精品解析：甘肃兰州新区贺阳教育集团兰州校区高中部2026届高三、高复下学期5月第二次月考数学试题

贺阳教育集团兰州校区高中部高三、高复5月第二次月考 数学试题 命题人：石彦奎 李静 审核人：杨启群 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上； 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会又能锻炼能力．某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，则参加图书馆活动的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数 ，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各结论中正确的是（ ）． A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 若a，，，则 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 关于函数，下列结论正确的是（    ） A. 函数的最大值是 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 若方程在区间有两个实根，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 圆上存在两个点到直线的距离为2 C. 已知圆：，圆：，则圆，的公共弦所在的直线方程是 D. 若圆：与圆：有唯一公切线，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 在的展开式中，的系数是__________． 13. 哈尔滨市第一二二中学高二数学组织华容道大赛，七名数学老师依次登场，在安排出场顺序时，三个班主任需要排在一起登场，这样出场顺序一共有__________种．（用数字作答） 14. 已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图像关于直线对称，，则_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 16. 司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命，为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门通过道路监控随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人. （1）完成下面的列联表，依据小概率值的独立性核验，分析开车时使用手机与司机的性别的关联性； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 （2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时不使用手机的男性司机人数，求X的分布列和数学期望. 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 17. 如图，在正四棱锥中，与交于点，是棱上的两个三等分点，与交于点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. （1）求的标准方程； （2）若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺阳教育集团兰州校区高中部高三、高复5月第二次月考 数学试题 命题人：石彦奎 李静 审核人：杨启群 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上； 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会又能锻炼能力．某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，则参加图书馆活动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对4个单位分别编号，利用列举法求出概率作答. 【详解】记福利院、社区、图书馆和医院分别为A，B，C，D， 从4个单位中任选两个的试验有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个基本事件，它们等可能， 其中有参加图书馆活动的事件有AC，BC，CD，共3个基本事件， 所以参加图书馆活动的概率. 故选：D 2. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，可求交集，进而可得结论. 【详解】由，可得， 所以. 故的元素个数为3. 故选：B. 3. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得，进而即得. 【详解】, ， ∴. 故选：A. 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断A，再由函数零点及函数值变化趋势判断BCD. 【详解】由，可知，函数为奇函数， 故图象关于原点对称，故A错误； 当时，由可得，故D错误； 当时，增长比增长快，所以C正确B错误. 故选：C 5. 如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接与交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解. 【详解】连接与交于点，连接， 由题意得，，且平面， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设四棱锥各棱长均为2，则，， 可得， 则， 设异面直线与所成角为， 则． 故选：A． 6. 已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 已知函数，则关于的方程的所有实数根的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得或，然后分别解方程、，即可得解. 【详解】由可得或. 先解方程，当时，由可得； 当时，由可得. 接下来解方程，当时，由可得或； 当时，由可得或. 综上所述，关于的方程的所有实数根的和为. 故选：B. 8. 设函数 ，且在上满足，则实数a的取值范围为（ ） A. [0,1] B. [－1,1] C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】 ， ， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各结论中正确的是（ ）． A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 若a，，，则 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A的真假；考虑基本不等式等号成立的条件判断B的真假；利用基本不等式求和的最小值判断C的真假；写出命题的否定判断D的真假. 【详解】对A：因为与都表示“符号相同”，所以它们是等价的，即“”是“”的充要条件，故A正确； 对B：因为，但等号成立的条件是：即， 所以等号不成立，故B错误； 对C：因为（当且仅当时取“”）.故C正确； 对D：命题“，”的否定是“，”，故D错误. 故选：AC 10. 关于函数，下列结论正确的是（    ） A. 函数的最大值是 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 若方程在区间有两个实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的最值可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用三角函数图象变换可判断C选项；数型结合可判断D选项. 【详解】 . 对于A：函数的最大值是，A选项错误； 对于B：时，，是正弦函数的递增区间，故B选项正确； 对于C：函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， 即函数的图象，C选项正确； 对于D：当时，，令，则， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 当时，， 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是，D对. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 圆上存在两个点到直线的距离为2 C. 已知圆：，圆：，则圆，的公共弦所在的直线方程是 D. 若圆：与圆：有唯一公切线，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】验证得到A正确，解得圆心到直线的距离得到B正确，确定两圆相交，相减得到C正确，确定两圆内切，计算得到，错误，得到答案. 【详解】对选项A：将点代入直线验证成立，正确； 对选项B：圆心到直线的距离为，半径， 故圆上到直线的距离为2的点有2个，正确； 对选项C：圆：，圆心，， 圆：，圆心，， 圆心距，，两圆相交， 公共弦所在的直线方程是：， 即，正确； 对选项D：圆：,圆：， 两圆有唯一公切线，则两圆内切，即，解得，错误； 故选：ABC 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 在的展开式中，的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以的系数是. 故答案为： 13. 哈尔滨市第一二二中学高二数学组织华容道大赛，七名数学老师依次登场，在安排出场顺序时，三个班主任需要排在一起登场，这样出场顺序一共有__________种．（用数字作答） 【答案】720 【解析】 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】利用捆绑法，共有种安排方法， 故答案为:720. 14. 已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图像关于直线对称，，则_______. 【答案】3 【解析】 【分析】先由函数的图像关于直线对称，得到函数是偶函数，则有； 又令代入，求得函数的周期为，利用函数周期化简即可求值. 【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以函数的图像关于直线对称，即函数是偶函数，则有； 因为对任意，都有， 令，得， 所以对任意，都有，即函数的周期为， 则， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列基本量的计算即可求解； （2）首先得，由裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 成等比数列， 则， 即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； 【小问2详解】 由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 16. 司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命，为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门通过道路监控随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人. （1）完成下面的列联表，依据小概率值的独立性核验，分析开车时使用手机与司机的性别的关联性； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 （2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时不使用手机的男性司机人数，求X的分布列和数学期望. 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1）列联表答案见解析，认为开车时使用手机与司机的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005 （2）分布列答案见解析，数学期望： 【解析】 【分析】（1）根据题意填写 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）由题可得，X服从超几何分布，计算对应的概率写出X的分布列，计算数学期望. 【小问1详解】 解：由已知数据可得列联表如下： 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100 零假设为开车时使用手机与司机的性别无关联. ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为开车时使用手机与司机的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问2详解】 解：开车时不使用手机的男性司机人数为：人；开车时不使用手机的女性司机人数为：人. 由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴；； ；. 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. 17. 如图，在正四棱锥中，与交于点，是棱上的两个三等分点，与交于点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线证明，证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 是棱上的两个三等分点，即， 由题知四边形是正方形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以是的中位线，即是的中点， 因为，所以，，， 则， ． 设平面的法向量为，则 令，则，得． 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. （1）求的标准方程； （2）若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据题目中的右焦点，确定椭圆焦点在轴，可设椭圆的方程为，再根据已知题意求出，，，进而求出椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值，因为，所以只需求出和的面积，因为底都是， 高分别为，两点到直线的距离和，不妨设在直线的上方，求出的取值范围及与的关系，所以，根据的取值范围，最终得到面积的最大值. 【小问1详解】 设椭圆的方程为， 由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为，关于原点对称，且直线的斜率为，所以直线的方程为， 因为，是上两点，所以联立 ，解得或， 取，则，， 因为直线与交于，两点， 为了便于讨论，不妨设在直线的上方，所以， 即，且， 则在直线的下方，所以，即 又因为点到直线的距离，点到直线的距离， 所以四边形面积 ， 因为， 所以当时，四边形面积的最大值为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. 【小问2详解】 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. 【小问3详解】 我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $