精品解析：辽宁葫芦岛市第六初级中学2025-2026学年度初中数学八年级下学期期中测试卷

2025-2026学年度初中数学八下期中测试卷 注意事项： 1、请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2、本试卷共四大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应逐一判断即可． 【详解】解：A．图象中出现给定一个x，可能有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； B．图象中给定一个x，只有1个y值与它对应，能表示是的函数，符合题意； C．图象中出现给定一个x，可能有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； D．图象中出现给定一个x，可能有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘的运算法则，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：∵ 和不是同类二次根式，无法直接合并， ∴，A错误，该选项不符合题意； B：∵， ∴B错误，该选项不符合题意； C：∵， ∴C错误，该选项不符合题意； D：∵，计算正确， ∴D正确，该选项符合题意． 3. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A， 展开等式得，整理得，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意． 选项B，∵三角形内角和为，， ，代入内角和得，即，是直角三角形，故选项B不符合题意． 选项C ，设，，， ， ，解得， ，是直角三角形，故选项C不符合题意． 选项D ， ， ， ， 不是直角三角形，故选项D符合题意． 4. 我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误； D、一组邻边相等的平行四边形不一定是菱形，原说法错误． 6. 顺次连接四边形各边中点得到四边形，若四边形的形状是菱形，则原四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，与三角形的中位线有关的证明，根据菱形的性质，邻边相等，得到原四边形的对角线相等，即可． 【详解】解：如图，分别为的中点， 则：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当四边形的形状是菱形时，则：， ∴； 故原四边形是对角线相等的四边形； 故选D． 7. 已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知一次函数的位置判断和的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第二象限． 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 10. 如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：在平行四边形中， ， 根据点运动，可得 当时，点P在点D处， ∴ 当时，点P在点C处， ∴， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得． 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 12. 化简二次根式的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质即可化简，注意字母a取非正数． 【详解】解：∵， ∴； ∴； 故答案为：． 13. 《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 14. 如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当时，根据翻折变换的性质求出，判断出是等腰直角三角形，从而求出；②当时，判断出、、在同一直线上，利用勾股定理求出，再设，在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，，，， 分两种情况讨论： ①当时，如图1，  ，  ， 由翻折变换的性质得， 在中，，  是等腰直角三角形，  ； ②当时，如图2，   ，，  ，  、、三点在同一直线上， 在中，由勾股定理得， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 综上所述，的长为或． 15. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由作图过程可知，，为的平分线，则，，，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可证明四边形为菱形，则，，根据，可得，再由，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，，为的平分线， ∴，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ． 三、解答题(本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）运用乘法公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知∶ 且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． （1）求出y与x之间的函数关系式： （2）点, 点在的图像上，当时，请比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，，推导出，整理得，将和分别代入上式，求出 ，得到，即可解答； （2）由(1)可知，是一次函数，且一次项系数，进而根据一次函数的性质比较和的大小即可． 【小问1详解】 解：与成正比例， 设， 整理得， 与成正比例， 设， ， ， 整理得， 将和分别代入上式， 得方程组： 解得 ， 将代入，得， 即与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由(1)可知，是一次函数，且一次项系数， 随的增大而增大， ， ． 18. 某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M 到喷泉A的距离； （2）请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． 【小问1详解】 解：∵的长是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 19. 如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的定义及等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据等边对等角得出，，再由三角形外角的定义确定，，结合题意求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 20. 如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，得到四边形是平行四边形；由即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； ∵ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 21. 阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： （1）根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 （2）若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】（1） （2）46或14 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 22. 折纸中蕴含着很多数学知识．小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形． （1）将小珍剪的角展开后，其图形一定是___________（填“菱形”或“矩形”）； （2）若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为___________； （3）小珍和小轩要通过各自的剪切方法，得到相同大小的正方形．当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为___________． 【答案】（1）菱形 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要涉及到图形的折叠与剪切问题，需要运用到菱形的判定、正方形和正八边形的性质、解直角三角形等数学知识．熟知相关知识点是正确解答此题的关键． （1）小珍将正方形纸片对折两次后剪角，由于折叠的性质，展开后得到的四边形的四条边都相等．根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形．所以将小珍剪的角展开后，其图形一定是菱形； （2）根据正八边形的性质以及折叠的特点，找出正八边形边长与原正方形边长的关系来求解； （3）先确定小轩剪出的最大正方形的边长，这个最大正方形是以原正方形的四个角剪掉等腰直角三角形后得到的．再根据小珍和小轩得到相同大小正方形这一条件，结合小珍剪切图形的特点求出图2中虚线的长度． 【小问1详解】 解：如图所示： 小珍剪的角展开后，其图形是图中虚线组成的，四条边相等，根据四条边相等的四边形是菱形， 故答案为：菱形； 【小问2详解】 解：如图所示： 根据题意，，正八边形的内角， ，为剪下去的一个角， ， 同理可求， 原正方形的边长， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形， 如图所示： 他应沿剪，此时为正方形的边的中点，， ， ， ， 展开后的图如图所示： 由折叠可知， ， 若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为， 故答案为：． 23. 【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）3.4；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）证明，得出，设，则，由勾股定理可得出答案； （3）构造正方形，由（1）知，则，，设，则，，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 由轴对称可知，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴∠BAF=∠PAF， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，构造正方形，由（1）知， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中数学八下期中测试卷 注意事项： 1、请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2、本试卷共四大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 4. 我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 6. 顺次连接四边形各边中点得到四边形，若四边形的形状是菱形，则原四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 7. 已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 9. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 10. 如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 函数中自变量的取值范围是____． 12. 化简二次根式的结果为________． 13. 《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 14. 如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 15. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 三、解答题(本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知∶ 且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． （1）求出y与x之间的函数关系式： （2）点, 点在的图像上，当时，请比较与的大小． 18. 某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M 到喷泉A的距离； （2）请求出喷泉B到小路的最短距离． 19. 如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 21. 阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： （1）根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 （2）若 且a，m，n为正整数，求a的值． 22. 折纸中蕴含着很多数学知识．小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形． （1）将小珍剪的角展开后，其图形一定是___________（填“菱形”或“矩形”）； （2）若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为___________； （3）小珍和小轩要通过各自的剪切方法，得到相同大小的正方形．当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为___________． 23. 【问题初探】 如图1，已知四边形是正方形，E为边上任意一点（点E不与点C，D重合），连接，作点D关于的对称点P，连接，并延长交于点F，连接，过点F作，垂足为点Q，交于点H． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深化探究】 （2）当，时，求的长； 【拓展应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，的平分线交于点T，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $