精品解析：湖南邵东市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次监测数学试卷

2026年上学期高一第一次监测数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到其模长. 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 2. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 3. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示： 则，故，可得， 还原原的图形如下图所示，则，， 故. 故选：A. 4. 已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，两边平方可求得，进而利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，的以， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 6. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解． 【详解】已知满足， 设、、对应的边分别为，，， 则， 即， 则， 当且仅当时取等号， 即的最小值为． 故选：D． 7. 已知函数，则方程在区间上的实数根个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可得，数形结合可得结果. 【详解】当时，由可得， 作出函数、在时的图象如下图所示： 由图象可知，函数、在时的图象的交点个数为， 故方程在区间上的实数根个数为. 故选：C. 8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围. 【详解】由三角形面积公式可得：，故， ，故， 因为，所以， 解得：或0， 因为为锐角三角形，所以舍去， 故，， 由正弦定理得： ， 其中， 因为为锐角三角形 所以，故，所以，， ，， 令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增， 则， 又， 因为，所以， 则. 故选：C 【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部答对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知复数z满足，则（ ） A. z的虚部为1 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由虚数单位意义结合复数运算法则可得，然后由复数相关概念及运算法则可判断选项正误. 【详解】. 则. 对于A，的虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 若，，则 D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期性求出，再由求出，最后由求出，即可得到函数解析式，从而结合正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由图可知，解得， 又，所以，解得， 又，所以，则，又，解得， 所以； 对于A：因为， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：令，即， 所以或， 解得或， 因为，， 所以，故C错误； 对于D：将函数图象向左平移个单位长度可得到 ，故D正确. 故选：ABD 11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，由向量数量积公式得到；B选项，作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到；C选项，，故，由欧拉线定理可知，，故C项正确；D选项，由余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故，从而. 【详解】A选项，延长交于点，由于点是的重心， 可得， 所以，故A正确； B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图， 易知点分别是的中点， 则 ，故B项错误； C选项，因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 即，所以，则，故C项正确； 对D选项，作于，则为中点， ， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则 ，故D项错. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由图知知，， 由正弦定理有. 故答案为： 13. 已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 14. 在中，，它的面积是10，，E，F分别在AB，AC所在的直线上，且满足，对任意，恒成立，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据题意分析可得，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因为，则，且， 又因为的面积为10，则，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 此时，同理可得，则， 可得， 因为，则，可得， 由，可得， 由，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求m的值； （2）若复数在复平面内所对应的点Z位于第三象限，求m的取值范围． 【答案】（1）2 （2）（2，3） 【解析】 【分析】（1）因为复数为纯虚数，则，解答即可得出结果； （2）因为复数在复平面内所对应的点Z位于第三象限，所以，解不等式组即可得出结论． 【小问1详解】 ，因为复数为纯虚数，则． 由，解得m＝2或m＝3；由，解得m0且m3． 故当复数为纯虚数时，m＝2． 小问2详解】 因为复数在复平面内所对应的点Z位于第三象限， 所以． 由，解得2＜m＜3； 由，解得0＜m＜3． 故m的取值范围是（2，3）． 16. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式直接计算即可； （2）将三角形旋转到，使得和轴截面共面，根据三点共线时，取得最小值即可求解. 【小问1详解】 由题知，底面半径为2，母线长为4， 所以圆柱的侧面面积， 圆柱的体积. 【小问2详解】 记底面圆心为O，连接， 因为底面半径为2，， 将三角形旋转到，使得和轴截面共面，如图： 则， 当三点共线时，取得最小值. 17. 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【小问1详解】 由正弦定理，，，可得：  ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； 【小问2详解】 由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 18. 已知且是上奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2），值域为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据可求得，代回解析式验证可知满足题意；由可求得的值； （2）根据（1）中结论可整理得到，并由得其定义域；结合基本不等式和不等式的性质可求得的值域； （3）结合的对称性可得的对称中心，由对称性可求得，根据不等式有解可得，由此可得的取值. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，，解得：； 当时，， 则，满足为奇函数； ，，又且，； 综上所述：，. 【小问2详解】 由（1）得：， ， ，，定义域为， . ，， （当且仅当时取等号），， ，，的值域为. 【小问3详解】 由题意知：， ， ； 为奇函数，图象关于中心对称， 图象关于中心对称，， ； 若存在正整数，使不等式有解，则， ，解得：， 存在正整数或，使不等式有解. 19. 1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1）1； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设且、夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，，， 则，， 因为与的夹角为，则，解得. 又，，所以； 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一第一次监测数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则方程在区间上实数根个数为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部答对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知复数z满足，则（ ） A. z的虚部为1 B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 若，，则 D. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 13. 已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 14. 在中，，它的面积是10，，E，F分别在AB，AC所在的直线上，且满足，对任意，恒成立，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求m的值； （2）若复数在复平面内所对应的点Z位于第三象限，求m的取值范围． 16. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求圆柱侧面积和体积； （2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 17. 已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）求取值范围. 18. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 19. 1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $