精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县2024-2025学年八年级下学期数学期中考试试题

2024-2025学年度第二学期第一次质量监测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式性质化简，最简二次根式的识别，解题关键是理解最简二次根式的意义． 根据最简二次根式的定义，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，含平方因数，可化简，故排除A； ：被开方数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式条件，故B正确； ，分母含根号，需化为，故排除C； ，分母含根号，需化为，故排除D， 故选：B． 2. 下列几组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 4，5，6 B. ，， C. 5，， D. 9，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股数，解题关键是理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，需逐一验证各选项是否满足条件． 【详解】解：，不是勾股数，故A错误； ，，这三个数不是正整数，，，不是勾股数，故B错误； ∵， ∴5、12、13是勾股数，故C正确； ∵，， 306 ≠ 289， ∴9，，不是勾股数，故D错误， 故选：C． 3. 如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定，逐一对四个选项中条件分析，再作出判断． 【详解】解：，，不满足两组对边分别相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合； ，，不满足一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合； ，，不能推得一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合； ，，根据一组对边平行且相等，能判定四边形是平行四边形，故D符合， 故选：D． 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题关键是掌握二次根式的加减法则． 根据二次根式的加减法则，先需将各根式化为最简形式，再合并同类二次根式． 【详解】解：中，与不是同类二次根式，无法合并，结果应为，不等于，故A错误； ，故B错误； 中与不是同类项，无法合并，结果应为，故C错误。 ，故D正确， 故选：D． 5. 若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ） A. 13 B. 15 C. 13或15 D. 13或 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理和题意分类讨论即可． 【详解】解：①当一直角三角形两条直角边的长为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长为， ②当一直角三角形的斜边和一条直角边分别为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长为， 综上所述，第三边的长为13或， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系进行分类讨论是解题的关键． 6. 如图，根据尺规作图痕迹，点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数的运算，解题关键是掌握无理数的大小估计． 先根据勾股定理求解，再求出点A处所表示的数． 【详解】解：， 处所表示的数为， 故选：B． 7. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，则边的长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，根据矩形的性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质得出，进而利用等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，平分交边于点E，已知，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题关键是由平行四边形的性质及角平分线的定义得等腰三角形．先由已知平行四边形，平分可推出为等腰三角形，可得，从而可得，进而求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．对角线，相交于点O，测得，．经过点O，，交于点E．交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求菱形的面积，解题关键是利用菱形的性质与勾股定理求解． 先利用菱形的性质得到，，，再利用勾股定理求得，从而可求得，再利用菱形面积求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ， ， 故选：A． 10. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，再证明它是矩形，根据菱形的性质得到，根据勾股定理和直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件为：被开方数为非负数得出，解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚；基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接根据网格的特点及勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为线段的中点，连接，若，，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质结合勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，则是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：，点为线段的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ， 故答案为：3． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是________尺． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：尺，尺， ∴（尺）， 设绳索尺，则有尺， 根据题意得：， 即， 解得． 即绳索的长为10尺． 故答案为：10． 15. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，是边上一点，连接交的延长线上于点．且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论是有______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，过点作交于点，证明得到，即可判定①；由直角三角形的性质得，即可判定②；连接，证明，得，进而由三线合一得，即可判定③；由等腰直角三角形的性质得，又由全等三角形的性质得，进而得到，即可判定④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 过点作交于点， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 即，故②正确； 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先算二次根式的乘除法及负整数指数幂，然后化简二次根式，最后计算二次根式的加减法即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 17. ⁵如图，在中，，D，E分别是边的中点，连接并延长到F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长； 【答案】（1）详见解析 （2）26 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，三角形中位线定理、勾股定理： （1）先证明是的中位线，进而可证明，再由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，继而可得菱形的边长，再由菱形周长定义求解即可． 【小问1详解】 证明：点E是的中点， 又， 四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：在中， 是边的中点，是直角三角形， ， 平行四边形是菱形， ， 四边形的周长． 18. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算：________； （2）若n为正整数，请你猜想________； （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）2024 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 19. 探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）能，面积为，过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，圆的面积公式，三角形面积，正方形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）为直角三角形，， ， 由题意得：，， ， 故答案：； （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）设以AC为直径的半圆面积为，以BC为直径的半圆面积为，以AB为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ． 20. 老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）填空：________（填“”“”或“”）； （2）比较与的大小； （3）若，，试比较M，N的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案； （3）综合（1）（2）的解法即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，（， ，（，即， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，， ，， 又，即， ，即， ∴， ∴， ，即． 即 21. 如图1，在水平地面上，一辆汽车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，定滑轮与物体的垂直距离是（即），此时测得点A到所在直线的距离；停止位置示意图如图3，此时汽车向前运行（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径与物体大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变．） （1）求的长； （2）求物体上升的高度． 【答案】（1）的长度为 （2）物体上升的高度为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得，，在中，由即可求解； （2）根据题意得，，，在中，，因为运动过程中绳子总长不变，由（1）中可求绳子总长，通过绳长即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 在中， 答：的长度为． 【小问2详解】 根据题意得，， ， ， 在中，， ，， ， 绳子长为， ， 答：物体上升的高度为． 22. 如图，已知在正方形中，E是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的周长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）16 【解析】 【分析】题目主要考查正方形性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）根据正方形的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据正方形的性质得出，再由全等三角形的性质结合各角之间的关系求解即可； （3）根据正方形的性质得出，利用折叠得出，结合图形即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ， 由折叠可知，，， ， 又， ， 【小问2详解】 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ； 【小问3详解】 四边形是正方形， ， 由折叠可知， ， 的周长． 23. 复习课上，王老师介绍：中点是特殊位置的点，复习“中点问题”时，应关注与中点相关的内容、方法．从而巩固知识、提升能力．请看下面的问题． 【问题】如图，在边长为4的等边中，D，E分别是的中点，于点F，G为的中点，连接，求的长； 【变式1】如图2，在边长为4的正方形中，E，F分别是边的中点，连接G，H分别是的中点，连接．求的长； 【变式2】如图3，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，，连接M、N分别是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】问题： 变式1： 变式2：5 【解析】 【分析】问题：连接，证明是等边三角形，继而可求出，在中，得，则，由G为的中点，得到，即可解答． 变式1：连接，并延长交于点M，连接，先证明 ，可得，在中，，继而证明是的中位线，则，即可解答． 变式2：根据变式1的思路，即可解答． 【详解】解：问题：连接， 是等边三角形， ，， ，E分别是的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 为的中点， ， 在中，； 变式1：连接，并延长交于点M，连接， 四边形是正方形，边长为4， ，，， ，F分别是边的中点， ，， 点H是的中点， ， ， ，， ， ， ，， ， 中，， 点G是的中点，， 是的中位线， ； 变式2：连接，并延长交于点G，连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，， ， 是FD的中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， 点M是EC的中点，， 是的中位线， ． 【点睛】本题考查中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第一次质量监测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 4，5，6 B. ，， C. 5，， D. 9，， 3. 如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ） A. 13 B. 15 C. 13或15 D. 13或 6. 如图，根据尺规作图痕迹，点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，则边的长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 8. 如图，在平行四边形中，平分交边于点E，已知，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．对角线，相交于点O，测得，．经过点O，，交于点E．交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则m的取值范围是______． 12. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚；基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为________． 13. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为线段中点，连接，若，，，则的长为________． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是________尺． 15. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，是边上一点，连接交的延长线上于点．且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论是有______．（填序号） 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. ⁵如图，在中，，D，E分别是边的中点，连接并延长到F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长； 18. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算：________； （2）若n为正整数，请你猜想________； （3）计算： 19. 探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为，则正方形Q的面积为________； 探究二：图形变化： （2）如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 20. 老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题解法，解答下列问题： （1）填空：________（填“”“”或“”）； （2）比较与的大小； （3）若，，试比较M，N的大小． 21. 如图1，在水平地面上，一辆汽车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，定滑轮与物体的垂直距离是（即），此时测得点A到所在直线的距离；停止位置示意图如图3，此时汽车向前运行（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径与物体大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变．） （1）求的长； （2）求物体上升高度． 22. 如图，已知在正方形中，E是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的周长． 23. 复习课上，王老师介绍：中点是特殊位置的点，复习“中点问题”时，应关注与中点相关的内容、方法．从而巩固知识、提升能力．请看下面的问题． 【问题】如图，在边长为4的等边中，D，E分别是的中点，于点F，G为的中点，连接，求的长； 【变式1】如图2，在边长为4的正方形中，E，F分别是边的中点，连接G，H分别是的中点，连接．求的长； 【变式2】如图3，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，，连接M、N分别是的中点，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$