重庆市第一中学校2025-2026学年高二下学期数学周考9

重庆一中高2027级高二下数学周考9 一、单选题 1.已知集合A={xx-2<2,x∈Z,B={x∈N3x之x},则AUB=() A.[0,4) B.(0,3) C.{0,1,2,3} D.{1,2,3} 2.若随机变量X~N4),随机变量了~B0》P(X)=}且E0=E0),则D () A. B.月 C.2 D.4 1。 1 3.设a>0且a1,b>0且b1,若o,3og3l,则a+6的最小值是（） A.3 B.65 C.9 D.18 4.调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦 纳随机问答法”进行调查.为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题1：你现在 心理压力很大吗？问题2：你学籍号尾号是偶数吗？然后要求被调查的中学生抛掷硬币回 答，如果出现正面朝上，就回答第一个问题；否则回答第二个问题.整个调查过程全程 保密，由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题.现 在对学籍号为0001-1000的1000名中学生进行调查，其中有260名学生回答“是”，则估 计心理压力很大的中学生百分比大约为() 10 B. C. D. 26 100 100 100 5.已知12x 的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含x2项的系数为() A.-120 B.120 C.-240 D.240 6.某空间站由A,B,C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每 个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去A舱，则不同的安排 方法的种数为() A.35 B.36 C.42 D.50 7.若函数f(x)=x·-x-x"+1既存在极大值点，又存在极小值点，则实数m的 取值范围是() 试卷第1页，共4页 A.8)B. D. 8.已知曲线C:y=x3一kx（k为实数)，O为坐标原点，P,Q是曲线C上不同于O的两个 点，曲线C在点O,卫，Q处的三条切线两两相交，且任意两条切线的夹角均为，则实数k的 取值范围是() A. B c.D.(35. 二、多选题 9.若实数a,b满足a+b>0且ab<0,则() A.|2a+bl<|2ad+lb例 B.a-2b<a+2b C.a262 方+<a+ D后治 10.下列说法正确的是() A.数据8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位数为9 B.若0<P(C)<1,0<P(D)<1,且P(D)=1-P(DC,则C,D相互独立 C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直 线方程为y=0.4x+a,若其中一个散点坐标为(-a5.4),则a=9 D.将两个具有相关关系的变量x,y的一组数据(x,1),（x,y),,(x,)调整为 (1,+3),(x,+3),,(x,+3),决定系数R2不变 1.现有AB,C,D四个不透明的袋子，每个袋子中均有标号为l,2,3,,n(n∈N,n≥4)的n个 球，其中A袋中全是红球，B袋中全是白球，C袋中全是黄球，D袋中全是黑球若甲、乙、 丙、丁四人随机从四个袋中选取一个（可多人选同一个袋子），并从中随机取出一个球，则 () 3 A.取出的四个球颜色互不相同的概率为 32 B.取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为4 C,当=4时，取出的四个球既不同色也不同号码的概率为3 28 D.若甲、乙、丙、丁分别取到红、白、黄、黑球，则甲、乙、丙三人取到的号码之和 试卷第2页，共4页 等于丁取到的号码的概率为-3n+2 6n3 三、填空题 12.已知双曲线C:y =1的左焦点为耳，M为双曲线C右支上任意一点，点D的坐标为 45 (3,1),则MD-M的最大值为 13.已知实数a,b满足ab+5=3a+2b,且a>2,则a+b的最小值为 14.函数f(x)=x-3x2+3x+1在区间(1,3)内存在零点，且该零点不是(x)的极值点，则 实数m的取值范围为 四、解答题 15.现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个， 连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球的颜色相同.则记该轮为成功， 否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏否则，在盒子中再放入一个 白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功 2 3 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行 抽球游戏的轮数为随机变量X,求X的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记t表示成功时抽球游戏 b 的轮数，y表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型)=+à的 拟合效果优于线性回归模型，求出y关于t的非线性回归方程（结果保留整数）. 附：回归方程系数：方=白 y-版·可 ，a=-b标. 多考数指：设宫=53，立146,2046,021，子=1057. 1 5 i=1 i=1 5台 多=602 16.己知函数f(x)=xe-ax(a>0). (1)若函数f(x)在x=-1处的切线与直线y=x垂直，求函数f(x)的单调区间； (2)若x>0,都有f(x)≥a(lnx+1)恒成立，求实数a的取值范围. 试卷第3页，共4页 1.己奥椭圆C+号=1ab>0的左限点为4(20.且客心串为6 (1)求椭圆C的方程： (2)过点(6,0)的直线l交C于不同的两点P,2(异于点A),记直线AP,AQ的斜率分别为 k,k,求kk 18.某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有份产品 样本(n足够大)，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混 合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这k份产品样本全部合格， 只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样 本再分别检验一次，检验总次数为k+1次， (1)现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰 好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率； (2)假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为p(0<p<1) ()现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混 合检验方式样本需要检验的总次数为，当E(气)=E(5)时，求卫关于k的函数关系式 p=f(k); (ii)现将n份产品样本随机分为m组，每组k(k为n的正因数)份，然后将各组k份产品 样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X,当E(X)≥时，求p的取值范围并 解释其实际意义。 19.已知函数f(x)=e-2.(其中e为自然对数的底数，e≈2.718) (1)求f(x)的图象在点(0,1)处的切线方程： (2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围： (3)若f)-f(2)+f(2)-f(3)+.+f(9)-f(10=f(1)+f(10),求实数a的值. 试卷第4页，共4页《重庆一中高2027级高二下数学周考9》参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 及 B D D AC BD ABD 1.C 【详解】k-2<2,-2<x-2<2,解得0<x<4, 又x∈Z,A=1,2,3} 3x≥x2,即x2-3x≤0，解得0≤x≤3， 又x∈N,÷B={0,1,2,3} “AUB={0,1,2,3} 2.B 【详解】白思意得.AC0=A=0门=， 因为PX≥所以u-1,则a-2,则Dm=n}月 222 3.B 1=1og3b, 【详解】由换底公式可得023og:ao,} 原式化为log3a+log3b=log3(ab)=1,所以ab=3(a>0,b>0), 因为a>0,b>0,由基本不等式得a+9b≥2√a.9b=2×3√ab=6W5, 当且仅当a=9b,即a=35.b=5时，取等号成立 3 所以a+9b的最小值是6√5 4.A 1 【详解】由题意，回答问题2的学生有：1000×二=500人， 则回答问意2的学生回答是的有500×；=250人， 而回答问题1的学生有500人，其中有260-250=10人回答是， 因此估计心理压力很大的中学生百分比大约为 10-2 500100 故选：A 5.D 答案第1页，共12页 【详解】血题意，=1时0+2-=1+a=2→a1.所以二项式为1+2x-: 1 其中2x- 的展开武适明为。=G(2广(=（旷2产C,016, 所以6-2r=2,则r=2,此时=(-1)224C%x2=240x2, 3 6-2”=3,则7=不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含x2项的系数为1×240=240. 6.D 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在A舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在B,C舱， 有CCA=4×1×2=8种不同的安排方法： ②甲单独在A舱，其余四人平均分成两组每组2人，安排在B,C舱， 有哭A-61×2=6种不同的安排方法， A 2 ③A舱安排2人，其余三人分成两组，一组1人，一组2人，安排在B,C舱， 有CCCA=4×3×1×2=24种不同的安排方法： ④A舱安排3人，其余二人分成两组，安排在B,C舱， 有CA=6×2=12种不同的安排方法： 综上，不同的安排方法共有8+6+24+12=50种. 7.A 【详解】由题意得'(x)=m(血x-xm-),因为f(x)存在极大值点，又存在极小值点， 所以f'(x)=m(血x-xm1)=0有2个正根，即nx-xm-1=0有2个正根， 当m≤1时，y=nx-xm1在(0，+o)上单调递增， 此时nx-xm1=0至多1个零点，不符合题意，故m>1; 1nx=0,得号-1=0，即n=l 即血x=m-1有两个正根， 答案第2页，共12页 令g)血x,则y=g()与y=m-1有两个不同的交点， 求导得g()=1-nx, 所以当0<x<e时，g)>0,函数g(y)hx在(0，e)上单调递增， 1 当x>e时，g)<0,函数g(x)=n在(e,+)上单调递减， 1 所以g(x)≤g(e)=-, e 画出函数g(x)= x的图像如图所示： x v=g(x) y=m-1 血‘=m-1在(0，+o)上有两个正根，则0<m-1<, 由 t e 所以1<m<1+。所以实数m的取值范国是1+ e 故选：A 8.B 【详解】因为曲线C:y=x3-kx,所以y'=3x2-k, 所以原点O处切线斜率为k。=y(O)=-k, 设P(:,),(:,),两点处切线斜率为k,=3x-k,k2=3x号-k, 显然>k妇>太，因为三条切线两两夹角为行 由两直线夹角公式可得：m二-5， 31+kk2 将。=，名=3x-k代入上式可得：5=13x-)-(利 3x2 1+(-k)3x2-) =K2+1-3可' 化简整理得：√3x2=|2+1-3引，同理x,也满足该式， 去掉绝对值得到两个不同的正根：x2=+1, x2=2+1 3k+√5’3k-5 因为x2>0,分子2+1>0，因此两个分母都必须为正， 答案第3页，共12页 即：3-5>0，>5，因此的取值范用是 3 9.AC 【详解】因为(2d+bl2-2a+b-4abl-4ab=-8ab>0: 所以|2a+b<(（2d+例2，所以2a+<2d+,所以选项A正确： 因为a-2b-a+2b=-&ab>0,所以a-2b>a+2b,所以a-2bl>la+2bl,选项B错 误： ￠+及a-b-a-b)(a+D<0,所以g+<a+b,选项c正确： b a ab b a 当0263分号的，所片 ,选项D错误 atb 故选：AC 10.BD 【详解】对于选项A:先把数据8,6,4,11,3,7,9,10重新排列，得到3,4,6,7,8,9,10,11. 因为上四分位数是第75百分位数，8×75%=6， 所以数据864,13,79,10的上四分位数为9+10 2 9.5,故选项A错误； 于选项B,因为P(D)=1-P(D),PDC=p1C、,P(可)=1-P(D） 所以P(CD)=P(C)P(D),即C,D相互独立，故选项B正确， 对于选项C,因为散点(-45.4)不一定在回归直线上， 所以散点(-a,5.4)不能直接代入直线方程，故选项C错误， 对于选项D,由于R2=1- 6对 y变成了y+3, 2-明 则y=y+3,=bx+a+3=y+3, 从而y-y,y-y都不变，则R=(R),故选项D正确 故选：BD. 11.ABD 答案第4页，共12页 【详解】对于A,四个人选出球颜色互不相同的概率为=3，A正确： 4432 对于B,取出的四个球中红球比白球恰好多2个，有两种情况， 12 即红球2个，白球0个，概率为C 64 或者红球3个，白球1个，概率为C 所以取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为。+】=7 ,B正确； 646464 对于C,四个球既不同色也不同号码的概率为A:3 4.4432 ,C错误； 对于D,设甲、乙、丙、丁取到球的号码分别为a,b,c,d, 则所求概率转化为求a+b+c=d(1≤a,b,c,d≤n)的整数解的个数， 当d=3时，由隔板法可得方程的解的组数为C, 当d=4时，方程的解的组数为C,…, 当d=n时，方程的解的组数为C-1, 故满足条件的取法有C号+C+C2+C21=C+C+C+…+C21=C+C2+…+C1 =C+C+C1=C, 故所求概率为 _t-3n+2,D正确. 6n 12.-3 【详解】由题意可知双曲线C的实半轴长a=2,设右焦点为(3,0)， 所以MD-|MF=MD-(MFl+2a)=(（MD-MF)-2a, (MD-)-2a≤|D-2a=V(3-3)2+(1-0)2-4=-3, 当且仅当M、乃、D三点共线且耳在点M和点D之间时取等号. MD-M的最大值为-3. 13.7 【详解】由ab+5-3a+2b,则ab-3a-2b=-5, 答案第5页，共12页 a-20-=1ft 又a>2,则b>3, 解得a+b≥7，当且仅当a=3,b=4取等， 则a+b的最小值为7. 【详解】因f(x)=x3-3x2+3x+1在区间(1,3)内存在零点，且该零点不是∫(x)的极值点， 则g内)=+3x+1和y=3的函数图象在0,3)上有交点，且在交点处不相切， +2 因g国-3x+)r-2(+3+9_-3-2 x4 x 令h(x)=x3-3x-2,x∈(1,3)，则1(x)=3x2-3>0,则h(x)在(1,3)上单调递增， 因h(2)=0,则当1<x<2时，h(x)<0,g(x)<0;当2<x<3时，h(x)>0,g(x)>0, 故8(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， 因80)-s2)-g(8)-. 其图象如图： 5 15 0123 4<3m<5, 故实数m的取值范围为 55 43 故答案为： 别 15.解：(1)由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球(2白1黑)， 所以成功的概率为P=2x2+1x1_5 4 号*53×3。，所以失败的概率为： 第2轮：盒子中共有4个小球(3白1黑)， 答案第6页，共12页 所以成功的概率为P=3×+x}, 4入4+4×4=冬·所以失败的慨率为爱： 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮： 所以P(X=1)= 5 P(X=2)= 4、55 4、31 9818 P(X=3)= 986 所以X的分布列如下： X 1 2 P 5 5 1 18 所以E(0=1×+2×后+3×后日 5 2设x 则回归方程为=bx+à， 因为n=5, 2xy=697,x= x≈0.46， ∑x2≈1.46，x≈0.21， 5i=1 且y=516+209+127+98+50=200, 所以6=气4m7=697-5x046x200= 2仁：片-n2 1.46-5×0.21 237≈578， 0.41 所以a=-6x=200-578×0.46≈-66. 所以回归方程为y=578x-66, X因为x 所以回归方程为5=578-66. t 16.解：(1)f(x)=(x+1)e-a,直线y=x斜率为1，切线与y=x垂直，故切线斜率 f"(1)=-1, 代入x=-1得：f'(-1)=-a=-1,解得a=1,符合a>0. 此时f'(x)=(x+1)ex-1, 当x<0时，(x+1)e<1,故f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x>0时，(x+1)e>1,故f"(x)>0,f(x)单调递增 结论：f(x)的单调递减区间为(-o,0),单调递增区间为(0，+o). (2)原不等式整理得：xe≥a(x+lnx+1)令t=x+lnx(x>0时可取遍所有实数)， 不等式转化为：对任意t,e≥a(t+1)恒成立. 答案第7页，共12页 设gt)=e-a(t+1),则g(t)=e-a,令g()=0得t=lna, 当t<lna时，g(t)<0,g()单调递减； 当t>na时，g(t)>0,g(t)单调递增. 所以g(t)mn=g(lna=ea-a(na+1)=-alna, 要求gt)≥0恒成立，即-alna≥0，结合a>0得lna≤0，解得0<a≤1. 故实数a的取值范围为(0，]. 17.解：(1)由题意有：a=2,又e-9-5,所以c=5, 又b2=a2-c2=4-3=1, 所以椭圆c的方程为： 4+y=1: (2)由题意得直线的斜率存在，设为k,则直线l的方程为y=k(x-6), y=k(x-6) 所以E+广-1，得+4)-483x144-4=0, 14 所以△=人4了-4+414-4到=160-32)>0.解得<2 设P(,y),(x2,y2), 所以x+2= 48k2 144k2-4 1+4k2书3= 1+4k2, 所以4长点 53+2 所以k=上，为。=凸-63-0_8[3x-64+)+36 +2x+2(3+2)(32+2)5+2(+x)+4 144-6x482 （1+4k2 1+4k2+36 2(144k2-4-6×48k2+36+36×4k2)32k21 144k2-4 1+4k2+2 48k2 144k2-4+2×48k2+4+16k2 256k2-8 1+4k2+4 18.解：(1)设恰好经过3次检验能把不合格产品样本全部检验出来为事件A, 所以P(A)= CCA+AA3 A 10' 3 所以恰好经过3次检验就能把不合格产品样本全部检验出来的概率为 0 答案第8页，共12页 (2)(i)由已知得E(5)=k, 5的所有可能取值为1，k+1. 所以P(5=1)=(1-p),P(5=k+1)=1-(1-p), 所以E(5)=1-p)+(k+11-(1-p)门=k+1-k1-p)°， 若E(气)=E(5),则k=k+1-k(1-p), 所以-p=1,-p旷克 所以p关于的丽致关系式为p=@)1-图 (k≥2且k∈N*). (ii)将n份产品样本随机分为m组，每组k份，则n=mk, X的可能取值有，m+k,l+2k,…,+k, 则P(X=m+i=Cm1-1-p)子A-p)m-i=0,1,2,,m, 所议E0=m+cn--pT0-pr -mC.B-Q-P'TQ---CB-@-pT-a-p =1-1-p)+A-p)]+-1-p)][1-1-p)+1-p)*]m1 =m*+m-0-p1-会-0-1. 又EX)≥n,所以n+-n0-p）产≥n, 即g-p叭≥0，整理得2之0-p, 两边同时取自然对数，得-hk≥kn1-p),(k>0), 即nl-p)s-hk k 设f)=>0),则f(x)=血x 3 当0<x<e时，f'(x)<0;当x>e时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e,+o)上单调递增， 答案第9页，共12页 则/因@-是此时&-e且④=42公， 42 又k是n的正因数， 所以f≥maxf(2,f3)》=maxU④.f6》=f8=-血3 1 所以1P1,即P的取值藏为很) 实际意义为：当1- ≤p<1时，采用混合检验方式的总检验次数的期望不小于逐份检验的 V3 总检验次数，说明逐份检验较好 19.解：(1)因f'(x)=e-2,则k彻=f"(0)=1,又f(0)=1,故切线方程为y=x+1. (2)由f(x)在R上单调递增，可得f(x)=e-2ax≥0在R上恒成立， 记F(x)=e-2ar,则F'(x)=e-2a, 若a>0,则F'(x)>0→x>n(2,此时F(x)单调递增；由F'(x)<0→x<n(2a, 则函数F(x)在(ln(2a),+w)上单调递增，在(-o,n(2a)上单调递减， 所以F(s)nm=F(l血(2a）=e2a-2al血(2a)=2a1-ln(2a), 只需F≥0→2a0-h2a)20=a所以0<a号 若a<0,则F'(x)>0恒成立，故F(x)在R上单调递增，注意到x→-∞时F(x)→-o,不 合题意： 若a=0,则F(x)=e>0,符合题意 综上，实数a的取值国为0引 (3)依题需要讨论f(1),f(2),,f(10)的大小关系，故不妨设x∈[1，+o), 由芳2》时可当e0引时7单时递路。 当a<0时，f(x)=e-2ar在x∈[1，+)时f"(x)>0,仍有f(x)单调递增，即当a≤均有 f(x)在[1，+o)单调递增， 此时2V)-f+1=∑[/+1)-f]=fo)-f@=fo)+f0, 答案第10页，共12页 所以f)=0→e-a=0→a=e,这与a≤号矛盾，此时无解； 2 若a>号则f()=e-2a= e -2a 记8()g2a,则了与8)在≥1时同 号， g(x)=eC-少之0一g)在，+o)单调递增，此时8)=e-2a<0, x? 注意到x→+∞时8(x)→+o,所以存在x。>1,使得g()=0, 若x[1)→8(x)<0→f'(x)<0;若x∈(，+∞)→8(x)>0→f'(x)>0, 所以f(x)在[1，)单调递减，在(x,+o)单调递增， 段k≤0≤k+1,其中keN,等价于g因sg6,86)sg化÷，即5as一e 2(k+1) (*), ①若k≥10，则f(1)>f(2)>…>f(10), 此时： 立r0-1+川-[f0-f+]-0-J0o0)=fo+f@.则 f(10)=0→a= 100 此时由()可知≥东≥始矛盾，此时无解： L- ②若1≤k≤9且f(k+1)≥f(k),则f()>f(2)>…>f()≤f(k+1)<f(k+2)<<f10), t时0形训01u:明+2[re1J0]0Jo,2, 由已知f(侧=0，e*-ak2=0→a= eee 代入河得法安=2，验证+>11到20成立.故a 4 符合题意. ③若1≤k≤9且f(k+1)<f(k),则同理可得： r0+明=r0+0o-2+=k+0=0a (k+1)2, 答案第11页，共12页 ee+1,e+ 代入()可得：2正+2G+De礼2头.由于f+1()⊙10》0，逐 一验证可知只有k=1,a=:符合. 综上实数a的值为 答案第12页，共12页