精品解析：黑龙江哈尔滨市阿城区2025-2026学年下学期九年级数学阶段性测试（二）

九年级数学阶段性测试（二） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（涂卡） 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 下列气温中，温度最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年中央广播电视总台马年春晚的官方主题是“骐骥驰骋、势不可挡”，春晚直播期间，平均每分钟同时在线收看、收听3.25亿人．数据3.25亿用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑、家具的传统连接方式．如右图的“榫”木件的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船．若设有x只大船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（ ） A. 函数解析式为： B. 当体积为5升时，压强为80千帕 C. 体积越大，对应的压强越大 D. 当压强为200千帕时，体积为2升 8. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 12. 计算结果是________． 13. 不等式组的解集是________． 14. 数学老师把分别写有“”、“中考”、“必胜”的张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上，随机抽出一张卡片，恰好是“必胜”的概率是________． 15. 中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，抽离出其平面图形，若其中第1个图形中共有9个小正方形，第2个图形中共有14个小正方形，第3个图形中共有19个小正方形，…；则第10个图形小正方形的个数为__________． 16. 南南用圆规画出了一个双叶花的标记，如图，标记由四段相等的圆弧组成，每段圆弧都是四分之一圆周，若，则每一段弧的长度为______． 17. 如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 18. 在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形时，则的度数为__________． 19. 定义新运算：对于任意实数，规定（，为常数），若，，将因式分解的结果为____________． 20. 如图，在矩形纸片中，，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为，再次展平，点为中点，连接、．有下列结论： ①垂直平分；②；③； ④若、分别为线段、上的动点（不包括端点），且，当面积最大时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分；25～27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务． （1）画出平行四边形； （2）点在上，连接，使得（保留作图痕迹），连接，请直接写出的值． 23. 为了学生的身心健康，落实五育并举，注重全面发展，某校将课间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．经调查发现，篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等体育活动深受学生们的喜爱．利用课间时间对七年级学生进行1分钟跳绳测试，以下是某次测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名学生的测试成绩 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用表示1分钟的跳绳个数，分成四组：A组（），B组（），C组（），D组（）． 【描述数据】根据抽取的成绩，绘制出如下不完整的统计表和统计图． 1分钟跳绳个数的频数分布表： 组别 个数/个 频数 A 5 B C D 6 1分钟跳绳个数的扇形统计图 请根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为_________，频数分布表中的值为_________，的值为_________； （2）本次调查数据的中位数落在_________组内，其所在扇形的圆心角的大小为_________； （3）若1分钟跳绳次数不低于140为良好，该校七年级有800名学生，估计该校七年级学生1分钟跳绳次数为良好的人数． 24. 已知：如图，在菱形中，、分别为、上的动点（不与顶点重合），，连接、． （1）求证：； （2）若，，连接，当长为整数时，直接写出线段的长． 25. 东北地区城市足球联赛哈尔滨赛区将于2026年5月23日在阿城区体育场举行首场比赛，文化广场售卖两款专属纪念衫：印有球队队徽的主场款和印有金源文化图案的联名款，球迷协会决定批量采购两款纪念衫用于助威活动． 已知采购两种纪念衫的数量和总费用如下表： 采购类型 主场款数量（件） 联名款数量（件） 总费用（元） 第一批 2 3 190 第二批 3 1 180 （1）求主场款、联名款纪念衫的单价分别是多少元？ （2）该球迷协会计划采购两种纪念衫共件，要求主场款纪念衫数量不少于联名款纪念衫数量的，求购进主场款纪念衫多少件时，使采购的总费用最小，总费用的最小值为多少元？ 26. 已知：直径与的内接交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，延长交于点，交于点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过A作交于点P，交于点Q，点H为垂足，若，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． （1）求，的值； （2）如图，点在第一象限抛物线上，延长交抛物线于点，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交轴于点，点在上，过作轴的垂线与过垂直于轴的直线相交于点，与，抛物线分别相交于点，，，，点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，连接、、，，点为中点，连接，，延长交抛物线于点Q，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性测试（二） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（涂卡） 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 下列气温中，温度最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用有理数大小比较的规则即可判断出结果． 【详解】解：∵有理数大小比较规则为：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小， ∴ ，即 ， ∴ 温度最低的是． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项和幂的运算法则逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 3. 2026年中央广播电视总台马年春晚的官方主题是“骐骥驰骋、势不可挡”，春晚直播期间，平均每分钟同时在线收看、收听3.25亿人．数据3.25亿用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据3.25亿用科学记数法表示为． 4. 榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑、家具的传统连接方式．如右图的“榫”木件的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：图中的“榫”木件的左视图为： 5. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船．若设有x只大船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．设有x只大船，则有只小船，根据大船坐的人数加小船坐的人数等于38人，列出方程即可． 【详解】解：设有x只大船，则有只小船，根据题意得： ， 故选：D． 6. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解， 故选C． 7. 一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（ ） A. 函数解析式为： B. 当体积为5升时，压强为80千帕 C. 体积越大，对应的压强越大 D. 当压强为200千帕时，体积为2升 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出p与V的函数解析式，再结合反比例函数性质逐一判断选项即可. 【详解】解：∵p与V成反比例函数关系 ∴设 将，代入得 ，解得， ∴函数解析式为； 当时，千帕， ∵，且体积 ∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小； 当时，，解得； 综上，只有选项C错误. 8. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 9. 如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意判定与相似，再利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，对照选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ， ∴． ∴故A项成立． 10. 如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，当时，两种情形，确定解析式，然后判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， ∴， ∴； 选项符合题意． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：函数为分式，根据分式有意义的条件，分母不能为， ∴， 解得． 12. 计算结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个一元一次不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定法则得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 解不等式 ， 系数化为，得 ， 根据“同大取大”的解集确定法则，可得不等式组的解集为 ． 14. 数学老师把分别写有“”、“中考”、“必胜”的张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上，随机抽出一张卡片，恰好是“必胜”的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一共有种等可能性的结果，恰好是“必胜”的结果只有1种， ∴随机抽出一张卡片，恰好是“必胜”的概率为． 15. 中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，抽离出其平面图形，若其中第1个图形中共有9个小正方形，第2个图形中共有14个小正方形，第3个图形中共有19个小正方形，…；则第10个图形小正方形的个数为__________． 【答案】54 【解析】 【详解】解：由图可知：第1个图形中共有个小正方形，第2个图形中共有个小正方形，第3个图形中共有个小正方形，…； ∴第个图形小正方形的个数为个， ∴第10个图形小正方形的个数为． 16. 南南用圆规画出了一个双叶花的标记，如图，标记由四段相等的圆弧组成，每段圆弧都是四分之一圆周，若，则每一段弧的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意，得出，结合弧长公式以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，标记由四段相等的圆弧组成，每段圆弧都是四分之一圆周， ∴ ∵， ∴， ∴则每一段弧的长度为， 故答案为： 17. 如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形时，则的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形的情况，结合等腰三角形性质和三角形外角性质，排除不符合题意的情况，即可计算得到的度数． 【详解】解：在中，，， 由三角形内角和定理得： ， 如图： 点在线段上，分三种情况讨论： ① 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得， ； ② 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理得： ， ； ③ 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得 ， 根据三角形外角的性质，， 可得 ，不符合角度定义，舍去． 综上，的度数为或． 19. 定义新运算：对于任意实数，规定（，为常数），若，，将因式分解的结果为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算定义，将已知条件代入得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，再得到的多项式，最后对多项式进行因式分解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， ∴． 20. 如图，在矩形纸片中，，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为，再次展平，点为中点，连接、．有下列结论： ①垂直平分；②；③； ④若、分别为线段、上的动点（不包括端点），且，当面积最大时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对折使与重合，因为是对折折痕，所以利用矩形对折的性质判断与的位置关系和等分关系，验证结论①，沿折叠点到，根据折叠性质得、、，结合垂直平分得，在中利用直角三角形边角关系求的度数，再在中用三角函数判断和的数量关系，验证结论②；先求长度，结合是中点得相关线段长度，再计算等线段长度，判断的形状，结合与的度数关系，用三角形中位线定理或同位角相等判断与的平行关系，验证结论③；先确定的度数，设为参数，用表示，结合长度表示，利用三角形面积公式写出的面积关于参数的函数，用二次函数性质求面积最大时的值求出相关线段长度即可验证结论④． 【详解】结论①：因为对折矩形使与重合，折痕过中点，且 ， 所以垂直平分，①正确； 结论②：由折叠知，， 在 中，​， ∴，， 由折叠知， 在 中，， ，②错误，不符合题意； 结论③：由折叠性质得 ，由矩形的性质可知， ∴， ∵是中点， ∴， ∴； 在 中，，由折叠性质得 ， ∴ ， ∵ ，， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴  ，结论③正确； 选项④： 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过作于点， 设，则，，， ∴面积为：  二次函数最大值在​时取得，此时，，，； ∴ ， ， ​所以 ④正确． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分；25～27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 【详解】解： ， ， ∴原式． 22. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务． （1）画出平行四边形； （2）点在上，连接，使得（保留作图痕迹），连接，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，则四边形为所求平行四边形； （2）取格点，连接，交于点，运用相似三角形的判定与性质可求出，，可求出． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接，则四边形为所求平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作， 如图，∵， ∴， 由作图得, ∴, 即， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 为了学生的身心健康，落实五育并举，注重全面发展，某校将课间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．经调查发现，篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等体育活动深受学生们的喜爱．利用课间时间对七年级学生进行1分钟跳绳测试，以下是某次测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名学生的测试成绩 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用表示1分钟的跳绳个数，分成四组：A组（），B组（），C组（），D组（）． 【描述数据】根据抽取的成绩，绘制出如下不完整的统计表和统计图． 1分钟跳绳个数的频数分布表： 组别 个数/个 频数 A 5 B C D 6 1分钟跳绳个数的扇形统计图 请根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为_________，频数分布表中的值为_________，的值为_________； （2）本次调查数据的中位数落在_________组内，其所在扇形的圆心角的大小为_________； （3）若1分钟跳绳次数不低于140为良好，该校七年级有800名学生，估计该校七年级学生1分钟跳绳次数为良好的人数． 【答案】（1）40 ；17 ；12 （2）B； （3）估计该校七年级学生1分钟跳绳次数为良好的人数约为360人 【解析】 【分析】（1）用D组的人数除以所占的比例求出样本容量，样本容量乘以C组人数所占的比例，求出值，再根据频数之和等于总数求出的值； （2）根据中位数的确定方法进行确定，用360度乘以对应的百分比，求出圆心角的度数； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵组的频数为6，占比为， ∴本次调查的样本容量为：； 组的频数为： ， ∴； 【小问2详解】 解：将40个数据从小到大排列，中位数是第20、21个数据的平均数. 组频数为5，组频数为17，前两组频数和为， ∴第20、21个数据都落在组内，即中位数落在组； 组的占比为：， 其所在扇形的圆心角为：； 【小问3详解】 解：样本中1分钟跳绳次数大于140的为、组，占比为：， ∴估计该校七年级800名学生中，跳绳次数为良好的人数为：（人）， 答：估计该校七年级学生1分钟跳绳次数为良好的人数约为360人. 24. 已知：如图，在菱形中，、分别为、上的动点（不与顶点重合），，连接、． （1）求证：； （2）若，，连接，当长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）或或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有，，然后可得，则，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，，，则有，然后可得点三点共线，则，进而可得，最后分类进行求解即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵长为整数，且不与顶点重合， ∴或2或3， 当时，则有，所以， 当时，则有，所以， 当时，则有，所以， 综上所述：线段的长为或或． 25. 东北地区城市足球联赛哈尔滨赛区将于2026年5月23日在阿城区体育场举行首场比赛，文化广场售卖两款专属纪念衫：印有球队队徽的主场款和印有金源文化图案的联名款，球迷协会决定批量采购两款纪念衫用于助威活动． 已知采购两种纪念衫的数量和总费用如下表： 采购类型 主场款数量（件） 联名款数量（件） 总费用（元） 第一批 2 3 190 第二批 3 1 180 （1）求主场款、联名款纪念衫的单价分别是多少元？ （2）该球迷协会计划采购两种纪念衫共件，要求主场款纪念衫数量不少于联名款纪念衫数量的，求购进主场款纪念衫多少件时，使采购的总费用最小，总费用的最小值为多少元？ 【答案】（1）主场款纪念衫单价为元，联名款纪念衫单价为元 （2）购进主场款纪念衫件时，总费用的最小值为元 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组解答即可； （2）设购进主场款纪念衫m件，采购总费用为元，先根据题意列出关于的函数解析式，再根据题意列出不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求最小值即可． 【小问1详解】 解：设主场款纪念衫单价为x元，联名款纪念衫单价为y元， ， 解得， 答：主场款纪念衫单价为50元，联名款纪念衫单价为30元； 【小问2详解】 解：设购进主场款纪念衫m件，采购总费用为元， ， ∵， 解得， ∵， ∴随m的增大而增大，当m取最小值时，有最小值， ∴当时， ， 答：购进主场款纪念衫件时，总费用的最小值为元． 26. 已知：直径与的内接交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，延长交于点，交于点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过A作交于点P，交于点Q，点H为垂足，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是直径得，结合与，通过角度运算推出，根据等角对等边，证得． （2）由得，结合与，推出平分，进而得，内错角相等，故． （3）先由圆周角性质得为等腰三角形，结合角平分线条件证，得；由及中位线定理得，则可得．设，，推导线段、；通过、三角函数与联立方程，解得，；最后证，利用相似比求得． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， 由图可得，，， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，即，， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 由（2）知，，O是中点， ∴是的中位线， ∴M是中点， ∴，且， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 过作，交于， ∵， ∴ ， ∴， 设， ∴ ，， ∵，，， ∴， ∴在中， ∴ ， 又∵ ， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴，即 ， 联立②③得， 解得， 将代入①得， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ． ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ 解得． 【点睛】本题核心是利用圆周角定理与等腰三角形性质进行角的转化，结合全等、相似三角形、三角函数与方程思想求解线段长度，综合考查圆与几何图形的综合推理． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． （1）求，的值； （2）如图，点在第一象限抛物线上，延长交抛物线于点，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交轴于点，点在上，过作轴的垂线与过垂直于轴的直线相交于点，与，抛物线分别相交于点，，，，点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，连接、、，，点为中点，连接，，延长交抛物线于点Q，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值即可； （2）过作轴于点S，过作轴于点，得出，，，， ，根据三角函数得出，整理可得 ，根据即可得出； （3）设直线的解析式为，把，代入求出直线的解析式 ，同理求出直线的解析式，设点横坐标为，分别表示出、，根据列方程求出，利用的三角函数求出，，连接，过作于，连接并延长至点使，连接、，根据旋转的性质证明等边三角形，、、等边三角形，即可求出，利用待定系数法求出解析式，联立抛物线求出，利用待定系数法即可求出直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，， ， 解得：． 【小问2详解】 解：过作轴于点S，过作轴于点， ∵，， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， ∴， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴，，，， ， ∴， ∴，即， 整理得， ， ∵， ∴，即． 【小问3详解】 解：∵点在第一象限抛物线上，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式 ， 设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式， 设点横坐标为，， ， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 连接，过作于， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴等边三角形，， ， ∵，， ∴ ，， 设，，， 连接并延长至点使，连接、， ∵点为中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴， ∴， ， ∵ ， ∴ ， ∴等边三角形， ， ∵， ∴， 过作交延长线于，过V作轴，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式， 联立直线和抛物线解析式得， 整理得，， 解得：，（舍）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ， ∴直线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $