精品解析：甘肃陇南市西和县成名高级中学2026届高三5月阶段性检测数学试卷

命学科网命组卷网 甘肃陇南市西和县成名高级中学2026届高三第三次阶段性检测数学试 卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填 写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合4={-2≤x≤2头，B={dx=2n-lneZ,则AnB=（) A.☑ B.} c{- D.{1,} 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合B的元素，再由交集定义求解即得 【详解因B={x=2m-山neZ表示奇数集，而M={-2≤x≤2 A∩B={-1,1} 故 第1页/共31页 学科网命组卷网 故选：D Z 2.若2=-1+i,则2z-（) A.-1-i B.-1+i D.22 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得z=-1-i,再结合复数的四则运算求解 【详解】因为2=-1+i,则z=-1-i,可得五=(1+(-1-i)=1+1=2 z-1+i =-1+i 所以zz-12-1 故选：B. 3.已知等差数列a,}的前n项和为S,若4与4是方程-8x+4=0的两根，则S1=（) A.41 B.42 C.43 D.44 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解。 【详解】由于4与“是方程-8x+4=0的两根，故4，+a=8 得%4 即4+4=2a。=8 因tS-"a=1a=4 2 故选：D 4已知椭圆C:子+片0<b<O的左、有焦点分别为F,E,经过E且斜率为3的直线与交 第2页/共31页 命学科网命组卷网 于4，B两点(A在B上方)， B在！上的射影点恰为M5的中点，则C的离心率为() 1 1 √2 A.4 B.3 C.2 D.2 【答案】C 【解析】 【详解1山百线1家率为5.得<45=骨。 由B在上的射影点拾为1的中点，符1HF5,△15为等边三角形， 由对称性，得A为椭圆C的上项点，则a=2c, 所以椭圆C的离心率为2. F F 5在(2+x+° 展开式中，xy的系数为() A.3 B.6 C.60 D.30 【答案】C 【解析】 【分折】求出？++川展开式的通原，再根据的次数确定☒+州的次数，品后求出：的系数 【详解】根据二顶式定理，可得[02+)+展开式的通项为工=C(K+”y(,=0,12,6 要求Xy的系数，则'的次数”=1，此时（仪+”=(？+刘 第3页/共31页 6学科网 命组卷网 同样根据二项式定理，(x2+展开式的通项为了1=C(x)"x=Cx0-2mx=Cgx0-m( m=0,1,2,…,5、 要得到2，则令10-m=7,解得m=3 当=l,m=3时，y的系数为CC=6x10=60. 在（：+x+小的辰开式中.y的系数为60 故选：C 3 6.已知a=ln3, 3c=2 e, 11,则() c<a<b b<a<c A. B.c<b<a c.a<b<c D 【答案】A 【解析】 【分析】利用f)=血 的单词性比较ab的大小关系，利用f)=血x 2价 的单调性证明11<1即可 a,b,c 比较出 的大小关系 【详解】令fy)-血x Γ，则f=1nx x2, 由f'>0得，x∈(0，e),由f<0得，xe(e,+o), 所以f)在(0，c)上为增函数，在(C,+0)为减函数 Ine In3 3>In3 因为e<3,所以e3,即e,故a<b 第4页/共31页 6学科网命组卷网 In2 In4 In v11 因为4i,所以24√1，所以√1n2<2n而， 2v 所以n2i<h1l,所以n<1,而a=n3>1,所以c<a<b. 故选：A 7.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC,D,E分别是PB, PC 上的点， ，三棱锥A-PDB DE∥BC,平面4DE上平面PBC, A-BCED 的体积与四棱锥 的体 积之比为9：7，则该三棱锥P-ABC的体积为() 3V3 A.3 B.2 C.3 D.25 【答案】A 【解析】 【分析】先通过线面垂直、面面垂直的判定定理找出相关垂直关系，进而得到在直角三角形中的线段关系； 再根据三棱锥与四棱锥体积比推出相关三角形面积比，从而得到线段比例关系，求出关键线段长度，最后 利用三棱锥体积公式计算体积. 【详解】如图，取C的中点H,连接MH,PH,PH∩DE=G BC 连接AG,△ABC是正三角形，.AH⊥BC, 又PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,∴.PA⊥BC, 又PAN AH=A,PA,AHC平面PMH,BCL平面PAH 4GC平面PMH,BCLAG .DE∥BC∴.AG⊥DE 第5页/共31页 6学科网命组卷网 ADE⊥ PBC ADE个平面 PBC=DE 平面 平面 ,且平面 AGc平面MDE,六4GL PBC 平面 :PHC平面 PBC∴.AG⊥PH 在R△PMH中，MH=HG-PH（*). “三棱锥A-PDE的体积与四楼锥 -BCED :7 的体积之比为 .SAPDE:S四边形BCED=9:7,SAPDE:SAPRC=9:l6,PG:PH=3:4 设HG=1,·PH=4,·代入（※）式得42=3,1s3 2，PH=23,PA=3 -ISAAWCPA-3 .V 三棱锥P-ABC的体积'3 故选：A B 16a+9b 8.已知a>0,b>0且a+b=1,则ab的最小值是() A.49 B.50 c.51 D.52 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得 第6页/共31页 学科网命组卷网 【详解】因为a>0,b>0且a+b=1, 16a9b =49 b a 16a_9b b= 4 3 当且仅当ba,即0=7，a= 7时取等号 故选：A 二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分在每个小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分) 9.若函数f)的定义域为R,f(0=2且x,yeR,f(x-广)=寸()-()，则() A.f(0)=-1 B.3aER.af(a)=a+f(a2-1) C.y=f(x-cosf(x)是偶函数 D.当y≤0时，f(x+)=f(x)+f(y) 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A,B,令y=-x可得f（)=-f(), 根据偶函数定义计算可判断 Vf(Vx).x20 C,利用赋值法结合C可得() xf)x<0分x=y=0'x≥0，y<02x<0,y20 及 种情况讨论可判断D. 【详解】对于A,令x=y=0,得0)=0-f0)0-f0)=0,故A错误： 第7页/共31页 命学科网组卷网 对于B,令x=a,y=l,得f(a-)=(a)-f), 因为()=2，所以f(a-)=财(a)-2,即财(a)=2+f(c-, 所以当a=2时，(a=a+/(a-)成立. 版3aeR,4(a)-a+f(c-),放B正痛： 对于C,令y=-,得fr-(]=对(x)+对(-x). 即()+()=0，所以f()=-f() 故函数(：)是定义在R上的奇函数， 令8()=f(x-cosf(x)」 因为8()=/(-x-cosf(-)=十f(x-cs[-f(x]=/(x-csf(x)=g(,). 所以图数8(d)是偶函数，即y-/(✉c0sf(冈是偶函数，故C正确： 对于D,令xeR,y=0,得f(r)=(x)】 当1≥0时，有f0=f可]i/ 当1<0时，有-0-[可j]-小回) 由C可知，函数()是定义在R上的奇函数。 所以当1<0时，有f()=-f)=f(N同)， [f()x20 所-5小5国.x<0 第8页/共31页 6学科网列组卷网 当术=y=0 时，由A可知， f(0+0)=f(o)=0,f(o)+f(0)=0,即f(0+0)=f(o)+f(0) 此时(x+)=f()+f(y)成立， 当≥0，y<0 时， fx+)=fx-(]=f-(=f()-f()=f+f) 同理，当x<0,y20时，f(x+)=f()+f(y)成立， 所以当y≤0时，f(x+)=f(✉+f)成立，放D正确 10已知4B为两个随机事件，且P(4=05,P(B)=02,则下列结论正确的是《) A若BcA,则P(AUB)=0.7 B.若A,B相互独立，则P(AB)=0.4 C若4，B相互独立，则P(4UB)=0.7 D.若P(B1A)=0.3,则P4B)=0.7 【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件概率的加法公式和对立事件概率的公式可判断A;根据独立事件同时发生的概率公 式和对立事件概率的公式可判断B;根据独立事件同时发生的概率公式 和容斥原理可判断C:根据条件概率公式可判断D, 【详解】若BCA,则A与B互斥，所以P(4UB)=Pa)+P(B)=1-0.5+0.2=0.7,故A正确： 若4，B相互独立，则4，B相互独立，则P(4B)=P(4P(B)=0.5×1-0.2)=04,故B正确 第9页/共31页 6学科网 列组卷网 A,B 相互独立，则 P(4UB)=P(4)+P(B)-P（AB)=P(A)+P(B)-P(AP()=0.5+02-0.5x0.2=0.6,故C错误， 匿P川B14=O.3:则P4B)=PAB）_P（4P（BA_0.5×0.3-0,75故D错误 P(B) P(B) 0.2 故选：AB 1.首项为正数，公差d≠0的等差数列{a,},其前”项和为S。,则下列命思中正确的有《) A.若d>0,则{a}是严格增数列 B.数列n ·定是等差数列 C若：<8o<,则使>0月 的最大的”为22 D.若S,=r-n+a(0为常数)，则0.=2n-2 【答案】ABD 【解析】 Sa 【分析】选项A,根据严格增数列的定义判断即可；选项B,先结合等差数列前n项和公式求n,再结合 等差数列的定义判断结论，选项C,利用S与“的关系，得41+a<0及4：<0 ,结合等差数列前n 项和公式及性质找到数列，}的正负分界位置可得：选项D,结合S.与4的关系求4，及n≥2时4， 再结合等差数列性质求a，由此判断D. 【详解】选项A,因为d>0,所以对于任意的n∈N,a1-a,=d>0」 故a>a,neN,所以A正确： 第10页/供31页 6学科网命组卷网 选项B,由已知S=a+心？- 2 -4+a2 所以n 2, S-=4+四-4-a-04-日 所以n+1n 29 22 所以数列n」 定是等差数列，故B正确： 选项C,由<。< 知。-0=41+a:<0且S1-S0=41>0,故2<0， 日 故等差数列{a,}首项4>0，公差d<0, 即数列a,}为递减数列，当n≤11时，a,>0:当n≥12时，a.<0 31-210a+a）=2a>0.5a-2a*a=1a+4）<0】 2 2 且当n≥23时，，=S+0s++a<0 故使S,>0的最大的加为21，故C项错误： 选项D,由S,=m-n+a可得，4=S=a 当n≥2时，a,=S,-S1=m2-n-(n-1)}+(n-）=2n-2 因为{a,}为等差数列，所以2-a=4-2,故0=0， 满足关系4=2×1-2 故4=0 第11页/共31页 命学科网命组卷网 所以4，=2n-2 故D正确 故选：ABD. 第二卷（非选择题，共92分） 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12已知向量a=(2,3,万=(，k),若a1(a+b.则k=一 【答案】-5 【解析】 【分析】求出a+b的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得答案 【详解】向量i=(2,3),6=(山)，所以+6=(3,3+)， 若d1(a+b),则d-(a+b)=6+33+k)=0 解得k=-5 1a日如过题物线C:少=r的点点F的百线交清的线C于P0丙点，交西+户-2x=0于M,N丙 14 点，其中P,M位于第一象限，请写出PMQW的一个可能取值一· 【答案】6（答案不唯一） 【解析】 【分析】分别过 2作花线准线的重较，善E分别为CH,过2,2B1G分别交OKGT店 1,1 -+=1 4、B,设PF=m,F=n,则PM=m-l,QN=n-l,再利用几何关系得到m+n,再求出 第12页/供31页 命学科网命组卷网 4 =4m+n-5 PMON ,然后利用基本不等式求解可得答案 【详解】抛物线C:y=4红的准线方程为x=-l,焦点F(,0) 圆的方程为(x-)'+y2=1 如图，分别过 Pe作乱晚绿的重，垂见分为点CH,过9作O816 分别交OR、PG于点4、B,所以△4 QF-AROP, 可设PF=m,lQF=n(m>0,n>0) 则PG=lPF=m,H=loFl=n 所以PM=m-lQWM=n-1 AF OF 2-n=n 1+1=1, 因为BPQP,所以m-nm+n,化简得mn m>0,n>0 因为 4=1 二+4三4m+n-5=4m+n-5 所以PM2Nm-1'n-1mn-(m+n)+1 1 41.44m+n-5 =4m+n-5 PMON m-1'n-1 mn-(m+n)+1 -m月}5-0+0≥ 22x4m=4 m n m n n_4m3 当且仅当mn 即m=2n=3 时，等号成立， 1 4 ≥4 所以PMON, 第13页供31页 6学科网6组卷网 1 4 ∴.PM'lQN的一个可能取值为6， G 故答案为：6（答案不唯一）· 14已知函数)=-c-b(a,b∈R)满足0)=l,且拾有一个极值点，则e的取值范周为 【答案】-e 【解析】 【分析】函数（✉）=r-c-b(a,b∈R)满是f(0)=l,得到b=-a-1,合有一个极值点，转化为 f()=2x-c=0有唯一解，且在解的两边导数值正负相反，参变分离求出a的范围a≤0.求 be”=(-a-1)e范围，转化为函数值域即可 【详解】f()=r-ae-b(a,6eR)满足f0)-l,即f0=-a-b=l,即b=-a-1, 且f(四=r-ae+a+l(a,beR)给好有-个极值点，f(四=2x-ae=0有唯-解 且在解的两边导数值正负相反(*)· 即a一e*有唯一翰 令86y)=2x 侧8(r)=2e-2xe=2=0,解得 e2x 第14页/供31页 命学科网命组卷网 x∈(，l)g'(x)>0,g(x)递增， x∈(（L,+o),g'(x)<0,g()递减， 所以=1时，画数8()影段大，极大值为8)= e x→-00，g(x)→-00；x→+∞，g(x)→0. 画出8(y)2x ex草图. y=g(x) y-a e或a≤0 当92 a=e时，f'(x)=2x-2e=2(x-e-), h(x)=x-e1→h'(x)=1-e=0 解得x=1, x∈(-o,),h()>0,h()递增， x∈(，+o),h()<0,h()递减， 当x=1时，函数（四取极大值，极大值为(0）-=0 第15页/供31页 命学科网命组卷网 2 a= 由于(*)，则e舍去 经检验a≤0满足题意 则be°=（←a-l0e°◆9(a)=(-a-1e(a≤0） q(a=-e°+(-a-1)e=-(a+2)ea=0 ，解得Q=-2 a∈(o,-2),9(a)>0,g(a)递增. a∈(-2,0)，9(a)<0,g(a递减， 当a=-2时，函数9(a取极大值。极大值为9(-2)。 a→-o,g(a)→0a=0,q(0)=-1. 画出9@=（←a-1e(a≤0）图像， 则-a-eus0.n-a-e为[司 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围的问题，本题求解参数范围的基本思路是导函 a,b 数零点的个数，参变分离，转化为两个函数交点个数从而确定参数“的范围后将两个参数”的函数通过 第16页/共31页 命学科网命组卷网 消元转化为Q的函数，后用导数研究关于的函数值域思维量大，综合性强，属于难题 四.解答题（共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，已知2b-C=2ac0sC,求： (1)A的大小： a+b (2)c的取值范围. Aπ 【答案】(1)“3； a+b1+3 (2)c e2 ,2+3) 【解析】 【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解作答 (2)利用正弦定理边化角，结合已知及(1)的结论，再借助和角的正弦及三角函数的性质求解作答 【小问1详解】 在锐角△ABC中，由正弦定理及2b-c=2 acos C,得2sinB-sinC=2 sin AcosC, 而sinB=sin(M+C)=sincoC+cosAsinC,于是sinC(2cosA-)=0, .cos A= 又sinC≠0，则 ）组A= 、A∈0,2)，解得A=3 2,而 2 所以A的大小是3. 【小问2详解】 5, a+b sin A+sin B sin A+sin(4+C)22 -cosC+sin C 由正弦定理得， sinC sin C sinC 第17页/供31页 命学科网命组卷网 3,3 =22 osC13.1+c0sC1 2cos2C sin C+ +13 1 22 sinC 22 2sin。cos ,C 2tan 2 2 2 0<C< 2 因为 为锐角三角形，有 <2n-C<,则c 0 △ABC 03 2天，5从石 e(,马 212'4 tan- -tan anπ 元元 1 =tan(。 4-3-11 12 341 1+tan tan anT1+V32+V3,因此C∈(0,2+v⑤) tan- 3 4 2 a+b-1+3 所以c (2°，2+ 16如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E,F分别为AB,PD上的点，且 BE PF=1 CD PD D B (1)证明：AFI/平面PCE: (2)若PD⊥平面ABCD,E为AB的中点，PD=AD=CD,∠BAD=60°，求二面角P-CE-F的 正切值 【答案】(1) 如图，在CD上取一点G,使得CG=AE, 第18页/共31页 6学科网 组卷网 BE PF 连接AG,FG,因为CD'PD,且ABCD是平行四边形， PF=1-BE _CG 所以PD CDCD,故FG/IPC, 又因为PCC平面PCE,FGd平面PCE, 所以FG/1平面PCE, 因为ABCD是平行四边形，且CG=AE, 所以AECG是平行四边形，故AG/EC, 又因为ECC平面PCE,AG￠平面PCE, 所以AG/1平面PCE, 因为AG∩FG=G,且AGC平面AFG,FGC平面AFG, 所以平面AFG/I平面PCE, 因为AFc平面AFG, 所以AFI/平面PCE. D C (2) V21 B 13 【解析】 第19页/供31页 6学科网 命组卷网 【分析】(1)在CD上取一点G,使得CG=AE,可证FGII平面PCE,再证AG/I平面PCE,可 得平面AFG/∥平面PCE,得证； (2)由题意建系用向量法求解或用几何法找出二面角的平面角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1：当E为AB中点，PD=AD=CD,∠BAD=60°时， 易知DE⊥CD,F为PD中点，又因为PD⊥平面ABCD, 所以DE,DC,DP两两互相垂直， 则以D为坐标原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立坐标系， 设PD=AD=CD=2,则C0,20,E(N5,00,F0,00.P0,02). 所以cE=(5,-2,0）,FE=(3,0,-,PE=(3,0,-2) 设平面FCE与平面PCE的法向量分别为m=(:,,）,i=(3,,2),则 V3x-2y=0V3x2-2y2=0 √3x-z=0’3x2-2z2=0 不能衣4=5,5=5.则m-(6-(6引 所以c0s历，方s m.i13 m列√190， 第20页/供31页 6学科网 组卷网 21 V190 V21 故二面角 的正弦值为 169 √21，正切值为13 13 P-CE-F 190 V190 V190 方法2：过D作DM⊥EC,垂足为M,分别连接PM,FM,ED, F M.-- B 因为PD⊥平面ABCD,ECC平面ABCD 所以PD⊥EC, 因为PD,DM是平面PDM内两相交直线， 所以EC⊥平面PDM, 因为PMC平面PDM,FMc平面PDM, 所以EC⊥PM,EC⊥FM, 即∠PMF就是二面角P-CE-F的平面角， 设∠PMF=a,∠PMD=∠I,∠FMD=∠2， BE PF =1 因为E为AB的中点，CDPD,底面ABCD是平行四边形， 所以F是PD中点， 设PD=AD=CD=2, 因为∠BAD=60°，易知DE⊥CD,且ED=5, 第21页/供31页 6学科网命组卷网 所以EC=VCD2+ED=√7 所以sin∠ECD= ED√21 EC 7, 所以DM=2sin∠ECD=2V5 √7 DM3,tan∠2=0=万 所以tan∠I-PD、V7 DM 23 tan∠1-tan∠2_v2i 所以anx=tan∠-②)=+tam.tam2 213, 21 即二面角P-CE-F的正切值为13· 17.规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次， 将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程 中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继 续下去，直至成功 (1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮 次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望； (2)为验证抽球试验成功的概率不超过2，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功 时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下： 2 4 2 232 98 60 40 20 6 求y关于t的回归方程少=+à 并预测成功的总人数（精确到1）： (3)证明： +)层1-)是*+1)a+ 第22页/供31页 6学科网组卷网 a=y-i旅 附：经验回归方程系数：b xy-n了 i=1 参考数据： 立x=146=046子=022-2) t 9 【答案】(1)分布列见解析，2 270 (2) -34.2 t 465 (3)证明见解析 【解析】 【分析】(1)结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望； (2)利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出回归方程，并根据方程求得预测值： 1 (3)通过求“在前轮没有成功的概率”大于2来求得“在前轮就成功的概率”小于2，从而证得不等式 成立 【小问1详解】 由题意可知，X的取值可能为1,2,3， Px=小=份4 P(x=2列-1-- x--- 所以X的分布列为 X 1 2 3 第23页/供31页 可学科网命组卷网 1 4 12 2-3 数学期望为 x)-1+2 +3x2=29 312 【小问2详解】 1 5 1 1 ,则x+a.由题月可知∑y=1x232+,×98+,×60+×40+×20=3正5 3 4 刀=232+98+60+40+20-90 5 ∑xy-5xy 所以6= 315-5×0.46×90=270, x-5x 1.46-5×0.462 i=1 a=-6=90-270×0.46=-34.2 =270-34.2 因此)=270x-34.2,即y关于t的回归方程为 t 所以.估计1=6时.y川：伤计1=7时.y4:仿计=8时，y<0 因此预测成功的总人数为232+98+60+40+20+11+4=465 【小问3详解】 由题目可知，在前n轮就成功的概率为 p))凉*- 在前n轮没有成功的概率为 第24页/供31页 6学科网命组卷网 -ra] (-C+-+x+00+） )f"ata)-*-中分. t)房)岸对 18已知函数f()=e"-x(x>0),其中aeR (1)讨论f()的单调性， （2②)若f()恰好有一个零点，求“的取值范围； (3)若()有两个零点无，为(<)，求证：血+2血x>3 【答案】(1) 当a≤0时，f()在0，+w)道减；当a≥l时，f(在0，+o)递增， 0a<1t.waon）tan。e) a= (2)a≤0或“ (3) 由=lnx匹=h为 第25页/共31页 6学科网6组卷网 作差可得a(:-)=n,-lnx→a=血五-ln x2-x1· 所证不等式血+2h>3a(6+2x)>3台血5-(k+25,)>3 2-x1 3五-1 台lnx2-lnx,> 3h> x+2x2 x1+2 令1=x(>),则上不等式即小 3-,00 3-02lnt- 1+2t 1+2t 记F☑=nr-3-) 1+2t(t>1), W70 :.F0在山，+o)单调递增， :.F>F(0=0所以不等式O成立，故有血￥+2血>3. 【解析】 【分析】(1)求导，分a≤0，a≥1和0<a<1三种情况，得到函数的单调性： (2)f(x)=0→a=nr x,构造 ()=血t x,x>0,求导，得到函数单调性，又（©）= e,当x趋向 国的干，当x向十十o时，的干0克家 3)由2)知a0,2时，树有两个零点，w=n5,心=h,两武相减羽 第26页/供31页 6学科网6组卷网 3-1 a-血5-n当，枚所证不等式可化为h点> 1+2x =五（)，则上不等式化为 令 x2-为 x t>1 w✉00-a 1+2t,t>1,求导得到其单调性，得到F()>F()=0,证毕 【小问1详解】 f'(x)=ae-l(x>0) 当a≤0时，()0，f(x)在(0，+o)递减， >0时.f国=4，x0 1)若a≥1，则f(x)>0,f(女在(0，+)单调递增， i)若0<a<1,令f'(x)=0→x=1n」 aa. e).0.)0. 单调递增。 综上：当a≤0时，f()在(0，+)递减：当a≥l时，f()在0，+)递增 0al.()w.在+ 【小问2详解】 令f(x)=0→e=x→am=nr→a=hnr x 第27页/供31页 命学科网命组卷网 记)s血x 0.)1n“ 易知x∈(0，e),h()>0,x∈(e,+o).h(x)<0 、h)在(0，c)单调递增，在（6+切)单调递减， 又(e) e,当x趋向于0时，h(x)趋向于-0， 当x趋向于+o0时 h(x)趋向于0， a=1 故f()恰有一个零点时，a≤0或a=e. 【小问3详解】 略 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有 参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论 分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确 定条件 Q已知椭圆C子+=(@>b>0)丝过点 (1)求C的离心率. BO (2)设1，B分别为C的左、右顶点，P,9为C上异于A,B的两动点，且直线吧的斜率恒为直线 AP的斜率的5倍. b PO ①当的值确定时，证明：直线 过轴上的定点： ②按下面方法构造数列，}：当b=b时，直线P过的定点为M(6,0）,且么=2，证明： 第28页/供31页 6学科网命组卷网 号会冷计叶总号aeN刘 23b2-1b-1 2W2 【答案】(1)3 (2)①由()知C的方程为96+京=1，A(-3b,0),B(3b,0). 由对称性可知直线P巴的斜率不可能为0，设P(,少），(x,乃），设P的方程为x=少+m x=ty+m 城+芳=1国仁49p+2+-6-0 所以△=4m-4+9(m2-962)=36(2b2-m+9b）>0,即m㎡<62+9%2， 且片+乃= 2+9,5=m39% 2tm 2=2+9.所以9=2m—(4+⅓) 0-2-+3b_9+m+3b)y_+(m+3b)业 则kPx2-3b片(y2+m-3b)yyy2+(m-3b)y 9b2-m(y+)+(m+36)4 。2 3b+m(3b-m)y+(3b+m)2_3b+m=5, 北，m++m=36A3b-m(Bb=my+B5+m23五三 解行m=2b,则P2的方程为 x=ty+2b 即直线P9过x轴上的定点(26,0) YA 第29页/供31页 6学科网6组卷网 ②由①可知， 6=2b.又b>0,6=2 所以b,}是首项为2，公比为2的等比数列，所以b。=2”, :。-1-2-<2-1=众-4-++b-1” b1-12-12H-22“b-1b-11 b-1 2 6-L-29-1=11-11、11 61-12-124-2”-2232”+2”-2223-2 号…好剑 b2-1b3-1 a-1) =n-61-2） =n_1+1>n1 Γ21 1233.2”23 2 8计州刘 -十…十 【解析】 22 631 b21 【分析】(1)根据题意，将点 代入椭圆方程得反)进而求得离心率： PO x=l+m (2)①由题可知直线的斜率不可能为0，设的方程为 ，与椭圆方程联立可得根与系数关系， 人吧=5，解得m=2b,进而得证：②根据题意可得亿，}是等比数列，求得b,=2”,代入放缩可得一 结合kP b-1=2”-1<2”-1=1b-1=2”-1=11=11≥11 b+1-12-12-22,bn41-12-124.2”-223.2”+2”-2232”, 进而得证 【小问1详解】 第30页/供31页 6学科网 命组卷网 2 因为椭圆C经过点 b. 6 b28b2 所以a 96=1, b21 3 a29 22 所以C的离心率e=1- 3: 【小问2详解】 ①略 ②略 第31页/共31页 甘肃陇南市西和县成名高级中学2026届高三第三次阶段性检测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且斜率为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 3 B. 6 C. 60 D. 30 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. . 7. 已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. ， C. 是偶函数 D. 当时， 10. 已知为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若相互独立，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 11. 首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则是严格增数列 B. 数列一定是等差数列 C. 若，则使的最大的为 D. 若（为常数），则 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，请写出的一个可能取值 _____ ． 14. 已知函数满足，且恰有一个极值点，则的取值范围为__________. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，求： （1）A的大小； （2）的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面，为的中点，，，求二面角的正切值. 17. 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）； （3）证明：． 附：经验回归方程系数：， 参考数据：（其中）． 18. 已知函数（），其中. （1）讨论的单调性； （2）若恰好有一个零点，求的取值范围； （3）若有两个零点，（），求证：. 19. 已知椭圆经过点． （1）求的离心率． （2）设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $