精品解析：上海市复旦大学附属中学2026届高考临考冲刺限时练习数学试题

2026届复旦大学附属中学高考临考冲刺限时练习 上海数学试卷 考生注意： 1.本试卷的选择题均为单选题 2.解答题需要写出必要的计算说明过程 3.试卷共5页，请作答在答题纸上 4.请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 若集合，集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段讨论的方法将集合中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合，通过解分式不等式及高次不等式得到集合，再根据交集的定义计算即可得解. 【详解】当时， ， 令，解得，与矛盾，故方程无解； 当时， ， 等式恒成立，所以都是方程的解； 当时， ， 令，解得，与矛盾，故方程无解， 所以. 因为等价于，即， 用穿根法可得不等式组的解为或， 所以. 因为，， 所以. 2. 已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 【答案】1120 【解析】 【分析】先根据项数得出，应用二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】因为的展开式共有9项， 所以， 则展开式中的常数项为 ． 3. 若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】分别求出椭圆和双曲线的焦点即可求参. 【详解】双曲线的焦点在x轴上, 椭圆中, 所以, 可得. 故答案为：1. 4. 已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________． 【答案】11.6 【解析】 【详解】由题意，经验回归方程经过点， 则得，解得，所以． 当时，， 则． 5. 计算： __________． 【答案】12 【解析】 【详解】 6. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，且， 则，可得， 即，可得. 7. 已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】变形可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，即， 且，可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 则，可得， 所以数列前2026项的和为 . 8. 设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得 ，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 9. 满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 【答案】150 【解析】 【详解】将定义域中的五个元素分为三组，每组的元素个数可为1，1，3 或 2，2，1， 当以 1，1，3 分组时，组数为 ，当2，2，1分组时，组数为， 所以可以组成的函数个数为 . 10. 已知随机变量服从正态分布，满足，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率的性质及正态分布的对称性求出，再通过对多项式求导构造出，再利用赋值法，令，即可求出的值. 【详解】由概率的性质可知， 将其代入，可得， 由正态分布的对称性可知和关于直线对称，所以. 将代入， 可得， 对上式求导可得， 即. 令，则上式可化为， 所以. 11. 球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出球的半径，再利用向量条件求出等边三角形的边长长度，最后利用几何关系求解. 【详解】根据球的体积与表面积相等，则球的半径，设的边长为， 则，又因 ，设线段的中点为， 则根据向量加法的平行四边形法则，有，则， 连接，所以，因为为的中点， 则，同时， 则 ，解得， 又因，所以为等腰三角形，故，且， 和相交于，所以面，在的边长为，，， 因为，故，即， 解得，代入， 得， 则，因为， 所以， 即，解得，且， 故，. 因为 ， ，所以为等边三角形， 所以球心角，则的距离为 . 12. 已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题结合余弦定理可得，然后由三角形面积公式结合三角函数恒等变换可得，然后通过图形可得范围，最后由与关系可得答案. 【详解】 .又， 则. 又注意到，则. 如图，过C点做AB垂线CE，则，又过B点做AB垂线BD，使， 过C做AB平行线，交DB为F，易得四边形CEBF为矩形，则， 从而，则为等腰三角形，则，则由图结合三角形三边关系可得， 则，则. 因， 则构造函数，因在上单调递减，则. 则，则最小值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题涉及的一些常见恒等式： ， . 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 圆关于直线 对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为 ，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以 ，即， 因为，，所以 ， 当且仅当，即 时等号成立， 的最小值为4. 14. 设复数，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】使用复数的乘法运算表示，，作差比较，的大小. 【详解】设 ，则 ， 设 ，则 ， ， ， 因为， 所以. 15. 函数 的零点个数为（ ） A. 1013 B. 2026 C. 3039 D. 4052 【答案】B 【解析】 【分析】分， ，三种情况分析的零点个数，并结合函数的周期性，可得的零点. 【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为. 令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增； 又在上单调递减，故函数 在上单调递增； 又因，所以函数在上有一个零点. 当 时， ，，则，函数在上无零点. 当时， ，则 ，. 令，在 上单调递增，单调递增，所以单调递增； 在 上单调递增，且增长速度逐渐增快. 若，则，而，所以； 若，则，，所以 ； 若，则，，所以 ； 又 ，所以在上恰有一个零点. 综上，函数 在有两个零点. 所以函数 有 个零点. 16. 已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（ ） （1）成等差数列的充要条件为； （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R； A. 结论（1）（2）都成立 B. 结论（1）（2）都不成立 C. 结论（1）成立，结论（2）不成立 D. 结论（1）不成立，结论（2）成立 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，，.根据等差中项结合离心率的定义可得，进而分析判断结论（1）；根据等比中项结合离心率的定义可得，结合指数幂的定义判断结论（2）. 【详解】因为，则，，. 结论（1）：若成等差数列，等价于， 即，整理可得， 即成等差数列等价于， 所以成等差数列的充要条件为，故结论（1）正确； 结论（2）：若成等比数列，显然均不为0， 则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 可知为无理数， 根据指数幂的定义可知当为负数时无定义， 所以函数的定义域不可能为R，故结论（2）正确. 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明和得出平面，再由直线在面内，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，得出对应的向量和平面的法向量，即可求出点B到平面的距离. 【小问1详解】 由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 18. 某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求：该厂商生产口罩质量指标值的平均数； （2）若从这批口罩中抽取质量排名前40%的优质口罩送往医院，求：这批口罩中质量指标值的最小值； （3）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求：的分布列及方差； 【答案】（1）123 （2）125 （3）分布列见详解；方差为． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中求平均数公式计算即可； （2）先判断第60百分位的范围，建立方程求解即可； （3）利用分层抽样，结合题意得出随机变量的值，求出对应值的概率，列出分布列，求出期望和方差即可. 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为： . 【小问2详解】 由题设可得该质量指标的最小值即质量指标值的第60百分位数 因为 ， 故第百分位数落在内，设其为， 则 ， 解得：，故第百分位数为． 【小问3详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则：一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为， 又，，， 故的分布列如下： 数学期望为， 方差为． 19. 设函数对任意都有，． （1）当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； （2）已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 【答案】（1），猜想：当x为正整数时，.（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当x为正整数时，. 综上：当x为正整数时，. （2）①用反证法证明： 假设存在满足：恒成立； 则：恒成立，化简得：恒成立； ∴ 这与矛盾，故假设不成立， ∴ 不具有周期性； ②1 【解析】 【分析】小问（1）直接按照题目要求来求解；小问（2）的①使用反证法证明；小问（2）的②先求出的性质，再进行计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②由结论知为偶函数，则为偶函数，又为奇函数， 则定义域为R，关于原点对称， 故， 所以为定义域为R的奇函数， ∴ . 20. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 【答案】（1） （2）抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. （3） 【解析】 【分析】（1）利用求夹角即可； （2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围； （3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围. 【小问1详解】 点在抛物线上，代入得，解得； ，， 设两直线夹角为，则， 两直线夹角为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 设直线的方程为 ， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，， 则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． （1）若函数 为“极值差比函数”且在上严格增，试判断 是否为“极值差比函数”，并说明理由； （2）是否存在使 的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）对于（2）中的函数，若 ，求： 的“极值差比系数”的取值范围． 【答案】（1）是“极值差比函数”，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“极值差比函数”的定义来判断函数的单调性，结合正弦函数的性质来进行判断； （2）反证法，假设存在这样的参数，由“极值差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可； （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 若，则， 因为在上严格增，则在上严格增， 函数不存在极值点，此时函数 不是“极值差比函数” 所以， 根据正弦函数的性质可知，存在极大值， ， 极小值， ，则， 因此 是“极值差比函数”. 【小问2详解】 的定义域为，求导可得， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），求导可得， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为. 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，则极值差比系数可化为， ， 因为，解得， 令（），求导可得， 设（）， 求导可得， 所以在上单调递减， 因此当时，， 从而，所以在上单调递增， 所以，即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届复旦大学附属中学高考临考冲刺限时练习 上海数学试卷 考生注意： 1.本试卷的选择题均为单选题 2.解答题需要写出必要的计算说明过程 3.试卷共5页，请作答在答题纸上 4.请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 若集合，集合，则__________． 2. 已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 3. 若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是__________. 4. 已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________． 5. 计算： __________． 6. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 7. 已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 8. 设函数，若且，则的取值范围为__________． 9. 满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 10. 已知随机变量服从正态分布，满足，若，则__________． 11. 球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为__________． 12. 已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为__________. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 圆关于直线 对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 14. 设复数，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 15. 函数 的零点个数为（ ） A. 1013 B. 2026 C. 3039 D. 4052 16. 已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（ ） （1）成等差数列的充要条件为； （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R； A. 结论（1）（2）都成立 B. 结论（1）（2）都不成立 C. 结论（1）成立，结论（2）不成立 D. 结论（1）不成立，结论（2）成立 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）当Q为中点时，求点B到平面的距离． 18. 某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求：该厂商生产口罩质量指标值的平均数； （2）若从这批口罩中抽取质量排名前40%的优质口罩送往医院，求：这批口罩中质量指标值的最小值； （3）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求：的分布列及方差； 19. 设函数对任意都有，． （1）当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； （2）已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 20. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． （1）若函数 为“极值差比函数”且在上严格增，试判断 是否为“极值差比函数”，并说明理由； （2）是否存在使 的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）对于（2）中的函数，若 ，求： 的“极值差比系数”的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $