精品解析：上海市光明中学2025-2026学年高二第二学期第二次调研数学试卷

上海市光明中学2025-2026学年高二第二学期第二次调研数学试卷 2026.5 考生注意： 1．本试卷满分120分．考试时间80分钟． 2．所有题目均做在答题卷上． 3．答卷前，务必在答题卷上将班级、姓名、学号、准考证号等填写清楚. 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，满分54分） 1. 双曲线的焦点坐标为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程求，即可求解焦点坐标. 【详解】由双曲线方程可知，焦点在轴，且，， 所以， 所以双曲线的焦点坐标为. 故答案为： 2. 设函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 3. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 4. 若直线是双曲线的一条渐近线，则_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即可得解. 【详解】因双曲线的焦点在轴上，且， 故其渐近线方程为，依题意，易得. 故答案为：2. 5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 6. 若函数的图象在点处的切线方程是，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得，将代入切线方程得 【详解】根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，即，且，所以. 故答案为：3 7. 函数的驻点为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由求得正确答案. 【详解】的定义域为， 由解得， 所以的驻点为. 故答案为： 8. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 【答案】60.5 【解析】 【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得. 【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 9. 已知抛物线的焦点是F，点A，若抛物线上存在一点M使得最小，则M点的横坐标为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点及准线，利用抛物线定义结合几何图形推理作答. 【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A作于点N，交抛物线于M，连MF，如图， 在抛物线上取点，过作于，连接，有， 则有，当且仅当点与M重合时取等号， 因此，此时点M的纵坐标为2，则其横坐标， 所以M点的横坐标为. 故答案为： 10. 直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则． 的最小值为. 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 12. 已知函数有三个不同的零点，其中则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围. 【详解】设， ， 当时，； 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，， ∴， 作出的图象，如图 要使有三个不同的零点，其中 令，则需要有两个不同的实数根（其中） 可得， ∵，∴，则 ∴，则，且 ∴， 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，再利用韦达定理化简进而求得结果。 二、选择题（每小题4分，满分16分） 13. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程直接判断. 【详解】方程即为， 由方程表示双曲线，可得， 所以，， 所以虚轴长为， 故选：B. 14. 下列说法正确的是( ). A. 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B. 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C. 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D. 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断． 【详解】如图为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象： 对于选项A：极大值极小值，故A错误； 对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确； 如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上的极大值，而不是最大值，故C错误；同时，最大值不是极大值，故D也错误． 故选：B. 15. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时，函数的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据导数的正负判断函数的单调性及极值和最值可得. 【详解】对于A，由图可知当时，；当时，，所以函数在处取得极大值，故A错误； 对于B，由图可知当时，；当时，，所以不是函数的极值点，故B错误； 对于C，由图可知时，，所以函数在区间上单调递减，所以C错误； 对于D，当时，，所以函数在区间上单调递减，因此函数的最大值是，所以D正确. 16. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线上，给出下列四个结论： ①；②；③面积的最大值为；④周长的最小值为；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，结合曲线过原点求出，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断. 【详解】依题意，，即， 由曲线过原点，得，①正确； ， 当且仅当时取等号，解得，即， ，即， 解得，因此，②正确； 令，由，得， 则， 当且仅当时，有最大值，，③正确； ，当且仅当，即时取等号， 因此在中，，所以 ， 所以周长，所以周长的最小值不是，④错误. 三、解答题（本大题有4道题，满分50分） 17. 竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系. （1）求火箭在时间段内的平均速度； （2）求火箭在时的瞬时速度.（请用导数的定义解答） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均变化率的计算公式，即可求解； （2）由导数的定义可求得火箭在时的瞬时速度. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 所以火箭在时间段内的平均速度为； 【小问2详解】 根据导数的定义知，火箭在时的瞬时速度为. 18. 如图是一张边长为3的正方形硬纸板，现把它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 【答案】当时，容积最大，最大值为 【解析】 【分析】由题意，求出容积关于的表达式，利用导数研究函数的单调性及最值即可. 【详解】由题意，得，求导可得， 令，得或， 令，解得；令，解得． 因此，当时，容积随着的增大而增大；当时，容积随着的增大而减小； 而当时，容积是极大值，也是最大值． 19. 已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义和点的坐标列方程组，求解方程组即可； （2）设直线方程，联立方程，结合韦达定理可求面积表达式，结合面积的值可求答案. 【小问1详解】 因为的准线方程为，由定义可得， 又为上一点，所以，联立两个方程可得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由 （1）知焦点， 设直线 l 的方程为，与抛物线 联立得. 设 ，由韦达定理得：, △OAB 的面积为：, 解得，所以直线 l 的方程为：或. 20. 已知椭圆，，A是的右顶点． （1）若的焦点，求离心率e； （2）若，且上存在一点P，满足，求m； （3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【小问1详解】 由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. 【小问2详解】 由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. 【小问3详解】 由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市光明中学2025-2026学年高二第二学期第二次调研数学试卷 2026.5 考生注意： 1．本试卷满分120分．考试时间80分钟． 2．所有题目均做在答题卷上． 3．答卷前，务必在答题卷上将班级、姓名、学号、准考证号等填写清楚. 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，满分54分） 1. 双曲线的焦点坐标为____. 2. 设函数，则__________. 3. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 4. 若直线是双曲线的一条渐近线，则_____________. 5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________． 6. 若函数的图象在点处的切线方程是，则__________. 7. 函数的驻点为__________. 8. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 9. 已知抛物线的焦点是F，点A，若抛物线上存在一点M使得最小，则M点的横坐标为______. 10. 直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________. 11. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 12. 已知函数有三个不同的零点，其中则的值为__________. 二、选择题（每小题4分，满分16分） 13. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法正确的是( ). A. 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B. 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C. 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D. 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 15. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时，函数的最大值是 16. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线上，给出下列四个结论： ①；②；③面积的最大值为；④周长的最小值为；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 三、解答题（本大题有4道题，满分50分） 17. 竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系. （1）求火箭在时间段内的平均速度； （2）求火箭在时的瞬时速度.（请用导数的定义解答） 18. 如图是一张边长为3的正方形硬纸板，现把它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 19. 已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 20. 已知椭圆，，A是的右顶点． （1）若的焦点，求离心率e； （2）若，且上存在一点P，满足，求m； （3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $