统计与概率：递推法求概率、全概率公式与数列综合问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦概率与数列综合，通过递推法及全概率公式解决动态情境问题，训练数学推理与模型构建能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |递推法求概率|3例+3变式|比赛/试验次数、状态转移的概率递推|概率情境抽象→递推关系构建→数列知识求解，体现数学建模与推理能力| |全概率公式与数列综合|3例+3变式|重复操作、状态概率的数列表示与期望|全概率公式应用→状态概率数列化→期望计算，培养数据观念与逻辑推理|

统计与概率：递推法求概率、全概率公式与数列综合问题专项训练 统计与概率：递推法求概率、全概率公式与数列综合问题专项训练 考点目录 递推法求概率 全概率公式与数列综合问题 考点一 递推法求概率 例1．（2026·河北沧州·二模）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. (1)双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜. （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）. (2)设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）（i）分析可知乙对甲可以以、、获胜，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，求出、，结合条件概率公式求解即可； （2）记，推导出 ，，作差，对和的大小进行分类讨论，即可得出与的大小. 【详解】（1）（ⅰ）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为， 若乙获胜，则乙对甲可以以、、获胜， 若乙以获胜，则前局全是乙赢； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局. 所以乙获胜的概率为. （ⅱ）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前局全是甲赢； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局. 所以. 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜””，， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为 . （2）设表示前局中同学甲赢得的局数，记， 则 . 对于，设双方平之后甲获胜的概率为，则，所以， 则. 因此. 因为，可得 ， 又， 所以. 当时，可得，即； 当时，；当时，. 例2．（2026·江西宜春·模拟预测）某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． (1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； (2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的分布列为 1 2 3 4 期望为 (2)① ；②存在； 【分析】（1）依题意，确定的取值可能为1，2，3，4，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，至少发射3次为事件，则，根据概率乘法公式求解； ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，则，再构造等比数列求解. 【详解】（1）由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4， 则， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 ． （2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件， 则，，， 记至少发射3次为事件，则， 所以 ． ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功， 或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功， 所以， 设，则， 所以，解得，或， 因为，，所以时， 是等比数列， 所以． 例3．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）强健的体魄是高效学习的保障．为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种： 方式一：随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，该同学停止投篮，由另一位同学投篮；若后投篮的同学也出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，游戏结束．游戏中累计投中次数多的同学获胜，若两人投中次数一致，则为平局． 方式二：每次由其中一人投篮，规则如下：若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮．由掷质地均匀的硬币决定第1次投篮的人选. 已知甲同学每次投篮的命中率为，乙同学每次投篮的命中率为，且每位同学每次投篮是否命中相互独立． (1)选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为X，求X的分布列和数学期望； (2)选择方式二时， （ⅰ）两人约定先累计投中2次者获胜，游戏结束．在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过4次，求此过程中甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）若二人一直进行投篮，记第n次是甲投篮的概率为，前n次投篮中甲的投篮次数为Y，求和． （参考知识：若随机变量服从两点分布，且，，则．） 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）； （ⅱ），. 【分析】（1）由已知得投篮次数的可能取值为2，3，4，5，求得分布列，进而可求得期望； （2）（ⅰ）设甲投中为事件，乙投中为事件，利用独立事件概率乘法公式与互斥事件概率加法公式计算即可求得甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）第次投篮的是甲的概率为，第次投篮是甲的概率为，进而可得，构造等比数列求解即可． 【详解】（1）结束投篮时甲的投篮次数X的可能取值为2，3，4，5， ，， ， ， 2 3 4 5 P （2）（ⅰ）设甲投篮投中为事件，乙投中为事件， 投篮2次游戏结束的情况有： 投篮3次游戏结束的情况有：， 投篮4次游戏结束的情况有：，，，，， 则此过程中甲只进行了2次投篮的概率为， （ii）由题意可知，第n次投篮的是甲的概率为，第次投篮是甲的概率为， 第次投篮是乙的概率为，则一定满足， 即 则可构造如下关系： 可得： 若记第i次投篮甲投的次数为，不难发现甲投，乙投，则服从两点分布， 则，，又 则 变式1．（25-26高三下·陕西商洛·期中）某校的数学兴趣小组开展概率问题研究活动.同学们在电脑上体验一款名为“复制银币的小黑盒”的游戏,该游戏的规则如下：游戏开始时只有1个银币,每次游戏将手中所有的银币投进小黑盒中,每个投入小黑盒的银币等可能地产生出1,2,3枚银币,且投入的银币消失,每次游戏产生出银币的过程相互独立,记（）次游戏后共有（）个银币的概率为. (1)求和； (2)求； (3)若X和Y均为离散型随机变量,则,记次游戏后银 币的个数为,求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）：直接计算．：第一次游戏后银币数只能是1或2（否则第二次后银币个数大于2），分别计算概率并相加． （2）先求．再对建立递推：，代入，根据等比数列求和得．然后对建立递推：．代入前两项表达式，通过等比数列求和可得． （3）先计算每个银币单次游戏产出期望为．由条件期望，，取期望得．初始，然后求出． 【详解】（1）代表一次游戏后有2个银币，， 代表2次游戏后共有2个银币，有两种可能情况，第一次游戏产生2个银币， 第二次游戏各产生1个银币；第一次游戏产生1个银币，第二次游戏产生2个银币． ． （2）时，． 时，代表n次游戏后共有3个银币，有三种可能： 1.次游戏后有1个银币，次游戏产生3个银币； 2.次游戏后有2个银币，次游戏一个银币产生2个银币， 另一个银币产生1个银币，一共产生3个银币； 3.次游戏后有3个银币，次游戏各产生1个银币，一共产生3个银币． 易有；时，． 记，，，． ， 即，时，也满足． （3）每个银币在一次游戏中产生的银币数期望为． 设已知，则第n次游戏时，将个银币各自独立产生新银币， 由期望的线性性质，， 故由全期望公式． 又，递推得． 变式2．（2026·湖南长沙·二模）某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得； （2）由题意可得，利用期望公式可得，则由计算即可得解； （3）由（2）可得，即可得 ，再利用累加法计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，； （2）第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 故有，， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加， 故， 故， 即； （3）由， 则， 即 ， 则 ，， ，， 则 ， 即，则， 故， 故. 变式3．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 的数学期望 (2)(i) ；(ii) 【分析】（1）先确定每个随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式计算期望即可； （2）(i)先求出初始项，再分两种情形推导时的递推关系，通过构造等比数列即可求出； (ii)先作差得到的表达式，通过解不等式判断的增减性，得出是的最大值并计算具体数值即可. 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望. （2）（i）由题意知：， 当时，第次操作后游戏终止分两种情形： ①第1次摸出的是黑球，则还需次摸球游戏才能终止，则； ②第1次摸出的是红球，则剩下次摸球中，最后1次摸出红球，中间次摸出的都是黑球，则， 所以， 即当时，. 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. (ii)当时，， 令，得， 两边同时乘以得：，所以，即， 当时上述不等式成立，故， 当时，， 因为是减函数，所以当时，，故， 所以最大，即的最大值为. 考点二 全概率公式与数列综合问题 例1．（2026·湖北十堰·二模）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（万元） 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值及相应的概率，分析的可能情况，进而运算求解； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，利用全概率公式求出随机变量在不同取值下的概率，再结合期望公式可证得结论成立； （3）分析可知数列是以为公比的等比数列，求出的表达式，于是可得出第个月的期望宕机节点数为，据此可得出第个月的经济损失的期望，再利用等比数列求和公式可求得从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【详解】（1）初始状态，即个在线、个宕机． 第个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． （2）由题意知的可能取值有、、、， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为，设， 所以， 所以，，， 所以是以为公比的等比数列， ，，, 故， 所以， 所以， 第个月的期望宕机节点数的期望为． 每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为． 设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为， 故（万元）. 例2．（2025·江西新余·模拟预测）某班地理老师为提高学生学习地理的积极性，举办地理答题得奖品活动，答题规则如下：两人为一组，每次一人答题，若答对则得奖品且继续答题，未答对则换对方答题．该班王海与吴昊为一组参加该活动，第1次答题人选通过掷硬币确定，正面为王海，反面为吴昊，已知王海每题答对的概率为，吴昊每题答对的概率为． (1)已知第2次答题人是吴昊，求第1次答题人为王海的概率； (2)求第n次答题人是王海的概率； (3)定义是第n次答题人为王海的期望，求第n次答题人为王海的期望的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件：第1次答题人为王海，事件：第2次答题人为吴昊，由全概率公式求出，再由条件概率公式计算可得； （2）设事件：第次答题人是王海，事件：第次答题人是吴昊，由全概率公式得到，则，再结合等比数列的定义及通项公式计算可得； （3）由（2）知，，再由分组求和及错位相减法计算可得. 【详解】（1）设事件：第1次答题人为王海，事件：第2次答题人为吴昊， ∴第1次答题人为吴昊为事件， 由题知，，，， 由全概率知，， ， ∴已知第2次答题人是吴昊，则第1次答题人为王海的概率为． （2）设事件：第次答题人是王海，事件：第次答题人是吴昊， 由题知，，，，， 由全概率公式知，， ，， ，∴数列是首项为，公比为的等比数列， ，则． （3）由（2）知，， 设数列的前项和为， ，① ，② 得 ， ，∵等差数列的前项和为， ． 例3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. (1)求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; (2)求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； (3)已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 【答案】(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）运用条件概率和全概率求解即可； （2）运用全概率结合数列构造知识求解即可； （3）运用离散型随机变量分布列知识，结合等比数列求和公式可解. 【详解】（1）设事件：第天中午去A餐厅用餐， 事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中， 则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：. （2）设，依题可知，，， ∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8， 即，而， ∴，     ∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4， ∴.     由全概率公式可知，即，     ∴，而，     ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，即； （3）设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1， 当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅， ∵，， ∴，     ∵，， ∴当 时，， 故. 变式1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军. (1)当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为分，） ①求的表达式(). ②求获得亚军的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②获得亚军的概率为 【分析】（1）利用二项分布，来求概率即可； （2）①利用递推思想，也就是要分析累计得分，可能是上一次累计得分，再得2分，也可能是上一次累计得分，再得1分，然后计算相应的概率即可得到递推关系； ②有了递推关系和首项，就可以用数列中的累加思想求通项，然后求出的值即可表示得冠军的概率，而两人争夺冠亚军是对立事件，所以利用对立事件概率求法即可解决问题. 【详解】（1）设进行完轮答题时，得分的次数为，. ，， 随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，， ， ， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 （2）①当时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则， 累计得分为分的情况分两种： （i），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为. （ii），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为. 则，所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. ②由①得，，，， 各式累加得：. 而，所以. 所以获得冠军的概率：. 所以获得亚军的概率为：. 变式2．（2025·江苏泰州·模拟预测）有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为. (1)求该玩家第一局闯关成功的概率； (2)记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为. （i）求和的表达式； （ii）当时，求证：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）（i）利用全概率公式求解即可； （ii）由题意可得，利用待定系数法求出的表达式，再结合（i）可求得的表达式，再分为奇数和偶数两种情况讨论，即可得出结论. 【详解】（1）由题意，该玩家第一局闯关成功的概率为； （2）（i）由题意可得； （ii）当时，， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 所以， ， 当时，，此时； 当时，， ， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以当时，， 综上所述，. 变式3．（2025·江西鹰潭·模拟预测）足球运动是深受中小学生热爱的体育运动项目之一.甲、乙两人进行足球点球比赛，每次由其中一人踢点球，规则如下：若点球进门，则此人继续踢点球，若点球没进门，则由另一人踢点球.无论之前点球情况如何，甲每次点球进门的概率为0.5，乙每次点球进门的概率为0.7.由抛掷一枚硬币的结果确定第1次踢点球人选，正面向上甲第1次踢点球，反面向上乙第1次踢点球. (1)求第2次踢点球的人是甲的概率； (2)求第次踢点球的人是乙的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则.记前次（即从第1次到第次点球）中乙踢点球的次数为，求. 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）根据题意利用全概率公式分析求解； （2）根据题意利用全概率公式可得，整理得，结合等比数列分析求解； （3）根据题意可知，利用分组求和结合等比数列求和分析求解. 【详解】（1）记“第1次甲踢点球”为事件A，“第2次甲踢点球”为事件B， 由题意可知：， 所以. （2）设“第次踢点球的人是乙”为事件，其概率为， 由题意可知：， 由全概率公式可得， 则， 可得，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 可得，即， 所以第次踢点球的人是乙的概率，. （3）由题意可知：事件服从两点分布， 由（2）可知：第次踢点球的人是乙的概率， 由题意可知：， 所以，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：递推法求概率、全概率公式与数列综合问题专项训练 统计与概率：递推法求概率、全概率公式与数列综合问题专项训练 考点目录 递推法求概率 全概率公式与数列综合问题 考点一 递推法求概率 例1．（2026·河北沧州·二模）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. (1)双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜. （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）. (2)设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小. 例2．（2026·江西宜春·模拟预测）某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． (1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； (2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）强健的体魄是高效学习的保障．为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种： 方式一：随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，该同学停止投篮，由另一位同学投篮；若后投篮的同学也出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，游戏结束．游戏中累计投中次数多的同学获胜，若两人投中次数一致，则为平局． 方式二：每次由其中一人投篮，规则如下：若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮．由掷质地均匀的硬币决定第1次投篮的人选. 已知甲同学每次投篮的命中率为，乙同学每次投篮的命中率为，且每位同学每次投篮是否命中相互独立． (1)选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为X，求X的分布列和数学期望； (2)选择方式二时， （ⅰ）两人约定先累计投中2次者获胜，游戏结束．在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过4次，求此过程中甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）若二人一直进行投篮，记第n次是甲投篮的概率为，前n次投篮中甲的投篮次数为Y，求和． （参考知识：若随机变量服从两点分布，且，，则．） 变式1．（25-26高三下·陕西商洛·期中）某校的数学兴趣小组开展概率问题研究活动.同学们在电脑上体验一款名为“复制银币的小黑盒”的游戏,该游戏的规则如下：游戏开始时只有1个银币,每次游戏将手中所有的银币投进小黑盒中,每个投入小黑盒的银币等可能地产生出1,2,3枚银币,且投入的银币消失,每次游戏产生出银币的过程相互独立,记（）次游戏后共有（）个银币的概率为. (1)求和； (2)求； (3)若X和Y均为离散型随机变量,则,记次游戏后银 币的个数为,求. 变式2．（2026·湖南长沙·二模）某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 变式3．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 考点二 全概率公式与数列综合问题 例1．（2026·湖北十堰·二模）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 例2．（2025·江西新余·模拟预测）某班地理老师为提高学生学习地理的积极性，举办地理答题得奖品活动，答题规则如下：两人为一组，每次一人答题，若答对则得奖品且继续答题，未答对则换对方答题．该班王海与吴昊为一组参加该活动，第1次答题人选通过掷硬币确定，正面为王海，反面为吴昊，已知王海每题答对的概率为，吴昊每题答对的概率为． (1)已知第2次答题人是吴昊，求第1次答题人为王海的概率； (2)求第n次答题人是王海的概率； (3)定义是第n次答题人为王海的期望，求第n次答题人为王海的期望的前n项和． 例3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. (1)求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; (2)求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； (3)已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 变式1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军. (1)当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为分，） ①求的表达式(). ②求获得亚军的概率. 变式2．（2025·江苏泰州·模拟预测）有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为. (1)求该玩家第一局闯关成功的概率； (2)记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为. （i）求和的表达式； （ii）当时，求证：. 变式3．（2025·江西鹰潭·模拟预测）足球运动是深受中小学生热爱的体育运动项目之一.甲、乙两人进行足球点球比赛，每次由其中一人踢点球，规则如下：若点球进门，则此人继续踢点球，若点球没进门，则由另一人踢点球.无论之前点球情况如何，甲每次点球进门的概率为0.5，乙每次点球进门的概率为0.7.由抛掷一枚硬币的结果确定第1次踢点球人选，正面向上甲第1次踢点球，反面向上乙第1次踢点球. (1)求第2次踢点球的人是甲的概率； (2)求第次踢点球的人是乙的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，，则.记前次（即从第1次到第次点球）中乙踢点球的次数为，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $