2026年河南平顶山市宝丰县第四教研区二模数学试题

2026年中考学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上. 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2.中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵.”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”.如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3.清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.000 0084米，则数据0.000 0084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5.如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图.已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ） A. B. C. D. 6.已知一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 7.在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 8.河南地处中原，省内17处国家5A级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标.正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 9.如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10.在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）.已知串联电路中，电流与电阻，之间关系为，图2是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（ ） A.灯丝的阻值为 B.用含的代数式表示为 C.当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D.要使通过灯泡的电流不低于，则调节滑动变阻器电阻的范围为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______. 12.某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表： 项目员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 70 80 90 82 乙 90 80 70 82 由以上信息，可以判断，的大小关系是______.（填“>”“=”或“<”） 13.化简______. 14.如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为______. 15.定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”.如图中，于点，，，，若点是边上的“豫点”，则线段的长为______. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分）（1）计算：； （2）化简：. 17.（9分）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛.以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程. 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本. 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 5% 第2组 10 第3组 15 15% 第4组 40 40% 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图. 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第______组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数. 18.（9分）如图，四边形中，连接. （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交，于点，； （2）连接，若，求的度数. 19.（9分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点为射线上位于点右侧的一点，且，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点. （1）求反比例函数的解析式； （2）求，的长. 20.（9分）为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A，B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元. （1）求A，B两种花木的单价各是多少元？ （2）如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用. 21.（9分）图1是某摩天轮的实景图.摩天轮可视作半径为50米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，平面示意图如图2所示. （1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； （2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳.点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长. （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 22.（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线. （1）若，求证：抛物线与轴一定有两个交点； （2）若，点，在抛物线上，其中， ①若的最小值是-2，求函数的表达式； ②若对于，，都有，求的取值范围. 23.（10分）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫作菱形的“和谐线”.如图1，在菱形中，是的中点，连接，，则折线叫作菱形的“和谐线”，折线的长叫作“和谐线”的长.已知在菱形中，，是的中点，连接，. （1）如图1，若，，求“和谐线”的长； （2）如图2，若，请探究“和谐线”的长与菱形的边长之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且“和谐线”中的或与菱形的一条对角线相等，求“和谐线”的长. 数学 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D【解析】在菱形中，对角线与相交于点，，， ，，由勾股定理可得， ，，如图，取中点，连接， ，点为的中点，点为的中点， ，，， ，， 在中，，.故选D. 10.D 【解析】观察图象得当时，， ，解得， 即灯丝的阻值为，故A选项正确，不符合题意； 用含的代数式表示为， 故B选项正确，不符合题意； 当时，. 即当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为3A，故C选项正确，不符合题意； 通过灯泡的电流不低于， .解得， 即要使通过灯泡的电流不低于，则调节滑动变阻器电阻的范围为，故D选项错误，符合题意.故选D. 11.（答案不唯一） 12.> 13. 14. 15.或2 【解析】如图，在中，于点，，，， ， ，， 设， ，， ①如图1，当点在上时，则， ， 在中，由勾股定理得， 点是边的“豫点”， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 此时； ②如图2，当点与点重合时，则， ，， ，这与点是边的“豫点”矛盾，则的情形不存在； ③如图3，当点在上时，则， . 在中，由勾股定理得， 点是边的“豫点”， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 此时. 综上所述，线段的长为或2. 故答案为：或2. 16.解：（1）原式； （2）原式 17.解：（1）10% 30% （2）4 （3）（人）. 答：估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数为900人. 18.解：（1）如图1，即为所作. （2）如图2，连接， 垂直平分， ， . 是的外角， . 19.解：（1）点在正比例函数的图象上，，解得，， 点在反比例函数的图象上， ，反比例函数的解析式为； （2）如图，作轴，垂足为，，， ，， ， ，， 将代入正比例函数，得，将代入反比例函数，得， ，， ，. 20.解：（1）设种花木每棵元，种花木每棵元，依据题意可得 解得 答：A，B两种花木的单价分别是30元和50元. （2）设购进A种花木棵，这批花木的费用为元， 则. ，随着的增大而减小，， 当时，最小.此时，B种花木有（棵）， . 答：购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元. 21.解：（1）如图1，连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，，即， （米）， 在中，， ， 与相切，， ， 在中，米， ， ， （米）， ， 在中，（米）. 答：点处的座舱到地面的距离约为79.6米. （2）如图2，过点作，交于点，延长，交于点，连接， 不妨设米， ，， （米）， 米， ， ， ，， 最佳观赏风景的时间为（分钟），的长（米）， 座舱经过的的长约为104.7米. 答：该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10分钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为104.7米. 22.（1）证明：， ， 令，， ， 抛物线与轴一定有两个交点. （2）解：①若，则，该抛物线的对称轴为直线， ，的最小值是. 当时，， 函数的表达式为. ②对于，，都有，抛物线开口向上，关于对称轴的对称点为， 或， 或. 23.解：（1）如图1，连接，在菱形中，，， 为等边三角形，点为的中点，，， 在中，， ，， 在中，， “和谐线”的长为. （2）“和谐线”的长等于. 理由如下：如图2，在菱形中，，， 又， ，，，， ，，， “和谐线”的长为. （3）“和谐线”的长为或. 由已知得“和谐线”中的或只能与菱形中较短的对角线相等， ①当时，如图3，过点作，交的延长线于点，过点作于点，，， 在中，， 在中，， ，， 在中，， ； ②当时，同理可证，，； ③当时，同理可得，，； ④当时，如图4，过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形.，， ，，，， ，，即， ，， ， ，，得， ，，， （SAS）， ， ，， ，，， ，， . 综上，“和谐线”的长为或. 学科网（北京）股份有限公司 $