江苏苏州市昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年高二下学期第二次模块检测数学试题

**基本信息** 该试卷聚焦高中数学核心素养，通过现实情境问题设计，考查抽象能力、运算能力及数据意识，体现数学眼光与思维的应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数应用、立体几何、概率统计|结合科技热点设计分层问题，如用函数模型分析环境数据，体现模型观念与创新意识|

2026年春季学期蓬高第二次模块检测 高二数学 命题学校：昆山市蓬朗高级中学 命题人：陆星宇审核人：刘文涛 注意项： 1.本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟。 2.备题前将自己的姓名，考武号，考场号，座位号等信息填在答题卡指定区城上并准确的涂写考试号。 3.遮择题的作答，每小题选出答案后，用2B帮笔把答题卡上对应的题目的答聚标号涂黑，写在其他区煜无效！ 4.填空题知解答题的作答，用黑色签宇笔直接写在幕题卡上对应的指定区城上。写在试卷成者其他区城均视为无效作答。 5.考这结来后，上交答题卡。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求 1,从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边增上的指定位置，则不同的挂法共有() A,3种 B.4种 C.6种 D.9种 2.在我国古代，北斗七星分别被命名为天枢、天骏、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光.汉代典籍《春秋运 斗枢》中早有相关记载，因其排布形状酷似古时晋酒的斗，故而得名北斗七星.如下图，用点A,B,C, D,E,F,G表示某季节的北斗七星，其中点B,D,E,F看作共线，其他任意三点均不共线.若过这七个 点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为() A.30 B.31 C.34 D.35元變8 D 箍光 天 演 3.若n到=P闭-子P(到=写则事作A与B满起(） 无韬 F A.互为对立件B。P代4+刮=专C.P趴=号 D.A与B互斥 4.“绿水背山，就是金山银山”，随著我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客幕 名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、场州瘦 西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖爸头渚”，$件B 为“两位游客选择的景点不同”，则P(A)=() A司 b多 c品 D. 五 5.已知5名同学排戒一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有()种 A.48 B.60 C.66 D.72 6.从0,2,4,6中任取3个数字，从1,3,5中任取2个数字，一共可以组成（个没有重复数字的五位数. A.720 B.936 C.1224 D.1440 第1页，共4页 7,如图所示，若有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同 的涂色方法共有()种 B A.1512 B.1346 C.912 D.756 D 8.若2025-a能被7整除，则整数a的可能取值为) A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9.下列说法中正确的是() A,3个班级分别从5个不同的景点中选择一处游览，不同的选法总数共有125种 B.测量某一个零件的长度产生的测量误差X是离散型随机变盘 C.当P(A)>0时，P(B)=P(B)当且仅当事件A与事件B相互独立 D、在二项式2，的限开式中，若各项系数于力 则展开式中的常数项为 6 10.“杨辉三角“是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》 中，“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第n(n之)行的各项从左往右依次是二项式(a+b)展 杨辉三角 开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是() 第0行 1 第I行 11 第2行 121 A.C+C2+C+…+C2。=165 第3行 1331 第4行 14641 B.第2024行中从左往右第1013个数是该行所有数字中最大的数 第5行 15101051 第6行 1615201561 C记第：行的第个数为4，则0三5 第7行172135352171 第8行18285670562881 D.记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为b2,·,第n+1行的第3个数字为b,则 1.1..12n 十十 6b2 b.n+1 3 1【.某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为亏， 且投篮结果互不影响，如果出现连续n次命中，那么停 止投篮，游戏结束。则下列结论正确的是() A。当4=2时，投篮2次游观结束的概率为号 B.当n=2时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C.当m=2时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为0 D.设游戏结束时投篮总次数的数学期望为巴，则当n之2时，3E1=5En+5 第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知随机变量X的概率分布列如表所示，若P(X>2)=0.4,则E(5X+4)= 1 2 0.4 a b 3.(1+x+x2)(1-x)的展开式中x的系数为 (用数字作答) 14.将1,2,3，…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置 填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字之和都等于15的概率为 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) )求值：-念 A号+Ag (2)设nen,若A2=56C%，且(1-2x”=4+4x+a42x2+4x++anx. ①求正整数n的值：②求4+2a2+3a3+…+n的值. 16.(本小题15分) 在二项式+ 2 】，”的展开式中，若第4项的系数与倒数第4项的系数之比为乞 ()求展开式中二项式系数最大的项： (2)若将展开式中所有的项随机排成一列，求有理项不相邻的概率P和有理项的系数和2， 17.(本小题15分) 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送 0和1中的某个数字，由于随机因紊的干扰，接收到的信号数字有可能出现错误已知发送信号0时，接收 倍号为0和1的概率分别为a,1-a:发送信号1时，接收信号为1和0的概率分别为B,1一B,其中： a山，B∈(0，).假设每次信号的传输相互独立 ()当连续3次发送的信号均为0时，设其相应3次接收到的信号数字均相同的概率为f(α)，求f(a)的 最小值： 第3页，共4页 2)设日=名.当连续4次发送的信号均为1时，设其相应4次接收到的信号数字依次为名5,5，，记其中 3 连续出现相同数字的次数的最大值为随机变昼X(注：当，，六，x中任意相邻的数字均不相同时，则取 X=1),举例：若相应4次按收到的信号数守依次为1，l,0,1,则此时X=2.求随机变量X的概率分布列和 X的均值。 18.(本小题17分) 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食在 复。已加某同学每天中午会在食室提供的两种套餐中选择，已知他第一天远择米板套餐的摄率为子，而前 一天选样了米饭套餐后一天继续选择米板套餐的概率为年， 前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐 的概率为)，如此往复 Q)求该同学第二天中午选择米饭在餐的概率： (2)记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为卫， 2 ①证明 为等比数列，并求数列{P}的通项公式： ②证明：当心2时，P)恒成立 19.(本小题17分) 已知(1+x)”=C+Cx+C2x2+…+Cx+Cx,neN,某同学在学习二项式定理时发现二项式 系数C具有许多性质，例如：①C+C.+C++C+C=2”；②C=C:③C=C.请参 考以上性质并结合所学内容解决下列问题： (1)计算：C+2C+3C+…+7C；(用数字作答 (②)证明：当meN,且n≥3时， 2c对=aa+0-2 (3)设数列a,4,42,,a.是公差不为0的等差数列，证明：对任意的neN,函数 p(x)=a.CO(1-x)"+aClx(1-x)"+aCx-(I-x)+...+a.C-x 是关于x的一次函数。 第4页，共4页 2026年春季学期蓬高第二次模块检测 高二数学参考答案及评分细则侧 2026.5 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 2 6 答案 B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 ACD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1 12.16 13.135 14. 72 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) (1)原式= 5A+A 6A 6×9×8×7×63 ……5分 5A。-A。4A。4×10×9×8×7×620 (2)由A=56C7,得 n(n-10(n-2j(n-30n-4)=56×nm-1(n-2(n-3n-4)n-5n-6) 7×6×5×4×3×2×1 即(n-5)(n-6)=90, 整理可得n2-11n-60=0 …7分 解得n=15或n=-4(舍去)，所以n=15 …9分 当n=15时，有(1-2x)5=a,+ax+a,+a,2++as5, 两边求导得：-301-2x)“=4+2a,x+3a,x2+…+15asx4 …11分 令x=1,得a+2a2+…+15a5=-30, 所以a1+2a2+3a3+…+nan=-30 …13分 第1页，共4页 16.(15分) 0二项展开武的道项为：1=C(6厂(2)=2C兰.=02n 23 由题可得：2C了2=2”二 解得n=7. ……3分 所以当二项式系数最大时，r=3或4 13 所以T,=280x2: 5分 以及T=560x: …7分 13 故二项式系数最大的项分别为280r2和560x4, 28 (2)因为T=2Cx2，r=0,1,2,…,7 28-5r 当r=0,2,4,6时，T1=2Cx2为有理项，即有理项有4项 …9分 故有理项不相邻的概率为：P=AA_⊥ A814 …12分 有理项系数和Q=1+2C号+2C+2C=1093 …15分 17.(15分) (1)由题可知f(a）=a3+1-a)3,化简得f(a)=3a2-3a+1 ……2分 因为0<a<1,所以当a=)时，f(a)的最小值为好 …4分 2 (2)由题设知，X的可能取值为1,2,3,4. ……5分 ①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010. 212112128 因此，P(X=)=专×× 3*写3+3**3×38 …7分 ②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为 0010,0100,1101,1011,1001,0110,1100,0011. 因此，P(X=2) …9分 ③当X=3时， 相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000. 因此P=-2+2-9 …11分 第2页，共4页 ④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111. 因此，P(X=4)= …13分 所以X的概率分布表为 2 3 4 8 20 17 81 81 81 因此，X的均值E(X)=1×8+2×4+3×2 +4×17-208 …15分 81 9 81 8181 18.(17分) ()设A=“第1天选择米饭套餐”，A=“第2天选择米饭套餐”，A=“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意P4)-子P心闭)-写P44)-片，P41不)=1-月 -22 由全概率公式得P4)=P4)P414)+P④P41A)-号 ……4分 (2)①设An=“第n天选择米饭套餐”，则P=P(A),P(A)=1-P, 根器题意4)-子团=1-古方 由全概率公式，得 (A)P(A)P()+-) +号 整理可得：P,=一 1 ……7分 21,m 因此P15-4 因为R-号名40 所以化-子是以告为首项，一片为公比的等比数列。 …10分 1 24- 故通项公式为卫=亏+154 …12分 ②当n为大于1的奇数时，卫=5十5 2.4,1 *4 2 41、 12 …14分 -24,1 当n为大于1的偶数时，P=515子 -1< 25 …16分 512 综上所述：当≥2时，P≤立 5 …17分 第3页，共4页 19.(17分) (1)原式=C,+6C%+2C+5C；+3C+4C+7C7 =7(C9+C,+C号+C)=71+7+21+35)=7×64=448 …3分 (2)由题可知k2C=k,kC=knC=n-kC …5分 而kC=(k-1)C+C=(n-1)C-+C, 因此k2C=n(n-1)C-+nC ………7分 代入原式： c=-c+宫c k=2 利用二项式系数和的性质可得： C=a-02+n-2=nu形 …10分 所以原命题成立 (3)设等差数列a,a,a,,an的公差为d,d≠0， 故an=a。+nd, …11分 则p(x)=aC1-x)”+a,Cx1-x)"-+a,C2x21-x)-2+.+aCx =a,C1-x)”+(a+d)Cxl-x)"4+…+(a+nd)C" =a[C0-x)”+Cx1-x)-+…+Cx]+d[Cx1-x)-+2C2x21-x)-2++nC"x] =a[1-x)+x]”+dn.xfCg-1-x)m+Cx1-x)-2+…+Cx"-] =a,+dx[x+(-x] ao +dnx ……16分 因为当n∈N'时，dn≠0， 所以，对任意的n∈N,p(x)是关于x的一次函数 …17分 第4页，共4页