证明结论. 【详解】（1）若前4次投篮结束，丙组队员一次未投， 则前3次投篮情形为1号中，2号未中，4号中，其概率为. （2）（i）由题意知， 且， 所以，， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （ⅱ）依题意，，， 所以. 两边同乘，得. 令，则. 当时， ，其中， ， 所以. 当为奇数且时，即时，. 当为偶数且时，， 当为偶数且时，令，可化为. 因为，所以， 故存在，使得当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $独立事件的乘法公式、递推法求概率专项训练 独立事件的乘法公式、递推法求概率专项训练 考点目录 独立事件的乘法公式 递推法求概率 考点一 独立事件的乘法公式 例1．（2026·北京·三模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下： 环数 6环 7环 8环 9环 10环 甲的射击频数 1 1 10 24 24 乙的射击频数 3 2 10 30 15 丙的射击频数 2 4 10 18 26 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立． (1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由； (2)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率； (3)甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于a环的次数，其中，写出一个a的值，使．（结论不要求证明） 例2．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）足球赛事“宁超”是宁夏回族自治区于2026年推出的区级男子业余足球赛事，现收集了其中6场比赛的场次顺序和对应球迷人数（千）数据如表所示． 场次x 1 2 3 4 5 6 球迷人数y/千 15 17 23 23 29 31 (1)求球迷人数y关于场次x的经验回归方程，数据保留小数点后两位． (2)某公司组织城市知识问答活动，活动共有5个问题，其中3个为城市历史知识问题，2个为陶瓷制作工艺问题，答对4个问题可获得球赛门票一张．甲答对每个城市历史知识问题的概率为，答对每个陶瓷制作工艺问题的概率为，且每个问题答对与否互不影响，求甲赢得门票的概率． 附：，，.，. 例3．（2026·北京顺义·三模）为更好的进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对活动方案是否支持是相互独立事件． (1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； (2)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； (3)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 变式1．（2026·湖北武汉·模拟预测）某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为，已知王同学第天选择的是在餐厅用餐. (1)求； (2)若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望. 变式2．（2026·北京海淀·三模）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试结果真实路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的传感器个数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 变式3．（2026·甘肃张掖·二模）甲、乙两机器人进行比赛，规则如下：每局比赛，获胜方得1分，另一方得0分，没有平局；当一方比另一方的得分多2分时，比赛结束，得分多者获胜．据以往比赛经验，甲每局获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)求比赛2局后甲获胜的概率； (2)设比赛局后比赛结束，若比赛局数大于4，则统一记为6局，求的分布列与数学期望； (3)设甲得分与乙得分之差为，表示时最终甲获胜的概率，其中，求的值． 考点二 递推法求概率 例1．（2026·重庆万州·三模）设某湖泊每年的水质会在Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是Ⅰ类，则下一年仍是Ⅰ类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率为0.2; 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为Ⅰ类，设第n年的水质为Ⅰ类的概率为，水质为Ⅱ类的概率为. (1)求; (2)证明并求; (3)证明:存在λ和μ，使得是等比数列. 例2．（2026·湖南长沙·三模）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)设第i次投篮的人是甲的概率．求 例3．（2026·河北沧州·模拟预测）甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. (1)射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. (2)新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 变式1．（2026·山西·模拟预测）在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． (1)求，的值； (2)求的分布列； (3)记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 变式2．（2026·甘肃白银·三模）某太空探测器配备两套通信系统：激光通信模组与射频通信模组．每次向地球发送数据包时，若当前使用的模组发送成功，则下一次继续使用该模组，若发送失败，则下一次自动切换至另一模组，每个模组的工作相互独立．已知激光模组发送成功的概率为，射频模组发送成功的概率为．发送成功记1分，失败记0分，第1次发送使用激光模组． (1)记为前2次发送的总得分，求． (2)设为第次发送使用激光模组的概率． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设，求数列的前项和． 变式3．（2026·河南·模拟预测）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $