精品解析：上海市第二中学2025-2026学年高二第二学期5月月考数学试题

2025～2026学年市二中学高二下5月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 两条相交直线的夹角的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两条相交直线的夹角的概念即得. 【详解】两条相交直线的夹角的取值范围是. 故答案为：. 2. 若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积计算公式求解即可. 【详解】底面半径为1，则底面周长，侧面展开图的面积为， 故答案为：. 3. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 4. 若，且，则所有可能的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质结合特殊角的三角函数即可得答案. 【详解】若，由得； 若，由得. 故答案为：. 5. 对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业． 【答案】 【解析】 【分析】先求得视力在0.9以上的频率，再根据频数、频率、样本容量的关系即可求得答案． 【详解】由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为， 所以该班学生中能报专业的最多人数为． 故答案为：20. 6. 某校高中一年级共有男生204名，女生221名．徐老师为了解该校高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法，随机抽出男生24名，女生名，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抽样比相等可求的值. 【详解】根据抽样比可知：，解得， 故答案为： 7. 设，且，与（其中是虚数单位）在复平面上对应的点分别为与，则线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，且，根据复数的几何意义，写出的坐标，根据两点间距离公式求解. 【详解】设，则点，且， ，则点， 所以线段的长度为. 故答案为：. 8. 从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出所有满足恰好两个小球编号相邻的可能情况，然后利用古典概型求解. 【详解】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为，共种，其中恰好两个小球编号相邻的有，共种，根据古典概型的计算公式，恰有2个小球编号相邻的概率为：. 故答案为： 9. 已知等差数列的公差，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出首项，在求和可得答案. 【详解】由公差，且， 得， 即，解得， 则. 故答案为：. 10. 已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义及弦长公式可求得结果. 【详解】设，， 根据抛物线定义，，，得， 由，且，得， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，圆上一质点从点出发按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度大小为1弧度/秒，该圆上另一质点同时从点出发按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度大小也为1弧度/秒，设运动时间为秒．当与夹角最大时，所有满足条件的的取值组成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点运动时间后与轴正方向的夹角，然后依题意列出关于的等式，根据的范围确定的取值所组成的集合. 【详解】经时间后，与轴正向所成的角为，与正向所成的角为， 依题当夹角最大时有，，解得， 又，可得或，此时为或. 故答案为：. 12. 半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】类比祖暅原理得出球缺及剩余体积计算，再结合导函数得出单调性求解. 【详解】 设球缺（球的截面分球的两个部分）所在球体的半径为，球缺的高度为（球垂直于截面的半径的端点到截面的距离）， 不妨设，先用与水平面平行且经过球缺所在球的球心的平面截球缺， 则球台的高为，下底面半径为，上底面半径为， 由祖暅原理，球台体积等于与之等高，底面半径相等的圆柱挖去一个与之等高的小圆锥余下的几何体的体积， 其中小圆锥的底面半径为，则球台体积为， 将其加上半球的体积，即得球缺的体积：. 若，则可先计算另一半高为的大球缺体积，再用球的体积减去大球缺的体积， 即得小球缺的体积为. 类比球体积的推导方法，构造一个底面半径的圆柱， 里面挖去底面为圆柱下底面，顶点为上底面的圆心的圆锥，则可以算得在任意高度， 两个几何体的截面面积均为， 故两个几何体的体积相等，由可知越大，体积越大，故当截面垂直于时， 取较大的球缺的体积为，较小的为，可得所求最小值为. 故答案为：. 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式判断． 【详解】因为事件与事件是相互独立事件，则事件与事件也是相互独立事件， 所以，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意. 故选：C 14. 如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的性质，利用线面平行的判断和性质、中位线的性质、异面直线的定义、平面内两直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】连接，正方体中，是线段的中点，所以是线段的中点. 由，平面平面得∥平面所以与不相交，故A不正确； 由、分别是线段、的中点，得∥，故B不正确； 由平面，，平面，得与直线异面，故C不正确； 对于D，因为∥，，所以与直线不平行，又，平面,所以与直线相交，故D正确. 故选：D. 15. 若存在实数、，使得函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的对称性可知“美好函数”应该是一个中心对称函数，且含对称中心的连续区间长度超过4，然后根据所给函数的解析式判断奇偶性，最后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】圆，即，其圆心为， 因为函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分， 所以函数的图象关于中心对称， 所以“美好函数”应该是一个中心对称函数，且含对称中心的连续区间长度超过4. 中心对称函数，其图象关于原点对称且含对称中心的连续区间长度超过4, 都是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，都是非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，不符合题意. 所以，从6个函数的表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为. 故选：A. 16. 给定两个不共线的向量、，且对任意正整数，和同时成立．则关于以下两个命题的判断，正确的是（ ） ①对任意正偶数，均存在正整数，使得与共线； ②存在正整数，对任意正偶数，均有与不共线． A. ①、②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】设，则可有，要使与共线，则，再判断（1）、（2）可得答案. 【详解】设，则可有， 其中与不共线，要使与共线，则. （1）对任意的正偶数，总存在正整数，使得与共线，故（1）对； （2）取，则，故不存在正偶数使得与共线，故（2）对. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系求出通项公式. （2）利用等比数列列式计算得解. 【小问1详解】 数列的前项和， 当时，， 而，，不满足上式， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 由数列的前三项依次成等比数列，得，解得， 当时，均不为0，所以. 18. 设（其中）． （1）若，、、为的三个内角，其中，，，求线段的长度； （2）若函数最小正周期为，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理，即可求解； （2）根据条件得，利用倍角公式和辅助角公式得，再由的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为，则，所以，， 又，由正弦定理，得到. 【小问2详解】 由题知，得到，所以， 则， 又，则，所以函数的值域为. 19. 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下： 组：，，，，，，； 组：12，13，15，16，17，14，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立． （1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率； （2）若组病人康复时间的方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出组第60百分位数，再根据组中康复时间不少于中位数的人数，即可求解； （2）分别求出、组的方差，根据题意列不等式求解即可. 【小问1详解】 由，得组第60百分位数为第5个数：，组中康复时间不少于共有3人， 故从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率为. 【小问2详解】 组病人康复时间的平均数； 组病人康复时间的方差为； 组病人康复时间的平均数； 组病人康复时间的方差为 由,得 , 化简，得，解得. 故实数的取值范围是. 20. 如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求证：，并求点到直线的距离． 【答案】（1） （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据线面角定义求得线面角平面角，进而求解即可； （2）根据面面平行可得平面，再由线面平行的性质即可证明；在中，求得边长，利用余弦定理得，再由三角函数计算即可求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，有平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为点为的中点，所以，， 所以， 即直线与平面所成角的为； 【小问2详解】 因为平面平面，且平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以， 连接，，， 在直三棱柱中，底面为正三角形， 所以，，， 在中，，则， 所以点到直线的距离为. 21. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、． （1）写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； （2）设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； （3）若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，圆心为，半径为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程和性质求解即可. （2）首先设出直线方程，然后与半椭圆联立方程组，结合韦达定理和线段长度，求出的值，进而得到直线的方程. （3）先设出圆的方程，确定半径的范围，并讨论的范围，最后确定的值并比较圆的面积和四边形的面积，从而得出结果. 【小问1详解】 根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为. 【小问2详解】 由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为 【小问3详解】 依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年市二中学高二下5月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 两条相交直线的夹角的取值范围是________ 2. 若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________．（结果保留） 3. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 4. 若，且，则所有可能的值为________． 5. 对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业． 6. 某校高中一年级共有男生204名，女生221名．徐老师为了解该校高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法，随机抽出男生24名，女生名，则的值为________． 7. 设，且，与（其中是虚数单位）在复平面上对应的点分别为与，则线段的长度为________． 8. 从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______． 9. 已知等差数列的公差，且，则________． 10. 已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为______． 11. 在平面直角坐标系中，圆上一质点从点出发按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度大小为1弧度/秒，该圆上另一质点同时从点出发按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度大小也为1弧度/秒，设运动时间为秒．当与夹角最大时，所有满足条件的的取值组成的集合为________． 12. 半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为________． 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ） A. B. C. D. 15. 若存在实数、，使得函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 给定两个不共线的向量、，且对任意正整数，和同时成立．则关于以下两个命题的判断，正确的是（ ） ①对任意正偶数，均存在正整数，使得与共线； ②存在正整数，对任意正偶数，均有与不共线． A. ①、②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②都错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 18. 设（其中）． （1）若，、、为的三个内角，其中，，，求线段的长度； （2）若函数最小正周期为，求函数的值域． 19. 药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下： 组：，，，，，，； 组：12，13，15，16，17，14，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立． （1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率； （2）若组病人康复时间的方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围． 20. 如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求证：，并求点到直线的距离． 21. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、． （1）写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； （2）设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； （3）若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $