精品解析：2026年黑龙江省大庆市让胡路区中考 二模数学试题

2025—2026学年度第二学期初四年级 数学试题 注意事项 1．本试卷共5页、28题、120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2. 下列算式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、，不符合题意； 选项D，，符合题意． 3. 如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图，则该几何体不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状，分别找到各个选项的主视图，和所给的主视图比较即可． 【详解】解：选项A的几何体的主视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项A符合题意； 选项B、C、D的几何体的主视图的底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，故选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 三边长为的三角形是直角三角形 C. 点在第四象限 D. 正比例函数中随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，判断三边能否构成直角三角形，对顶角的定义，正比例函数的性质，判断点所在的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据对顶角定义、勾股定理逆定理、平面直角坐标系象限坐标特征、正比例函数性质，逐个分析选项判断命题真假． 【详解】解：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角， 故A是假命题； 三边长为，，， ， 而， ∵，即， ∴不满足勾股定理逆定理， 故B是假命题； 点横坐标为负、纵坐标为正，对应第二象限， 故C是假命题； 正比例函数中， 当时，随的增大而减小， 正比例函数中， 故D是真命题， 故选：D． 5. 已知一组数据的方差计算公式为，由公式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是 B. 众数是 C. 方差是 D. 平均数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数及平均数的定义，根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据中位数，众数，平均数以及方差的概念求解即可． 【详解】由题意可知这组数据为2、3、3、4、所以中位数为，故选项A不符题意． 众数为3，故选B不符合题意． 平均数为，故选项D符合题意． 方差为，故选项C不符题意， 故选：D． 6. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 7. 如图，直线，直线分别与相交于点，与之间的距离为8，．小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．那么的长是（ ） A. 6 B. 6.4 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本作图可知是的平分线，利用角平分线和平行线的性质推导出，从而得出，通过作高构造直角三角形，结合正弦值和高求出，从而求解出的长． 【详解】解：由题意知是的平分线， ， ， ， ， ， 过点B作于H，则， ， ， ． 8. 如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故选：B． 9. 如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长，交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于点G．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，过点B作，交于N，连接，利用全等三角形的性质证明即可判断①．若成立，则，需，无法证明，可判断②；将绕点A顺时针旋转得到，利用全等三角形的性质证明即可判断③；过点作于点，于点，证明，可得，再证出，可判断④． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，过点B作，交于N，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴C，B，M共线， 又， ∴， ∴； ∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 若成立，则， 需， 但，而， 无法得到，故②错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 设， ∴， 过点作于点，于点，如图， ∴四边形是矩形， 在正方形中，是对角线，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∵ ， ， 又 ∴ , ∴, ∵点是的中点，， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ，故④正确． 综上，正确的结论是①③④． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 式子有意义的条件为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 12. 为黑龙江迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市冰雪大世界以“冰雪同梦亚洲同心”为主题，总体规划面积达到110万平方米，创下历史之最，将数据万用科学记数法表示为________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．正确的确定的值即可. 【详解】解：万. 13. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算，设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可，两者之间的两个对应关系：（）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，熟练掌握两个关系是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为， 根据题意得， 解得， ∴． 故答案为：6 14. a，b均为正整数，且满足．则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据，得到与是同类二次根式，结合a，b均为正整数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴与是同类二次根式， ∵a，b均为正整数，， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是； 故答案为：20． 16. 已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________． 【答案】或． 【解析】 【分析】先求出二次函数（）的对称轴为，再根据的正负性分情况讨论函数在上的最小值情况，进而求解的值． 【详解】解：对于二次函数（）， 其对称轴公式为，这里，， 对称轴， 当时， 抛物线开口向上，在对称轴处函数取得最小值， 在内， 当时，取得最小值， 把代入函数得： ， 函数最小值为， ， 解得，符合的条件， 当时 抛物线开口向下，在上，离对称轴越远的点，函数值越小， 计算和到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ， 当时，函数取得最小值， 把代入函数得： ， 函数最小值为， ， 解得，符合的条件． 综上，的值为或． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点， 由直线得，当时，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，，由勾股定理得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵， ∴在直线上， ∴的纵坐标为， 故答案为：． 18. 定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．其中正确结论序号的是______________． ①和是互为“中心对称函数”； ② 已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数()的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为．则； ③ 反比例函数 的“中心对称函数”的图象在第一象限内最低点坐标为； ④ 已知三个不同的点 ， ，都在二次函数 (，，为常数，且)的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，则 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据中心对称的性质，得点为点和点连线的中点，即可得到,当时，函数和互为“中心对称函数”，分别将和两函数相加，若结果为，则互为“中心对称函数”，由此即可得出答案； ②先求出函数的“中心对称函数”是，由，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，可设，，再利用割补法求三角形面积得，进而得，再将的代数式代入点坐标，根据反比例函数的值相等，得，求解即可得点的坐标，进而得的值； ③然后求出的“中心对称函数”为，根据不等式公式可得当时，，当时，在第一象限内的值最小，求解即可得该函数在第一象限内最低点坐标； ④由“中心对称函数”的定义得的“中心对称函数”为，根据，都在的图象上，可得，，再根据，将，的代数式代入不等式，得，结合，将不等式化简变形得，再根据点，的纵坐标相等，得抛物线的对称轴为，即，再根据二次函数的增减性即可得的取值范围，即可求解． 【详解】解：①点和点关于点成中心对称， ， 令， ， 和互为“中心对称函数”，故①正确 ②函数的“中心对称函数”是， 如图，令函数与轴，轴的交点分别为，， 令，则，故， 令，则，得，故， 点，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点， 设，， ，的面积为4， ， ， ， ， 解得，， ， ，故②正确； ②的“中心对称函数”为， 当时，， ，即时，的值最小， 的函数图象在第一象限内最低点坐标为，故③正确 ④的“中心对称函数”为， ，都在的图象上， ，， ， ， ， ， ， 点，的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为，即， ， ， 令， 当 时，； 当时， ， ∴， 恒成立， ，故④不正确． 综上所述，①②③正确． 三、解答题（共10个题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为，时，值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入 原式 ． 21. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少． 【答案】港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米. 【解析】 【分析】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）米/时．根据“从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列方程，求解即可． 【详解】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）米/时．依题意得： 解得：． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键是找出相等关系，根据相等关系列方程． 22. 如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23. 2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的距离．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角 ，胳膊 长度：，．旋转的手绢近似圆形，半径 ，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点O之间的水平宽度． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据： ） 【答案】（1） （2）此时手绢端点C与舞者距离不在规定范围内，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求解出的度数，再由中的余弦值求解的度数，结合平角的定义即可求解； （2）添加辅助线，过点C作，利用的正弦值求出的长度，再利用的正弦值求解的长度，由此可求解手绢端点C与舞者的距离，计算比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∴ ， 在中，，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：此时手绢端点C与舞者距离不在规定范围内，理由如下： 过点C作，垂足为E，如图， ∵，， ∴ ， ∴，， ∴ ， 在中， ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， ∵机器人与舞者之间距离为， ∴手绢端点C与舞者距离为 ， ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离不在规定范围内． 24. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注． 某学习小组为了解本校八年级学生视力情况． 随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为________人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率________． 【答案】（1）抽样调查 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据普查和抽样调查的区别即可判断； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据600乘以视力低于的人数所占的百分比即可求解； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查． 【小问2详解】 解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是， ∴这组数据的中位数是． 【小问3详解】 解：调查数据中，视力低于的人数有：（人）， ∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为： （人）． 【小问4详解】 解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下： 共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种， ∴恰好抽到两位男生的概率是：． 【点睛】本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，利用列表法或画树状图求解随机事件的概率，简单概率公式计算等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25. 某超市购入一批进价为12元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 ．．． 12 14 16 18 20 ．．． 销售量/盒 ．．． 56 52 48 44 40 ．．． （1）求与的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为242元，求的值． 【答案】（1）与的函数表达式为； （2）糖果销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元； （3）的值为6． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出表达式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润单件利润×销售量销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 把，；，代入， 得，解得， ∴与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ∵ ∴抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当时，有最大值为392， ∴糖果销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ∴， ∴， 解得：（舍去），． ∴的值为6． 26. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． （1）如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； （2）如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，设E点坐标为，求d的取值范围． 【答案】（1）①4；② （2） 【解析】 【分析】（1）①依题意，得，再解n的值，即可作答； ②过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易得，进而用坐标可以表示出的长度，建立方程求解即可； （2）连接，先推导出，得到，证明出，得到，继而推导出，得到，求出A点坐标为，得到 ，求出，则 ，再根据反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，得到，解得，即可解答． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∵，且， ∴， ∴A点坐标为， ∴； ②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N，如图 设点B的坐标为，其中， 由，A点坐标为，得 反比例函数的解析式为，， ∵反比例函数图象上有A，B两点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 整理可得：， 解得或（舍去）， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：连接，如图 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵延长交反比例函数的图象于点C， ∴点B，C关于点O对称， 即点O为中点， ∴， ∴， ∴点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵D点坐标为， ∴A点坐标为，即可， ∴， 解得， ∵点B，C关于点O对称， ∴ ， ∵反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧， ∴， 即 解得， ∴点E纵坐标d的取值范围是． 27. 如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，相交于点F，G是上一点，交于点H，且，． （1）请直接写出与，的数量关系：_________； （2）求证：； （3）若，，，求的周长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明 ． （2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得 ． （3）利用（2）结论将周长转化为，通过相似三角形及、勾股定理求出的长，即周长为 ． 【小问1详解】 解：， ， ． ， ， ． ， ； 【小问2详解】 证明：， ． ， ， ， ， ，， ， ， ． ． ， ． ， ， ， ， ． ， ． 【小问3详解】 解：连接并延长交于点M，如图， ， ， ，， ． 设，则，， ． ， 设，则， ． ，， ， ， ， ， ， ， ，． 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 由（2）知，， 周长 ． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为，抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为． （1）求的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．若点与点重合，点恰好落在上，求的值． 【答案】（1）， （2）不能，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数综合、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）求出点的坐标，根据抛物线经过点，对称轴为直线，可以推出抛物线上纵坐标为2的另一个点的坐标，进而求解； （3）求出点的坐标，根据待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴顶点； 【小问2详解】 解：点在（第一象限）上，到轴的距离为， ∴， 当时，， 解得或， 或， 抛物线经过点，对称轴为直线， 经过点和， 不能经过点； 【小问3详解】 解：当重合时，则， 由题意知是的中点， ， 点恰好落在上，经过点， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期初四年级 数学试题 注意事项 1．本试卷共5页、28题、120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列算式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图，则该几何体不可能是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 三边长为的三角形是直角三角形 C. 点在第四象限 D. 正比例函数中随的增大而减小 5. 已知一组数据的方差计算公式为，由公式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是 B. 众数是 C. 方差是 D. 平均数是 6. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 7. 如图，直线，直线分别与相交于点，与之间的距离为8，．小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．那么的长是（ ） A. 6 B. 6.4 C. 8 D. 10 8. 如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 9. 如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 10. 如图，在正方形中，O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长，交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于点G．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 式子有意义的条件为________． 12. 为黑龙江迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市冰雪大世界以“冰雪同梦亚洲同心”为主题，总体规划面积达到110万平方米，创下历史之最，将数据万用科学记数法表示为________________ 13. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 14. a，b均为正整数，且满足．则的值为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是______． 16. 已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______． 18. 定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．其中正确结论序号的是______________． ①和是互为“中心对称函数”； ② 已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数()的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为．则； ③ 反比例函数 的“中心对称函数”的图象在第一象限内最低点坐标为； ④ 已知三个不同的点 ， ，都在二次函数 (，，为常数，且)的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，则 三、解答题（共10个题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 21. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少． 22. 如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的距离．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角 ，胳膊 长度：，．旋转的手绢近似圆形，半径 ，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点O之间的水平宽度． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据： ） 24. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注． 某学习小组为了解本校八年级学生视力情况． 随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为________人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率________． 25. 某超市购入一批进价为12元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价/元 ．．． 12 14 16 18 20 ．．． 销售量/盒 ．．． 56 52 48 44 40 ．．． （1）求与的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为242元，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． （1）如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； （2）如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，设E点坐标为，求d的取值范围． 27. 如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，相交于点F，G是上一点，交于点H，且，． （1）请直接写出与，的数量关系：_________； （2）求证：； （3）若，，，求的周长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为，抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为． （1）求的值及点的坐标． （2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．若点与点重合，点恰好落在上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $