湖南衡阳市衡东县第五中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 2026年衡东五中高一5月月考数学卷，以立体几何证明（如17题圆锥体积）、向量运算（15题）及实际应用（19题金属容器体积与费用计算）为主线，覆盖集合、复数、解三角形等核心知识，通过分层设计（基础单选到综合解答）考查空间观念、运算能力与应用意识，适配高一阶段性学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、异面直线成角|基础概念辨析，如第5题垂直于同一平面的直线关系| |多选|3/18|复数共轭与象限、向量投影与夹角|多角度理解，如第10题向量投影与共线条件| |填空|3/15|向量模长、三角形内角、棱台体积|核心公式应用，如14题棱台体积计算| |解答|5/77|向量数量积、复数几何意义、立体几何证明与体积、实际应用|分层综合，19题结合四棱柱与棱台求体积及制作费用，体现应用意识|

2026年衡东县第五中学高一5月月考数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.己知集合A={0,1,2},B={1,2,3},则A∩B=() A{仍 B.{1,2} c.{0,号 D.{1,2,3} 2.命题“x∈R,x2+x+1<0”的否定是（) A.x∈R,x2+x+1<0 B.x∈R,x2+x+1≥0 C.3x∈R,x2+x+1>0 D.3x∈R,x2+x+1≤0 3.已知i为虚数单位，则i(1+i)=() A.1+i B.-1-i C.1-i D.-1+i 4.已知a=(2,1),a+b=0,则b=() A.（-1,-2) B.-1,2 c.（-2,1 D.（-2,-1) 5.垂直于同一平面的两条直线() A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，b,c.若a=2,b=3,c=4,则c0SA=() B.月 c.8 11 D. 16 7.在△ABC中，D为BC的中点，设AB=a,AC=b,则AD=() A2a+) B.(a-i) C.a-b D.atb 第1页/共4页 8.如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，异面直线AC与BD所成的角 D C 为() B π A. 6 B. D -2 C c. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 2 9.已知复数：二：，则下列结论正确的有（) A.z的共轭复数是1-i B.z的虚部是i C.z在复平面内对应的点在第二象限D.z=2 10.已知向量ā=(2，-1)，b=(3,2),c=(x,-4),则下列说法正确的是（) A.a+b=26 B.(a-b)1c,则x=-12 C.5在方向上的投影向：为a D.若d,c的夹角为锐角，则x>2 11.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形AB'CD',己知AB'=4,CD'=2,则下列说 法正确的有() V'x O'(A) A.AD=√万 B.AB=4 C.四边形ABCD的面积为6√2 D.四边形ABCD的周长为6+√6+√互 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(1,2),五=(2,2)，则a+ 第2页/共4页 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为b,c.己知a=√3，b=√2，A=60°，则B的度数 为 14.己知棱台的上、下底面面积分别是2,8，高为3，则棱台的体积等于 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知向量a,6满足d=1,b=(1,v5),a与6的夹角为 3 (1)求2a-b: (2)若(ka-b)L(2ā+b),求实数k的值. 16.设复数z=1+i,(m∈R),其中i为虚数单位. 1)若二是纯虚数，求 (2)若复数z+3-2i在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 17.如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A,C的任 意一点，点D,E分别为母线PB,PC的中点 D B (1)求证：DE/平面ABC: (2)若PO=2,AB=BC=√2，求圆锥PO的体积 第3页共4页 18.如图，在正四棱柱ABCD-AB,C1D中，AB=1,A4=2,M是DD的中点. D B M B (1)求证：BD/平面AMC (2)求证：AC⊥平面BDDB. 19.如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80 厘米.下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为 10厘米.（结果精确到1厘米，参考数据：√5≈1.45≈1.7） 40 80 102 -50 (1)求金属容器的体积： (2)若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 第4页/共4页2026年衡东县第五中学高一5月月考数学答案 1,【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】D 【分析】由复数的四则运算求解， 【详解】由题意得(1+i)=i-1=-1+i,故选：D 4.【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解 2+x=0.x=-2 【详解】解：设b-(x,),因为a=(2,1),a+b=0,所以 1+y=0y=-1' 所以b=(-2,-1).故选：D, 5.【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质，直接选择即可. 【详解】若两直线垂直于同一个平面，则两直线平行.故选：A. 6.【答案】C 【详解】由余弦定理可得：cosA- +c2-d_9+16-4_7故选：C 2bc 2×3×48 7.【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算求解， 【详解1由腿意得AD=B+BD=西+C=西+aC-调AB+4C,故AD=a+列故选：A 8.【答案】C 【分析】由异面直线所成角的概念求解， y 【详解】由题意，正方体中得BD,∥BD,故异面直线AC与BD所成的角，即正方形对角线AC与BD的夹 角元，故选：D 9.【答案】AD 2 【详解】z= 2(1+i)_ 合0+20*)1+0 z=1-i,故A正确 二的虚部是1，故B错误； z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限，故C错误； =(P+1=2,故D正确 10.【答案】AC 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分 析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向 量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A:因为a+b=(5,1) 所以a+=V5+下-√25+1=V26,故A正确； 选项B:因为a-b=（-1,-3). 又因为a-b)1c,所以：(a-b)c=0, 即：(-1)x+(-3)(-4)=0,解得x=12,故B错误 选项C:因为ā.b=2×3+(-1)×2=6-2=4, |aP=22+(1)2=4+1=5, 3 所以b在ā方向上的投影向量为 -收c王路 选项D:若a,c的夹角为锐角，则a.c>0,且a与c不共线 因为d.c=2x+(-1)×(-4)=2x+4>0,解得x>-2, 若‖c,则2×(4)=(-1)×x,解得x=8, 当x=8时，ā与c同向共线，夹角为0°，不是锐角，故需排除x=8 因此，夹角为锐角的条件是x>-2且x≠8，并非x>2,故D错误 11.【答案】ABC 【详解】如图1，过点C',D分别作CN,DM垂直x'轴于点N,M, D 2 因为等腰梯形AB'CD中，B=4,CD=2, A 1 M 2 N1B'x 所以MN=2,A'M=B'N=1, 图1 又∠DA'M=45°，所以AD'=√2，故A正确； 2 由斜二测画法知AB=AB'=4,故B正确； D 2W2 作出其原图如图2，AD=2AD'=2√2，AB=4,CD=2,AD1AB, 则四边形ABCD的面积为CD+AB)AD-6N2,放C正确： 2 H 2 B 2 图2 过点C作CH⊥AB于点H,则AH=CD=2,BH=4-2=2,CH=AD=2√2， 则BC=VBH+CH=2√5 于是四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=6+2√2+2W5,故D错误. 12.【答案】5 【分析)根据向量的坐标运算以及模长公式即可求解. 【详解】由a=(（1,2),万=(2,2)可得a+b=3,4,所以a+=V3+42=5,故答案为：5 13.【答案】45 【详解】由正弦定理： a b bsinA√2 sinA sin B 可得：sinB= a 2 由a>b可得A>B,则：∠B=45°· 14.【答案】14 【详解】由棱合的体积公式得V=(2+8+V2x8)x3=14 15.【答案】(1)2(2)2 【详解】(1)由题意得， 月=is=2,ai-leos子=1k2x1 则2a-=V2ā-=Nd-4i.6+万=4-4+4=2： (2)因为(a-)1(2a+b). 所以(a-b)2+b)=2ka+(k-2)a.b-b=2k+k-2-4=3-6=0,得k=2 16.【答案】(1)V5(2)(-2,1) 【分析】口)对2二进行分母实数化，由2是统志数构造方程组求出m,进而求出复数：，再求出： (2)求出复数z+3-2i,根据其在复平面内对应的点位于第四象限构造不等式组求解， 对m名：女 5 若2为纯数则30解得m=2故=1计2，+-5 2-=0 (2）z2+3-2i=1-m2+2mi+3-2i=4-m°+(2m-2)i 已知复数z+3-2i在复平面内对应的点位于第四象限， 4-m2>0 -2<m<2 则 解得 .-2<m<1 2-2<0' m<1 17.【答案】(1)见解析 (2) 2π 3 【分析】(1)由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， (2)由圆锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 由于D,E分别为母线PB,PC的中点，所以DE∥BC, 由于DE丈平面ABC,BCC平面ABC,所以DE//平面ABC 【小问2详解】 AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A,C的任意一点， 所以AB⊥CB,又AB=BC=√2，所以AC=VAB2+BC=2, 因此底面圆的半径为AC=1, 故圆锥P0的体积为号πx1'×2=2 1 3 18.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【分析)】(1)设AC∩BD=O,连接OM,利用中点关系，得到OM/1BD,满足线面平行判定定理的条 件，从而得出证明， (2)由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到DD⊥AC,又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定 定理的条件，得出证明 【详解】(1)证明：设AC∩BD=O,连接OM, D ·在正四棱柱ABCD-AB,CD中，四边形ABCD为正方形 A B .BO=DO,又M是DD的中点，∴.DM=DM, ·.OM//BD,又OMc平面AMC,BD,4平面AMC D 6 :BD//平面AMC (2)在正四棱柱ABCD-AB,C1D中，DD⊥平面ABCD, 又ACC平面ABCD,∴.DD⊥AC, 在正方形ABCD中，BD⊥AC, 又DD∩BD=D,DDC平面BDDB,BDC平面BDD,B, AC⊥平面BDD,B 19.【答案】(1)142233cm3(2)134.64元. 【详解】（1)有体积公式得V核柱=40×40×80=128000cm, 又S6上=40×40=1600，S台下=50×50=2500，h=102 50W2-40W2 =5√2 2 所以Va=号x5V2×1600+V1600×2500+2500)≈14233m 3 所以容器的体积V=128000+14233=142233cm3. ②由题意知S4x40x80=12800cm又四棱合的侧面梯形的高为怎1050-40=5B 2 1 所以S4侧=4×号×(40+50)×5V3≈1530cm2.又S底=50=2500cm2 2 所以金属容器的表面积为S=12800+1530+2500=16830cm2. 又金属容器的费用为80元/平方米 所以制作一个这样的金属容器需要1.683×80=134.64元. 6■■■■ ■■■■ ■■■■ 2026年衡东县第五中学高一5月月考 数学·答题卡 姓 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 目 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 单项选择题（每小题5分， 共40分) 1[A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 7 3[A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 氣 二、 多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A][B][C][D] I1[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. (5分) 13 (5分) (6分) 暴 数学第1页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 数学第3页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E D A 0 C B 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D 9 A B M D C A-- B 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 40 80 10 -50 数学第6页（共6页） 2026年衡东县第五中学高一5月月考数学答案 1. 【答案】B 2. 【答案】B 3. 【答案】D 【分析】由复数的四则运算求解， 【详解】由题意得，故选：D 4. 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】解：设，因为，所以， 所以. 故选：D. 5. 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质，直接选择即可. 【详解】若两直线垂直于同一个平面，则两直线平行. 故选：A. 6. 【答案】C 【详解】由余弦定理可得：. 故选：C. 7. 【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算求解， 【详解】由题意得，故，故选：A 8. 【答案】C 【分析】由异面直线所成角的概念求解， 【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，故选：D 9. 【答案】AD 【详解】， ，故A正确； 的虚部是1，故B错误； 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； ，故D正确． 10. 【答案】AC 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则  ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 11. 【答案】ABC 【详解】如图1，过点，分别作，垂直轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A正确； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 12. 【答案】5 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式即可求解. 【详解】由，可得,所以, 故答案为：5 13. 【答案】 【详解】由正弦定理： 可得： ， 由 可得 ，则： . 14. 【答案】 【详解】由棱台的体积公式得. 15. 【答案】(1) (2) 2 【详解】（1）由题意得，，， 则； （2）因为， 所以，得 16. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对进行分母实数化，由是纯虚数构造方程组求出，进而求出复数，再求出； （2）求出复数，根据其在复平面内对应的点位于第四象限构造不等式组求解． 【详解】（1）， 若为纯虚数，则，解得，故，． （2）， 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，． 17. 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）由圆锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以, 由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC 【小问2详解】 AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点， 所以,又，所以, 因此底面圆的半径为, 故圆锥PO的体积为， 18. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 19. 【答案】(1) (2)134.64元． 【详解】（1）有体积公式得， 又 所以 所以容器的体积． （2）由题意知，又四棱台的侧面梯形的高为， 所以． 又 所以金属容器的表面积为． 又金属容器的费用为80元/平方米， 所以制作一个这样的金属容器需要元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年衡东县第五中学高一5月月考数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 垂直于同一平面的两条直线（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，D为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．的共轭复数是 B．的虚部是 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 11. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______. 13. 在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____． 14．已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值． 16．设复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求． (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 17．如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点. （1）求证：平面ABC； （2）若，，求圆锥PO的体积. 18．如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 19．如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：） (1)求金属容器的体积； (2)若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年衡东县第五中学高一5月月考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．___________________ (5分) 13．___________________ (5分) 14．___________________(5分) 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $