精品解析：上海市扬子中学2025-2026学年高二第二学期学程3练习数学试卷

2025学年第二学期学程3练习试卷 高二数学 一、填空题：本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分. 1. 直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【解析】 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 2. 双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的性质求解. 【详解】双曲线的离心率为. 故答案为： 3. 圆的圆心坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标． 【详解】由，得， 可得圆心坐标为． 故答案为：． 4. 椭圆的焦距为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆焦距求出半焦距，结合椭圆中的基本关系计算的值. 【详解】由 ，焦点在轴上，其中短半轴的平方； 由椭圆焦距为，可得，解得， 又，则 ，结合已知， 故. 5. 函数导数为_________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为 ， 可看作由与复合而成， 则. 6. 已知函数，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数的定义求解。 【详解】根据题意，，则，又． 故答案为：8 7. 函数在区间的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数________． 【答案】## 【解析】 【详解】函数在区间上的平均变化率等于， 因为，则在时的瞬时变化率为， 则有，解得，因为，所以， 故答案为：. 8. 设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，，，则 ， ， 考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理； 9. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围是________． 【答案】； 【解析】 【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0,再利用分离参变量来研究不等式恒成立，就可解得结果. 【详解】由可得：， 由在上为减函数，可得在上恒有， 即，整理得：， 因为，所以，则. 故答案为：. 10. 已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果. 【详解】，有极值前提 ． 或 ． 当时，函数，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去. 同理，当时，经验证，满足条件. 则. 故答案为：11. 11. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得M、N坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】 设，由题意得，过点B的切线l的方程为：， 令，可得，令，可得， 所以面积， 又点B在椭圆上，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：设出点的坐标直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解. 12. 若不等式对任意成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】令，， 依题意在上恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，所以； 当时，令，解得， 若，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，则，满足题意； 若，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，所以， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 二、选择题：本大题共4题，分值4+4+5+5分，共18分. 13. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数公式求出，进而可以求出结果. 【详解】. . 故选:D. 14. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 15. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ） A. 在区间上是严格减函数 B. 在区间上是严格增函数 C. 是极小值点 D. 是极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项. 【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误； 对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确； 对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误； 对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性. 16. 点P为抛物线C：准线上的点，若存在过P的直线交抛物线C于A，B两点，且，则称点P为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（ ） A. 准线上的所有点都不是“Ω点” B. 准线上的所有点都是“Ω点” C. 准线上仅有有限个点是“Ω点” D. 准线上有无穷多个点（不是所有的点）是“Ω点” 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而得到B的坐标，把A，B的坐标代入抛物线方程，联立消去y，求得判别式大于0恒成立，即可推断出方程有解，进而即可得到答案． 【详解】由题意可知抛物线C：的准线方程为， 因为，所以A为PB中点， 设，，则 由A，B在上，则，且， 消去m得，， 整理得关于n的方程， 又恒成立， 所以方程恒有实数解， 即对于任意的P点，都存在过P点的直线交抛物线C于A，B两点，使得． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题以新定义的形式考察直线和圆锥曲线的位置关系，将点在直线和抛物线上是否满足一定条件的问题转化成方程解的存在性问题是解答本题的关键． 三、解答题：本大题共5题，共14+14+14+18+18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知抛物线：． （1）求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； （2）过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 【答案】（1） ，准线的方程为； （2） 【解析】 【分析】（1）对照抛物线标准形式求出，直接推导焦点坐标和准线方程； （2）先写出过焦点的直线方程，与抛物线联立后用韦达定理结合抛物线定义求解弦长. 【小问1详解】 由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. 【小问2详解】 设点，，由题意，设直线的方程为 . 联立直线与抛物线方程  消去，整理得 ， 则， 又因 ， ， 故弦长 . 18. 已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． （1）求双曲线的方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程； （2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围. 【小问1详解】 由条件可知，，且，解得：，， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立，， 时，，得； 当时，时，，得，满足条件， 综上可知，或. 19. 已知是实数，函数 （1）若，求的值及曲线在点处的切线的方程； （2）当时，求在区间上的最小值． 【答案】（1） ，切线方程为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【小问1详解】 由 ，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 【小问2详解】 令 ，得或 ， 当，即时，在区间上， ，单调递减，因此最小值为 当 ，即时， ，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在​处取得 综上， 20. 设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值． 【答案】（1）； （2）最大值为5，最小值为； （3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，，即得； （2）由题可得，利用二次函数的性质即得； （3）当直线PQ斜率存在时设其方程为，联立椭圆方程可得，利用韦达定理及条件可得，进而可得到直线PQ的距离为定值，当直线PQ斜率不存在时，可得，易得到直线PQ的距离为定值，即证. 【小问1详解】 ∵椭圆：，点的坐标为， ∴，， ∴的焦点坐标为； 【小问2详解】 设，又， 由题知，即， ∴， 又， ∴当时，取得最大值为25；当时，取得最小值为； ∴的最大值为5，最小值为. 【小问3详解】 当时，椭圆：， 设，当直线PQ斜率存在时设其方程为，则 由，得， ∴， 由可知，即， ∴，即， ∴，可得，满足， ∴到直线PQ的距离为为定值； 当直线PQ斜率不存在时，，可得直线方程为，到直线PQ的距离为. 综上，到直线PQ的距离是定值． 21. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. （1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； （2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间； （3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可； （2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可； （3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可. 【小问1详解】 若是函数的驻点，则，可得，即得． 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，令，可得或， ①当，即时，对任意的，， 此时，函数的单调递增区间为． ②当，即时， 令，得或， 令，得， 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ③当，即时，令，得或；令，得， 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由，可得，即，其中， 令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得， 当时，，当时，， ∴函数在上严格递增，在上严格递减， ∴函数在端点或处取得最小值． ∵，∴， ∴，∴， 因此，实数的取值范围是 【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论： （1）存在； （2）存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学程3练习试卷 高二数学 一、填空题：本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分. 1. 直线的倾斜角______． 2. 双曲线的离心率为__________． 3. 圆的圆心坐标是________. 4. 椭圆的焦距为，则__________． 5. 函数导数为_________． 6. 已知函数，则______． 7. 函数在区间的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数________． 8. 设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于__________． 9. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围是________． 10. 已知函数 在 时有极值 ，则 ____． 11. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为______． 12. 若不等式对任意成立，则的取值范围是___________． 二、选择题：本大题共4题，分值4+4+5+5分，共18分. 13. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 15. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ） A. 在区间上是严格减函数 B. 在区间上是严格增函数 C. 是极小值点 D. 是极小值点 16. 点P为抛物线C：准线上的点，若存在过P的直线交抛物线C于A，B两点，且，则称点P为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（ ） A. 准线上的所有点都不是“Ω点” B. 准线上的所有点都是“Ω点” C. 准线上仅有有限个点是“Ω点” D. 准线上有无穷多个点（不是所有的点）是“Ω点” 三、解答题：本大题共5题，共14+14+14+18+18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知抛物线：． （1）求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； （2）过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 18. 已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． （1）求双曲线的方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 19. 已知是实数，函数 （1）若，求的值及曲线在点处的切线的方程； （2）当时，求在区间上的最小值． 20. 设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值． 21. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. （1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； （2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间； （3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $