统计与概率：古典概型、独立事件的概率 专项训练-2025届高三数学三轮冲刺

统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练 统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练 考点一 古典概型 1．（2025·陕西汉中·二模）从正四棱台的12条棱中任取2条，则这2条棱互相平行的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·二模）从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南红河·三模）广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南常德·一模）从1，2，3，4，5，6，7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·一模）同时抛掷三枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，则是直角三角形的三个内角的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南焦作·二模）为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西景德镇·模拟预测·多选）现有3个女生4个男生共7名同学排成一纵队做游戏，以下正确的是（   ） A．若游戏纵队变为环形首尾相接，不同的排法有720种 B．男女相间的不同排法有144种 C．男生排在一起、女生也排在一起的概率为 D．男生甲排在正中间的概率为 8．（2025·山西晋城·二模）有6张卡片，分别标有数字，现从这6张卡片中随机抽出2张，则抽出的2张卡片上的数字之和等于5的概率为 ． 9．（2025·上海长宁·二模）一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 10．（2025·河北保定·一模）由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为 . 11．（2025·河北秦皇岛·一模）某种“摩斯密码”的传递常用手指敲击硬物传递声响的方式进行，敲一下，意思为“洞”，敲两下，意思为“拐”，若小明用手指敲击的数量依次为一下、一下、两下，则对方收到的密码指示为“洞洞拐”.已知新手小明尝试用5个“洞”和5个“拐”随意传递密码，则每个“洞”之前“拐”的个数多于“洞”的个数的概率为 ． 12．（2025·河北沧州·模拟预测）现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为 . 13．（2025·河南南阳·模拟预测）现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. (1)求的概率； (2)求的数学期望. 14．（2025·河南洛阳·模拟预测）为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖． (1)小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差； (2)当小王选好一个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会从盒子里取出一个没有写着免门票的小球给小王看，此后小王选择是否重新从盒子里余下的球中摸出一个球换取开始选好的球，再看是否能免门票．请问小王作出哪种选择更容易免门票？请说明理由． 15．（2025·浙江宁波·三模）在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数. (1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率； (2)设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2）.求随机变量的分布列及其数学期望. 16．（2025·北京石景山·一模）某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 (1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 考点二 独立事件的概率 1．（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海崇明·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2025·江苏·模拟预测）为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 4．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（2025·贵州黔东南·一模）在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（   ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 6．（2024·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 7．（24-25高三上·湖南·阶段练习）甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·模拟预测·多选）已知事件发生的概率分别为，则（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 9．（2025·吉林长春·模拟预测）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 10．（2025·江苏南通·二模）某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为 ，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为 ． 11．（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 12．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 13．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 14．（2025·海南·三模）某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答若干道题，若连续答对两题则结束游戏，并获得奖品，若连续答错两题也结束游戏，但不能获得奖品，只要没有出现连续答对或连续答错的情况，就继续答题．已知小明答对每道题的概率都为，则小明获得奖品的概率为 ． 15．（2025·内蒙古通辽·三模）为了增强学生的法律意识，某学校组织了一场法律知识测试，测试共有 A，B两个试题题库，学生先从这两个题库中任选一个，再从该题库中任选一道试题作答.若答错该试题，学生测试结束：若答对该试题，则再从另外一个题库中任选一道试题作答，无论答对与否，学生测试结束.已知学生甲答对A题库中的每道试题的概率均为 答对B题库中的每道试题的概率均为 (1)求学生甲只作答了一道试题的概率； (2)若答对A题库中的试题，可以获得20个积分，若答对B题库中的试题，可以获得10个积分，记学生甲测试结束时获得的总积分为X，求X 的分布列与期望. 16．（2025·河南新乡·二模）如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和. 积分 0 100 200 (1)求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率； (2)求随机变量的分布列及数学期望. 17．（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 18．（2025·山东·模拟预测）某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练 统计与概率：古典概型、独立事件的概率专项训练 考点一 古典概型 1．（2025·陕西汉中·二模）从正四棱台的12条棱中任取2条，则这2条棱互相平行的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以这2条棱互相平行的概率为． 故选：D. 2．（2025·湖南·二模）从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】六名同学选名同学，有种选法， 其中恰好选出一名男同学和两名女同学有种选法， 所以， 故选：C. 3．（2025·云南红河·三模）广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设“记者甲被选中”为事件，“记者乙被选中”为事件， 则“记者甲和记者乙都被选中”为事件． 因为，，所以． 故选：D． 4．（2025·湖南常德·一模）从1，2，3，4，5，6，7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从给定的7个数中任取3个的试验有个基本事件， 能构成等差数列的事件含有：公差为的个，公差为的个，公差为有个，共18个基本事件， 所以得到的数列为等差数列的概率为. 故选：A 5．（2025·安徽·一模）同时抛掷三枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，则是直角三角形的三个内角的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若是直角三角形的三个内角，则，即. 因为，所以这三个数只能是2，3，6或2，4，4， 所以是直角三角形的三个内角的概率为=. 故选：B. 6．（2025·河南焦作·二模）为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有种排法， 又六个节目演出，共有种排法， 由古典概率公式可知，所求概率为， 故选：A. 7．（2025·江西景德镇·模拟预测·多选）现有3个女生4个男生共7名同学排成一纵队做游戏，以下正确的是（   ） A．若游戏纵队变为环形首尾相接，不同的排法有720种 B．男女相间的不同排法有144种 C．男生排在一起、女生也排在一起的概率为 D．男生甲排在正中间的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A，游戏纵队变为环形首尾相接，相当于固定一人，剩下6人全排列， 共有种排法，A正确； 对于B，男女相间时，可先排3个女生，再将4个男生插入到女生排好形成的4个空中（含两端）， 共有种排法，B正确； 对于C，7名同学排成一纵队共有种排法， 男生排在一起、女生也排在一起的排法有种， 故男生排在一起、女生也排在一起的概率为，C错误； 对于D，男生甲排在正中间，即男生甲先排在中间，其余6人全排列，排法有， 故男生甲排在正中间的概率为，D正确， 故选：ABD 8．（2025·山西晋城·二模）有6张卡片，分别标有数字，现从这6张卡片中随机抽出2张，则抽出的2张卡片上的数字之和等于5的概率为 ． 【答案】 【详解】从6张卡片中随机抽出2张，则样本空间中总的样本点数为， 其中抽出的2张卡片上的数字之和等于5的组合有1，4或2，3共2种， 所以抽出的2张卡片上的数字之和等于5的概率为． 故答案为：. 9．（2025·上海长宁·二模）一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ． 【答案】 【详解】由题设，在第一关投1次骰子，点数大于3，即掷得点数为， 则过第一关的概率为， 第二关投2次骰子，点数之和大于6，则两次掷得点数分别为： ， 故过第二关系的概率为， 故一个人连过第一、二关的概率为， 故答案为：. 10．（2025·河北保定·一模）由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为 . 【答案】 【详解】由一个1，两个2和三个3排列成一个六位数字共有种结果， 若三个3之间的两个位置只有两个2，有132323和323231两种， 若三个3之间的两个位置只有一个1和一个2，有四种， 若三个3之间的两个位置中，其中一个位置有一个1和一个2，另一个位置为2， 有312323，四种， 共10种结果，所以其概率. 故答案为： 11．（2025·河北秦皇岛·一模）某种“摩斯密码”的传递常用手指敲击硬物传递声响的方式进行，敲一下，意思为“洞”，敲两下，意思为“拐”，若小明用手指敲击的数量依次为一下、一下、两下，则对方收到的密码指示为“洞洞拐”.已知新手小明尝试用5个“洞”和5个“拐”随意传递密码，则每个“洞”之前“拐”的个数多于“洞”的个数的概率为 ． 【答案】 【详解】根据题意，小明用5个“洞”和5个“拐”随意传递密码，总共有种排列方式. 要满足“每个“洞”之前“拐”的个数多于“洞”的个数”，可以画图，从点开始，每出现一个“拐”则上升一节，每出现一个“洞”则下降一节，因为总共有5个“洞”和5个“拐”，所以最终一定会到达点,在虚线上方的方法都是符合题意的. 利用节点法计算，点到点有1种方法，所以在点上方标“1”，到点有1+1=2种方法，所以在点上方标“2”，依次标注到处为42，因此符合题意的方法数为42. 因此，所求概率. 故答案为：. 12．（2025·河北沧州·模拟预测）现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为 . 【答案】 【详解】根据题意，投掷两次此骰子一共有种情况， 其中骰子上面的点数之和为3的整数倍的情况有 ，共12种， 所以骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为. 故答案为： 13．（2025·河南南阳·模拟预测）现有一个六个面分别标有数字的正方体骰子，连续抛掷两次，设分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，. (1)求的概率； (2)求的数学期望. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，，即或， 连续抛掷两次骰子，得到朝上的点数构成的数组共有36种可能， 的情况有共6种，故， 的情况有共10种，故， 所以的概率为. （2）由题意，的所有可能值为，同（1）分析， 的情况有共8种，则， 的情况有共6种，则， 的情况有共4种，则， 的情况有共2种，则， 所以. 14．（2025·河南洛阳·模拟预测）为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖． (1)小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差； (2)当小王选好一个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会从盒子里取出一个没有写着免门票的小球给小王看，此后小王选择是否重新从盒子里余下的球中摸出一个球换取开始选好的球，再看是否能免门票．请问小王作出哪种选择更容易免门票？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析， (2)小王重新摸球后更容易免门票，理由见解析 【详解】（1）的取值可能为0，1，2，3，4，由， 有，， ，， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 有； （2）小王不重新摸球免门票的概率为， 设这5个球分别记为，小球上面写有免门票， 若小王开始摸到小球，小王换球免门票的概率为0；若小王开始摸到小球或或或，小王换球免门票的概率为．可得小王换球后免门票的概率为， 又由，可知小王重新摸球后更容易免门票． 15．（2025·浙江宁波·三模）在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数. (1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率； (2)设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2）.求随机变量的分布列及其数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为. 【详解】（1）从7个自然数中任选三个有种，恰有一个偶数的情况有种， 所以这3个数中恰有1个是偶数的概率； （2）由题设，的可能值为， 有、、、、共有5种， 有、、、、、、、、、共有10种， 有种， 所以，，， 的分布列如下， 0 1 2 . 16．（2025·北京石景山·一模）某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 (1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在的有8人，在的有2人，共人；女生中成绩在的有4人，在的有2人，共人.所以成绩在80分及以上的学生共有人. 从这16人中随机抽取2人的总组合数为种. 要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况： 男生从选，女生从选，有种选法. 男生从选，女生从选，有种选法. 所以满足条件的选法共有种. 根据古典概型概率公式所求概率. （2）从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为. 从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X， 因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为，的二项分布，即. 根据二项分布的概率公式，可得： . . . . . 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 根据二项分布的数学期望公式，可得. （3）因为抽取的女生共30人，所以，即. 当数据越集中时方差越小，所以当时，抽取的女生成绩方差最小. 考点二 独立事件的概率 1．（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 则. 故选：C. 2．（2025·上海崇明·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情况有种，所以. 根据对立事件概率之和为，可得. 事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”. “次中没有正面朝上”的情况有种；“次中有一次正面朝上”，从次中选次为正面朝上，有种情况. 所以事件包含的情况共有种，则. 事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以. 因为事件与事件是独立的，所以，即. 可得：.展开得：.即. 当时，，，等式不成立； 当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立. 所以. 故选：C. 3．（2025·江苏·模拟预测）为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 【答案】D 【详解】由题可得，甲乙两人通过训练的概率为：， 因，由基本不等式，， 当且仅当时，取等号.则 . 又注意到甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，则期望为： ，结合，可得.故D正确. 故选：D 4．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 5．（2025·贵州黔东南·一模）在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（   ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 【答案】B 【详解】由题意可知的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， 所以 所以， 故选：B 6．（2024·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 【答案】C 【详解】如下表，对应为(第一次，第二次)， 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由题设及上表知，和、和均可以同时发生，如，故它们均不互斥，故A，D均错误； 由上表知，， 所以，故与相互独立，与不相互独立． 故选：C 7．（24-25高三上·湖南·阶段练习）甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲､乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局， 并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为. 故选：C 8．（2025·江西·模拟预测·多选）已知事件发生的概率分别为，则（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若与互斥，则，A正确； 对于B，若与相互独立，则，B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，则，C正确； 对于D，若与相互独立，则，D正确. 故选：ACD 9．（2025·吉林长春·模拟预测）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 【答案】 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 10．（2025·江苏南通·二模）某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立．根据以往经验，高三（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜的概率都为，除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为 ，第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为 ． 【答案】 【详解】甲在首轮遇到乙的概率为，此时甲获胜的概率为， 甲遇到其他6名选手的概率为，此时甲获胜的概率为， 所以甲获胜概率为：； 第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为, 进入第二轮的4人中，甲和乙不相遇的概率为，且两人均击败对手的概率为， 故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为， 所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为. 故答案为：； 11．（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 【答案】 / 【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为， 设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件， 则，， ， 该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为. 故答案为：，. 12．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 【答案】 【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是， 当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 综上，从第3个盒子中取到白球的概率是. 故答案为：； 13．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 【答案】 0.82 0.398 【详解】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 14．（2025·海南·三模）某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答若干道题，若连续答对两题则结束游戏，并获得奖品，若连续答错两题也结束游戏，但不能获得奖品，只要没有出现连续答对或连续答错的情况，就继续答题．已知小明答对每道题的概率都为，则小明获得奖品的概率为 ． 【答案】 【详解】设表示当前已答对最后一题的情况下获得奖品的概率； 表示当前已答错最后一题的情况下获得奖品的概率； 由题意可得：， 解得：，， 所以小明获得奖品的概率为， 故答案为： 15．（2025·内蒙古通辽·三模）为了增强学生的法律意识，某学校组织了一场法律知识测试，测试共有 A，B两个试题题库，学生先从这两个题库中任选一个，再从该题库中任选一道试题作答.若答错该试题，学生测试结束：若答对该试题，则再从另外一个题库中任选一道试题作答，无论答对与否，学生测试结束.已知学生甲答对A题库中的每道试题的概率均为 答对B题库中的每道试题的概率均为 (1)求学生甲只作答了一道试题的概率； (2)若答对A题库中的试题，可以获得20个积分，若答对B题库中的试题，可以获得10个积分，记学生甲测试结束时获得的总积分为X，求X 的分布列与期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； 【详解】（1）学生甲只作答了一道试题的情况有两种：选中A题库并答错和选中B题库并答错， 所以学生甲只作答了一道试题的概率为. （2）由题，， ，， ， 所以X 的分布列为 X 0 10 20 30 P 所以X 的期望为. 16．（2025·河南新乡·二模）如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和. 积分 0 100 200 (1)求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率； (2)求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，200 【详解】（1）设事件为“质点移动2次后到达的点所对应的积分为0”， 由题意可知点两次移动后在点，又起点为点，即的移动一次向左一次向右， 所以. （2）的所有可能取值为，，0，200，400. ， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 200 400 . 17．（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是. 所求概率为. （2）设事件表示“混双比赛在前3场进行”，事件表示“甲学校前3场比赛结束就获胜”， 则， ， . 18．（2025·山东·模拟预测）某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 【答案】(1) (2)应选择方案二. 【详解】（1）因为， ，且， 所以. （2）方案一：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，1000，3000，6000. 且，， ，. 所以. 方案二：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，2000，3000，6000. 且，， ，. 所以. 所以.所以甲应该选择方案二. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$