精品解析：河北省博野中学、涞源县第一中学2025-2026学年高一创新班下学期5月期中质量检测数学试题

河北省博野中学、涞源县第一中学2025-2026学年高一创新班下学期5月期中质量检测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知圆的方程为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（ ） A. 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 6. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：和圆：相交于A，B两点，则（ ） A. 直线AB的方程为 B. C. 四边形的面积为 D. 圆：与圆和圆都相切 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（ ） A. 的长度的最大值为 B. 若平面，则点为的一个三等分点 C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于轴对称的点的坐标为______. 13. 已知，是直线上的两点，若，则______． 14. 已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，过点且斜率为1的直线交圆于，两点. （1）求线段的中垂线方程； （2）求弦的长. 16. 已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 17. 如图，在平行六面体中，，且，. （1）分别求，的长； （2）证明：. 18. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，D是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面和平面的夹角为，求的最大值. 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省博野中学、涞源县第一中学2025-2026学年高一创新班下学期5月期中质量检测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：， 故选：A 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在面上的射影及空间向量的模求解. 【详解】因为是点在坐标平面内的射影， 所以，， 所以， 故选：B 3. 已知圆的方程为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程满足的条件列不等式求解即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 4. 已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程识别求解即可． 【详解】由方程表示椭圆， ，解得． 故选：C． 5. 已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（ ） A. 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围求解即可. 【详解】由题意可知，，则，解得， 所以双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：B 6. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先计算出的值，然后通过联立求得点的坐标，利用的坐标表示出，由此可求的值，则渐近线方程可知. 【详解】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)， 由，可得，则， ，渐近线方程为. 故选：B. 8. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件，结合椭圆的定义得到点是椭圆与椭圆的公共点，两方程联立化简得到即可求解. 【详解】由题可知， 所以点同时也在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为. 联立即 即 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为4，即的最小值为2. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 10. 已知圆：和圆：相交于A，B两点，则（ ） A. 直线AB的方程为 B. C. 四边形的面积为 D. 圆：与圆和圆都相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由两圆的方程相减求解；B.利用圆的弦长公式求解；C.由求解；D.由圆与圆的位置关系求解. 【详解】由和两式相减得：，故A正确； 圆心到直线的距离为， 则，故B正确； ， 则，故C错误； ， 而，故圆与圆和圆都相外切，故D正确； 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（ ） A. 的长度的最大值为 B. 若平面，则点为的一个三等分点 C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据两点间距离公式、线面垂直的性质、正方体截面的性质，结合空间向量夹角公式、基本不等式逐一判断即可. 【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，当时，的长度的最大值为， 此时点与点重合，故本选项正确； B：，设平面的法向量为， ，， 所以有，可取， 当平面时，则有，则有， 即，，， 显然，所以点为的一个三等分点，因此本选项正确； C：如上图所示：截面是五边形， 显然， 由平面几何知识可知， 因为，所以， 得，同理，可得， 于是，， ，， 所以平面截正方体所得截面的周长为，因此本选项说法不正确； D：由上可知平面的法向量为，， 直线与平面所成角的正弦值为， 因为， 所以有，当且仅当时取等号， 于是有，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值最大为，因此本选项说法正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于轴对称的点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的定义，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得点关于轴对称的点的坐标为. 故答案为：. 13. 已知，是直线上的两点，若，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据题意结合直线方程可得，再利用两点间距离公式运算求解. 【详解】因为，在直线上，则，． 又因为，则， 所以． 故答案为：13. 14. 已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，过点且斜率为1的直线交圆于，两点. （1）求线段的中垂线方程； （2）求弦的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线的斜率，结合过圆心，待定系数法进行求解； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求出答案. 【小问1详解】 由直线的斜率为1，得线段的中垂线的斜率为， 又过圆心，则的方程为， 所以线段的中垂线方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，将代入得， 解得，可得直线的方程为， 的圆心为，半径为4， 圆心到直线的距离为， 所以. 16. 已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式和将点代入方程，求解即可； （2）设，，代入方程，再利用斜率公式化简得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设，， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 所以为定值. 17. 如图，在平行六面体中，，且，. （1）分别求，的长； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【小问1详解】 因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， 【小问2详解】 ， 所以． 18. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，D是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面和平面的夹角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明平面平面即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解； （3）不妨设，则点在圆上运动，设，且且，求出两个平面的法向量，利用空间向量法进行求解． 【小问1详解】 连接，如图所示； 为的中位线，则， 而平面，平面，得平面， 由是圆锥底面圆的直径， T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点， 得，得， 而平面，平面，得平面， 又平面， 得平面平面， 而平面，得平面． 【小问2详解】 若，则, 因为圆锥底面，在圆锥底面内，所以， 以O为原点，分别以所在直线为轴，过O垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 不妨设，则， 得， 设平面的法向量为， 得，令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 以O为原点，分别以所在直线为轴，过O垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 　 不妨设，则点在圆上运动， 设，且且， 而， 则， 设平面的法向量为， 得， 令，得， 设平面的法向量为， 得， 令，得， 因为平面和平面的夹角为， 则 ， 令，则，则，即， 则， 由，得， 则当时，即时，取得最大值为． 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $