精品解析：浙江省县域教研2025-2026学年高二第二学期学业水平模拟考试数学试题

2025学年第二学期学业水平模拟考试 数学 考生须知： 1．本卷满分100分，考试时间80分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、单项选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，和平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 9. 某校举行“校园歌手”大赛，有位评委对某选手打分．已知这个分数的平均数是，方差是，现从这个分数中去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，则剩余个分数的方差为（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 11. 已知定义域为，且为偶函数，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 12. 在一个棱长为4的正方体封闭容器中，放入两个半径为的小球，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得相应部分的分数，多选、错选均不得分） 13. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 14. 设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 15. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积为，且，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的周长可以是 D. 的外接圆半径可以是 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16. 在不透明的袋子中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则事件“摸到红球”的概率为______. 17. 已知函数为奇函数，则实数=________. 18. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共3小题，共37分） 19. 某校统计了高二年级1000名学生的身高数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出了如下图所示的频率分布直方图． （1）求身高在区间的人数； （2）求这组样本数据的分位数． 20. 在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若，求的最大值． 21. 已知函数，（为自然对数的底数，）．若，为方程的两个实数根，其中． （1）求实数的取值范围； （2）证明：为定值； （3）若 ，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学业水平模拟考试 数学 考生须知： 1．本卷满分100分，考试时间80分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、单项选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，，则. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义即可得到答案. 【详解】， 故选：C. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，，则 . 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 ，即， 解得，即函数的定义域为. 5. 已知直线，和平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】根据线面垂直的性质可知，若直线，，则“”，即必要性成立；若，，则直线可以在平面内，也可以与平面相交，还可以为相交且垂直，所以充分性不成立， 因此，若，则“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，由给定的单调区间及单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得， 恒成立，而当时，，则，又， 所以实数的取值范围是. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在题干等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，等式两边平方可得， 所以，解得. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】 将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故， 故， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为3. 故选：A. 【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 9. 某校举行“校园歌手”大赛，有位评委对某选手打分．已知这个分数的平均数是，方差是，现从这个分数中去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，则剩余个分数的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数和方差公式求解即可. 【详解】设这个数据由小到大依次为、、、、、， 由平均数公式可得，整理可得， 由方差公式可得， 所以， 从这个分数中去掉一个最高分分，去掉一个最低分分， 则剩余个分数的平均数为， 这个分数的方差为. 10. 在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值从而求得直线与平面夹角的正弦值. 【详解】连接，以为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示 设正方体棱长为1，则， ，，， 设平面的法向量为，则， 代入可得，令，则， 所以， 设直线与平面的夹角为，与平面的法向量夹角为， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 11. 已知定义域为，且为偶函数，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，可得出，由题干条件求出的值，结合可得出的值，即可得出答案. 【详解】因为函数定义域为，且为偶函数，则， 所以，即①， 又因为，则，即②， 由①②可得，可得， 所以，即， 所以， 所以函数是周期为的周期函数， 所以， 当时，，则， 在等式中，令可得，故， 因此. 12. 在一个棱长为4的正方体封闭容器中，放入两个半径为的小球，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征可得两个球的球心在正方体的一条体对角线上，进而列出方程求解即得. 【详解】如果一个小球与正方体的公共顶点的三个面都相切，球心在这个点为端点的正方体体对角线上，由条件得正方体体对角线长， 则另一个小球与这条体对角线的另一端点所在的三个面都相切，该球球心也在这条体对角线上，如下图所示 要使球半径最大，两个半径相等的小球必相切，因此一个球的球心到这条体对角线一个端点距离最小值， 球心到与球相切的三个面的距离为，根据相似比相等可得， 代入可得，解得， 所以小球半径的最大值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得相应部分的分数，多选、错选均不得分） 13. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 14. 设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：； 选项B：; 选项C：； 选项D：. 15. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积为，且，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的周长可以是 D. 的外接圆半径可以是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式以及平面向量数量积的定义可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；利用正弦定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，即， 即，整理可得， 又因为，故，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，由余弦定理可得， 所以的周长为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即周长的最小值为，C错； 对于D选项，由C选项可知，故， 当且仅当时，等号成立， 设外接圆半径为，由正弦定理可得，可得， 又因为，即，故的外接圆半径可以是，D对. 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 16. 在不透明的袋子中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则事件“摸到红球”的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】依题意，一共有5个球，从中摸出1个球的基本事件有5件， 其中2个红球，3个黄球，故事件“摸到红球”的基本事件有2件， 则所求概率为. 故答案为：. 17. 已知函数为奇函数，则实数=________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，由，恒成立求解. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，恒成立， 即， 解得， 故答案为： 18. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，可得出，由可得，设、，则、，可得出关于的不等式组，可得出的取值范围，结合可得出的值，即可得出的取值范围. 【详解】由可得， 则，所以， 因为，当时，， 因为函数在上恰有两个零点， 不妨设、，则、， 所以，解得， 考虑 时， 所以或，解得或， 故当存在时，， 又因为，则，所以，故， 所以的取值范围是. 四、解答题（本大题共3小题，共37分） 19. 某校统计了高二年级1000名学生的身高数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出了如下图所示的频率分布直方图． （1）求身高在区间的人数； （2）求这组样本数据的分位数． 【答案】（1）550人 （2）177 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出指定区间的频率即可. （2）利用分位数的定义列式求解. 【小问1详解】 身高在区间的频率为， 频数为，所以身高在区间的人数为550人. 【小问2详解】 由， ， 得样本数据的分位数，由，解得， 所以样本数据的分位数为177. 20. 在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，即可得出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，其中，，且为锐角，利用正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由及正弦定理，可得， 其中， 所以， 所以， 因为、，则， 所以，则，得. 【小问2详解】 若，由正弦定理，， 所以，， 由（1）知，，则 ， 所以 ， ，其中，，且为锐角， 因为，则，所以 ， 当时，即时，取得最大值. 21. 已知函数，（为自然对数的底数，）．若，为方程的两个实数根，其中． （1）求实数的取值范围； （2）证明：为定值； （3）若 ，证明：． 【答案】（1） （2）由（1）可知，和为方程的两个不相等的实数根， 即方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可知，，即， 所以 ， 因此为定值. （3）由（2）可知，， 记，则，，且， 所以， 易知函数在上单调递增， 所以要证明，即证明，等价于证明， 即证明， 因为，所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得到方程，将方程的解转化为图象的交点，结合对勾函数的性质从而求解； （2）根据韦达定理得到两根之间的关系，结合函数的方程进行证明； （3）根据函数的单调性将不等式转化为函数值的比较，在结合参数之间的等量关系进行证明. 【小问1详解】 由，可得， 令，则方程在上有两个不相等的实数根， 即函数与在上有两个不同的交点， 根据对勾函数的性质可知，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $