精品解析：河北石家庄市第三十八中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

河北石家庄市第三十八中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题 一、单选题 1. 若向量，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量平行，垂直的坐标表示和数量积的坐标运算公式分别检验即可. 【详解】因为,所以不平行，因为，所以， 又， 故选:B. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先计算复数，再化简复数，得到，求出，确定复平面内的点的坐标，得到点所在的象限. 【详解】因为，所以，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D 3. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出的实物图，即可计算出的面积. 【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示： 可知，，且，因此，的面积为. 故选：C. 【点睛】本题考查由直观图计算原图形的面积，一般将图形还原，或者利用直观图和原图形面积之间的倍数关系来进行计算，考查计算能力，属于基础题. 4. 在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 5. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断. 【详解】对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然，故A不正确； 对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确； 对于选项C，，，则，故C正确； 对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确. 6. 如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥与圆柱的体积比为 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 【答案】C 【解析】 【详解】因为圆锥的底面半径为1，高为1，所以圆锥的母线长为，A正确； 圆锥的体积，圆柱的体积， 所以圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 该几何体的体积为，D正确； 圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， 圆柱的下底面面积， 所以该几何体的表面积为，C错误. 7. 如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（     ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原成直观图，结合线面平行、面面平行的判定逐项判断即可. 【详解】由展开图得到正方体的直观图，如图： 观察直观图知，与是异面直线，①错误；与平行，②错误； 由四边形是平行四边形，得，又平面，平面，则平面，③正确； 由，又平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，因此平面平面，④正确. 8. 已知一个无盖的圆柱形容器（忽略容器壁厚度），其底面半径为10厘米，母线长为30厘米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱形容器的母线与水平面所成角为，当剩下的水为原来的时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】该容器盛满水时的体积为， 倾斜后剩下的水为， 所以流出的水的体积为， 所以，所以 二、多选题 9. 在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BD 【解析】 【分析】对各选项，先用正弦定理计算 ，再结合边的大小关系判断角的范围与解的个数；钝角选项直接由大边对大角排除矛盾情况；等腰选项直接由等边对等角求出唯一解，从而筛选出恰有一解的选项． 【详解】对于A，由，得， 因为为锐角，且，，即， 所以三角形有两解，A错误； 对于B，由，得， 因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确； 对于C，因为，则是的最大内角， 又由，得，所以无解，C错误； 对于D，由，得，，恰有一个解，D正确． 10. 如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（ ） A. B. PQ的最大值为 C. 存在P，Q，使得平面 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据动点所在平面与已知平面平行，确定动点所在位置，进行判断线线平行；B选项，根据P，Q两点的移动轨迹，确定取最大值时P，Q两点的位置，计算最大值；C选项，当P，Q两点都在平面中时，可满足平面，故根据P，Q两点的移动轨迹判断即可；D选项，根据平面的平行线上的点到平面的距离都相等可将动点通过平行线转化为定点，从而保证同底等高的棱锥体积不变． 【详解】 如图，连接，，，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面； 因为，且平面， 所以平面平面； 因为平面，平面，所以平面； 又平面平面 ，所以点在线段上， 故与不一定平行，A错误． 由A可知，当与或重合时，取最大值为，B正确； 当点与点重合，点与点重合时，平面，C正确； 因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， ，D正确． 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为 B. 已知的三个内角分别为，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的重心 C. 在中，若，则为锐角三角形 D. 为内部一点，，则，，的面积比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求出的最小值可判断A正确；对于B，取的中点为，过作直线的垂线，垂足为，将化为，可得B正确；对于C，推出为锐角，根据锐角三角形的定义可判断C不正确；对于D，取的中点为，的中点为，由，推出为的中点，可判断D正确. 【详解】对于A，取的中点，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，，，设， 则，，，则， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为，故A正确； 对于B，取的中点为，过作直线的垂线，垂足为， 则，， 因为， 所以， 所以， 所以与共线，因为，所以动点的轨迹为射线（不含点），一定经过三角形的重心，故B正确； 对于C，在中，若，则，则， 则为锐角，一个锐角不能推出三角形为锐角三角形，故C不正确； 对于D，取的中点为，的中点为，连接，如图： 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，即， 所以为的中点， 所以，，， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知向量，的夹角为，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示求出，根据向量数量积的定义求得，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由，得，即，所以. 又，所以，即. 所以. 13. 在中，若，则角________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知， 根据正弦定理可得， 由余弦定理可知，将上述等式代入，得， 又，故. 14. 如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，转化为三棱柱的外接球问题，结合正弦定理和余弦定理得到答案 【详解】如图，过作，且，过作，且， 连接，，，，根据题意可知，， 由题意知，，，所以， 又，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同，设其半径为． 由，知，设三角形的外接圆半径为， 则，求得． 设，则，在中，设，， 则，， 代入，解得或（舍），． 四、解答题 15. 已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． （1），表示向量，； （2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 【答案】（1）， （2），，三点共线．证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，从而得证； 【小问1详解】 ， 因为． 所以. 【小问2详解】 ，，三点共线．证明如下; 由于， 所以， 所以， 因为为公共点， 所以，，三点共线． 16. 设复数，为实数. （1）当为何值时，是纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解； （2）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 由题意，为纯虚数，则需满足： 由，解得 或 ， 由，解得 且 ， 综上， 故当 时， 是纯虚数. 【小问2详解】 因为复数， 所以复数 ， 又因为 在复平面内对应的点在第三象限，所以： 由 ，解得 ， 由 ，即 ，解得 或 ， 取两者的交集，得 ， 故实数 的取值范围是 . 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由利用两角和与差的公式化简得到求解； （2）结合，由的面积为，求得，再利用余弦定理求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得． 又，所以． 又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 由的面积为，得， 解得． 由余弦定理，得， 解得， 所以的周长为． 18. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，. （1）求证：平面平面； （2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. （2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 19. 对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． （1）若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； （2）证明：“分离比”； （3）试求出“分离比”f的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形及其内切圆、外接圆的性质，结合三角形面积公式求出，进而根据“分离比”定义求解； （2）根据正弦定理，结合三角形面积公式求出相应边角关系，进而利用“分离比”定义证明结论； （3）运用两角和与差的正余弦公式，结合二倍角公式化简为，再利用换元法，结合两角差的余弦公式及余弦函数的有界性得出，再利用换元法结合二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最大值，从而求出“分离比”f的最小值． 【小问1详解】 设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为， 直角三角形外接圆直径即为斜边，则， 由面积公式得，解得， ． 【小问2详解】 由正弦定理得， 三角形面积， 又， ， ． 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ， ， 令，则，即， 则， ， ，故， 令 ，则， 则转化为，函数开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时，则，又， ，则，即为等边三角形时， 取最大值， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北石家庄市第三十八中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题 一、单选题 1. 若向量，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥与圆柱的体积比为 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 7. 如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（     ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 8. 已知一个无盖的圆柱形容器（忽略容器壁厚度），其底面半径为10厘米，母线长为30厘米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱形容器的母线与水平面所成角为，当剩下的水为原来的时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（ ） A. B. PQ的最大值为 C. 存在P，Q，使得平面 D. 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为 B. 已知的三个内角分别为，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的重心 C. 在中，若，则为锐角三角形 D. 为内部一点，，则，，的面积比为 三、填空题 12. 已知向量，的夹角为，，，则___________． 13. 在中，若，则角________． 14. 如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 四、解答题 15. 已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． （1），表示向量，； （2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 16. 设复数，为实数. （1）当为何值时，是纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，. （1）求证：平面平面； （2）已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 19. 对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． （1）若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； （2）证明：“分离比”； （3）试求出“分离比”f的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $