重庆市第一中学校2025-2026学年高二下学期数学周考5

重庆一中高2027级高二下数学周考5 一、单选题 1.记S,为等比数列a}的前n项和若a-a,=6,4-4=12,则S=() A.2“-1 B.2-2" C.2-2"-1 D.20-1 2.罗老师准备从小染，小冰等5人中随机选取2人去参加巴蜀中学的超级演说家比赛，则 小染、小冰两人中至少有1人被选到的概率为() A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 3.1-}e+20)的限开式中的系数为() A.-20 B.-60 C.80 D.100 4.袋中装有除颜色外均相同的4个红球、3个蓝球和2个绿球现从袋中无放回地随机取球， 每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为() B号 e D.4 5 5.子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、 善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同 学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同 字的分配方案有() A.120种 B.210种 C.1440种 D.2880种 6.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每 3 一题的概率均为；在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（） A.25 6 B品 c D 7.从标有0,1,2,3,4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位 数的偶数，则这个数大于2023的概率为() 千位百位十位个位 A.41 60 12 D. 96 8.在图所示的10块地中，选出6块种植A,A2,,A这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一 试卷第1页，共4页 种.若A,A,A必须横向相邻种在一起，A与A在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不 同的种植方案有(). A.3120种 B.3360种 C.5160种 D.5520种 二、多选题 9.将4个编号分别为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为1,2,3,4的盒子中，下列 说法正确的是( A.共有256种放法 B.若每个盒子都有小球，则有24种放法 C.若恰好有一个空盒，则有144种放法 D.若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放 法 10.下列关于随机事件的概率说法正确的是( A.若A二B,则事件B发生，事件A一定发生 B.对于古典概型，若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与B互斥 C.若P(AB)=P(A),则事件A与B独立 D.某校高二年级男女生人数之比为3：2，最近一次视力检测统计结果为男生近视率为 0.8,女生近视率为0.6，则该年级学生的近视率为0.72 11.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由 此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是 第0行 1 A.第6行从左到右第4个数是20 第1行 11 第2行 121 B.第2026行的第1013个数最大 第3行1331 C.210在杨辉三角中出现了6次 第4行14641 n+l D.记第n行的第i个数为a,则∑2a=3” 第5行 。。·。0 三、填空题 12.斜率为1的直线1经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，则线段 试卷第2页，共4页 AB的长为 13.2025年泡泡玛特旗下的IPLABUBU突然爆火.现有5个不同造型的LABUBU'.把 这5个“LABUBU装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有 种不同的装法. 14.己知函数f(x)=-2cosx-xsinx-x,x∈ 3ππ 22 ,若f(x)≥, 则实数a的取 值范围是 四、解答题 15.记S.是公差大于0的等差数列{a}的前n项和，4=1，且4，a+1,a3-1成等比数列. (1)求4和Sn. (2)若私S=方证明：数列私多的前n项和工<1. 16.某大学数学专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方 法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，.， [80,90],并整理得到如下频率分布直方图： 频率 组距 0.04- 0.02 0.01 02030405060708090分数 (1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率： (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数： (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等， 试估计总体中女生的人数 试卷第3页，共4页 17.某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼， 若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为分，选择乒乓球的概率为}：若甲当天 选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的慨率为}：若甲当天选择篮球， 则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育 锻炼请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率： (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第nn∈N)天选择羽毛球的概率为Pn,请写出Pn与P1m≥2)的关系. 18.已知椭圆E+花=1a>b>0)的离心率e=V3 2 ,且过点 (1)求椭圆E的标准方程： (2)过点PQ,0)作两条斜率分别为k,k2的直线，，l交椭圆于A,B两点，，交椭圆于C,D两 点，弦AB,CD的中点分别为M、N. (①)当k2时，求弦长48到： ()当，=一子时，求△ON面积的最大值 9,已知函数f)=haeR). (1)当a≤0时，求函数f(x)的最大值： (2)当a=1时. (若正实数、满足/品2，求证0em e (i)若存在x、x2满足f(x)=f(x2),且0<2x≤x2,求x+x2的最小值. 试卷第4页，共4页《重庆一中高2027级高二下数学周考5》参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 0 A 心 D ABC BCD ACD 1.B 【详解】设等比数列{a}的公比为9， aq(q2-1)=6 因为 a4-a2=6 a=1 (a,-g=12'则 9(92-1)=12' 解得 9=2 1-2” 所以-2=2”-1 a 2-1 2=2-2m 故选：B. 2.D 【详解】设事件A为“小染，小冰中至少有1人被选到”， 小染，小冰中至少有1人被选到的概率为： (A) -=0.7 故选：D 3.A 【详解】因为0-a+2y-a+2y-含a+2b. 其中(a+2b)展开式的通项为T=C2d-b'(r∈{0,1,2,3,4,5})， 当r=2时，T=C2adb2=40mb2, 故40arb2 =-20b,其他项均不合要求， 所以展开式中db3的系数为-20 故选：A. 4.B 【详解】把所有球都看作不相同的，则任取3个球排成一排有A。种，第3次恰好取到红球 有A×C4种， 故所求概率为P= AxC10 A63 答案第1页，共9页 故选：B 5.D 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有C=5种选法 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有CCC2=24. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有A=24. 所以不同的分配方案有5×24×24=2880种. 6.C 【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件A,A,只答对一道题为事件C, 甲通过测试为事件B, 则PC)=P4④)+P4A,)=亏×5+5×525’ 322312 P风剧=团-P0-r-子号号号+-费 25 农 则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为P(CB)=PCB)_PC) 4 P(B)P(B) 25 7.A 【详解】当个位数是0时，有A=24种： 当个位数是2或4时，有A2A,A=36种， 所以组成的四位数的偶数共有24+36=60种： 当千位数是4时，比2023大的偶数有A,A3=12种： 当千位数是3时，比2023大的偶数有A,A=18种： 当千位数是2时，个位是0且比2023大的偶数有A=6种， 个位是4且比2023大的偶数有A-1=5种， 所以比2023大的偶数共有12+18+6+5=41种， 所以所求概率为 60 8.C 答案第2页，共9页 【详解】①当A与A同行，与A,A,A也同行时，有2AAC种种植方案： 与A,A,A不同行时，有2CAAC,种种植方案： ②当A与A不同行时，有2 CACCC种种植方案 故不同的种植方案有2AAC,+2CAAC+2CACA,CC;=5160(种). 故选：C. 9.ABC 【详解】对于A:每个小球有4种放法，所以共有44=256种放法，故A正确： 对于B:若每个盒子都有小球，则有A=24种放法，故B正确： 对于C:先从4个小球中任选2个放入其中1个盒子中，有CC=24种放法， 再在剩下的3个盒子中任选2个放入剩下的2个小球，有A=6种放法，所以共有 24×6=144种放法，故C正确： 对于D:先从4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有C4=4种放法， 再将剩下的3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，所以共有4×2=8种放法，故D 错误 10.BCD 【详解】对于A,若AsB,则事件B发生，事件A不一定发生，A错： 对于B,对于古典概型，若P(AUB)=P(A)+P(B),则P(A⌒B)=0,即事件A与B互斥， B对： 对于C,若P4B=PA.因P4BB则P(4-g,即PB)=PL)P(B7 P(B) 则事件A与B独立，C对： 对于D,根据全概率公式可得该年级学生的近视率为P=×0.8+2×0.6=180,72,D对. 5 5 25 11.ACD 【详解】选项A:由题目所给的杨辉三角可知，从第I行起，第n行的第m个数可表示为Cm1, 故第6行从左到右第4个数是C1=C=20,故A正确： 选项B:第2026行的第m个数可表示为C2026,m-1∈[0,2026]， 答案第3页，共9页 由组合数的性质可知，C最大， 因此m-1=1013,m-1=1014,故第2026行的第1014个数最大，B错误： 选项C:210在杨辉三角中出现的情况有C。(第10行的第5个数)，C。(第10行的第7 个数)，C2。(第210行的第2个数)，C8（第210行的第210个数)，C（第21行的第 3个数)，C(第21行的第20个数)，共6次，故选项C正确； 选项D:第n行的第个数4=C以，因此觉2a-觉2℃， i=1 2+1 令j=i-1,则∑2c=∑2'C=1+2)”=3, =1 n+1 即∑2a=3,故D正确. 12.16 【详解】因为过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),斜率为1， 所以直线的方程为x=y+2,则联立直线与抛物线方程 [y2=8x {x=y+2得到-8y-16=0, 令A(x1,y),B(x2,y2) 则y1+y2=8,yy=-16, 代入弦长公式+是+广-4=564+4-16 故答案为：16 13.150 【详解】把这5个“LABUBU装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按1,1,3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 组数C=C=A=x4=10:按2,21分组：先从5个中选2个为一组， A32×1 剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组（消除重复分组）， 组数：C_10x3-15,分配到3个不同的盒内，=3×2×1=6， A32×1 答案第4页，共9页 故装法总数(10+15)×6=150 15.解：(1)因为{4}是公差大于0的等差数列， 所以设公差为d,d>0,因为4,4+1,43-1成等比数列， 所以(a,+1)2=4×(a-1),即1+4d+1)2=(1+2)×1+12d-1), 解得4=1或d=分因为d>0,所以d=1符合题意， 则a,=1+n-1=n,S=a0+-2+2 2 2 (2)由上间得8"士D,因为6,8分 2 所以”-片a】 n(n+1)nn+1' 得到工=1-+1++1】 223+…+ 1、1 nn+1'n+1' 因为>0，所以中0，得到1-<1，即了<1得证 n+1 16.解：(1) 频率 组距 0.04…… 0.02… 0.01 02030405060708090分数 根据频率分布直方图，可计算分数小于60的频率为：1-10×(0.02+0.04+0.02)=0.2， 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率为0.2： (2)根据频率分布直方图，可计算分数小于50的频率为： 1-10×(0.01+0.02+0.04+0.02)=0.1, 所以可计算在100人的样本中，分数小于60的频数为：0.1×100=10人， 己知样本中分数小于40的学生有5人，所以分数在[40,50)内的频数为：5人， 即分数在[40,50)内的频率为：0.05， 从而可估计总体中分数在区间[40,50)内的人数约为：0.05×400=20人： 答案第5页，共9页 (3)根据频率分布直方图，可计算分数不小于70的频率为：10×(0.04+0.02)=0.6， 则计算样本中分数不小于70的频数为：0.6×100=60人， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，所以此时男女生各有30人； 而样本中有一半男生的分数不小于70，则样本中男生人数共有60人， 所以样本中女生只有40人， 40 可以估计总体中女生的人数约为： ×400=160人. 100 17.解：(1)设事件A,A2,A分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛 球的事件为B2, 则AUA2UA=2且A,A2,A两两互斥， 依题意，P)=4)-P4)青P0BA)=片Pa4)子Pra,A)-背 且B2=AB2UA,B2UAB2, 由全概率公式得 Pa)=P4PBAD+P4P8,A+P40PB,A)子+}子+3} 11 (2)由贝叶斯公式，得所求概率为P4,1B,)=P4)P(B,A)_3×32 X- P(B2) 19 (3)设甲第n(neN天选择羽毛球的概率为P,甲第(n∈N)天选择乒乓球的概率为R, 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为兮得R一对所有≥1均成立， 3 从而选择篮球的概率为S,=1-P-R,= 2-P, 2 1 当22时，由全概率公式，得P的递推关系为P=PX+R☆，S特 2 1 -?P1,化简得P-合2 .4 1 而R3S 6 +m≥2)，R=5 18解：(1)由椭圆B:兰+ 2+=10的离心率2=Y3,得=二，即a2=4b2 2 又椭圆E过点心5，则子+在1，联立解得a=2。 答案第6页，共9页 x2 y2 所以椭圆E的标准方程为21 -1 2 （2)0当长-时，直线的方程为-x-少，设4，y5,以， 面四得22=0+ 1 x2+4y2=2 所以，一写+--95- 2 《)当站=时，直线的方程为y=-,设MMW。 鱼+消去卫得，4帐+-8x+4状-2=0，而M是弦B的- 则x,=2+14=30= 42,即M2),同理(4-k2 4k2+1'4K+1 46+1'4+7）, 因此△OMW的面积 IOM ION in ON-OMPIONP-OMPONPMON -OM1oN-(OM.o-3G++)-6+, 2x 1,4k2-k2 4k3- 1 2kkk-k2)川 24k2+14K+14+14K+1F16kk好+4k+)+1 =,k-点L居- 8(k+k)+48(k+k)+48k+)+4 8++2 1 而对22从1分当R仅当名4或表时取等号。 1 1 1 因此当-= 2店=时， 1 m8, 2 8kG+k+2 1 所以△ON面积的最大值为 8 19.解：(1)令1=血x-x,其中x>0,则t=-1=1-= 由t'<0可得x>1,由t>0可得0<x<1, 所以函数t=nx-x在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以t=lnx-x≤血1-1=-1， 答案第7页，共9页 所h2容=h-2=h-x-ae 令g(t)=t-ae,其中t≤-1，则g'(t)=1-ae, 当a≤0时，g'(t)=1-ae1>0对任意的t≤-1恒成立， 故函数8()=t-ae在(0，-1]上为增函数，故8()x=8(-1)=-1-a, 所以函数f(x)的最大值为-1-a. (2)①当a=1时，f(=h血x-x-e高=nx-x-e-， 令t=nx-x≤-1，当且仅当x=l时，等号成立，且f(x)=t-e+, 令h(t)=t-e,其中t≤-1， 当t≤-1时，t+1≤0，可得e≤1，则N(t)=1-e≥0， 故函数h(t)在(-n,-1]上单调递增，所以h(t)≤h(-1)=-2, 即f(x)≤-2，当且仅当x=1时，等号成立， 因为正实数m、n满足f”。≥-2，枚”。一=-2，所以”e1=1 所以n e,故= em-r>0, 构造函数p(国=二，其中x>0,则p)-2￥ x2 e*, 当0<x<2时，p(x)>0,即函数p(x)在(0,2)上单调递增， 当x>2时，p(x)<0,即函数p(x)在(2，+∞)上单调递减， 所以p(p2)即m放0<m (i)令t=hx-x(i=1,2）,由f(x)=f(x2)可得t-e=t2-e，即h(G)=h(G,), 易知、t2∈(-o,-1],且函数h(t)在(-o,-]上单调递增，故t1=t2, 即hx-5=lhx-x,故x2-x=血x2-血x=h点， 令5=是≥2，则有x-X=n,即-X=ns,所以飞=血， sIns -1'七=5x= 所以；+本，=+血s 5-1 答案第8页，共9页 的造酒版9)4.共中22.则g@6-明 5-2ms-1 S 5-1 构造函数py)-y-2血s},其中≥2，则=1-2+1--)>0 552 所以函数p(s)=s-21ns-上在[2，+o)上为增函数， 敌©)≥9(2)2-2n2-号21m2>0,即q⑤)>0对任意的s22恒成 故函数g=+1血在[2，+切)上为增函数， 5-1 当5≥2时，q(s)mm=q(2)=3h2,故x+x2的最小值为3ln2 答案第9页，共9页