精品解析：重庆市字水中学2025-2026学年度高二下学期五月学情调研数学试题

重庆市字水中学2026年5月高2027届 学情调研数学试题卷 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 2. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 64 D. 81 【答案】D 【解析】 【详解】根据分步乘法计数原理，投放4封不同的信可分为4个独立步骤，每封信均有3种不同的投放选择，因此总的投入方法种数为种. 3. 已知某随机变量， ， 则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：D 4. 若小林某天选择自驾、乘坐地铁去上班的概率分别为0.8，0.2，且自驾、乘坐地铁去上班不迟到的概率分别为0.7，0.9，则小林这天去上班不迟到的概率为（ ） A. 0.82 B. 0.74 C. 0.86 D. 0.78 【答案】B 【解析】 【分析】依据全概率公式计算可得. 【详解】根据题意可得小林这天去上班不迟到的概率为. 故选：B. 5. 的二项展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的二项展开式的通项公式为， 化简得， 令，得，所以， 所以的展开式中x的系数是． 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【详解】4项工作分成3组,可得：=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 故选D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用导数求得的单调性，再转化即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，， 所以在上单调递减， 因为，，， 而，所以，即. 故选：A. 8. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，A错误； 对于B，决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好，B正确； 对于C，由随机变量服从正态分布，且， 得 ，C正确； 对于D，10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，查得次品数服从超几何分布，其均值为 ，D正确. 10. 已知函数.若.有三个零点，且在点处切线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 的极大值点为 B. 的极小值为 C. 点是曲线的对称中心 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极值点及极小值判断AB；利用中心对称的意义判断C；求出的零点，再利用导数的几何意义求解判断D. 【详解】对于AB，函数的定义域为R，求导得， 由，得或，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值点为，在处取得极小值，A错误，B正确； 对于C， ， 因此点是曲线的对称中心，C正确； 对于D，函数，由， 得，求导得， 则，， ，因此 ，D正确. 11. 如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全概率公式、概率的乘法公式可得数列的递推关系，结合等比数列的定义与通项公式求出数列的通项公式，再结合等比中项的定义、以及指数函数的性质，对选项中的结论逐一判断即可. 【详解】对于A，因为仓鼠一开始在区域，经过1次选择后不可能在区域，所以，故A正确； 对于B，记仓鼠经过次随机选择后在B，C，D区域的概率分别为，， 则有所以，进一步得， 因为，所以，所以， 所以不成等比数列，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 12. 若，则实数________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质得解. 【详解】由组合数的性质得或， 所以或 【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 13. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知集合，从集合中随机抽取一个数记为，再从中随机抽取一个数记为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】可能的取值为，根据条件概率和全概率公式可求取相应值时概率，再根据期望公式即可求期望. 【详解】可能的取值为，由全概率公式有： ， 故 . 四、解答题 15. 已知函数 在 处取得极大值10． （1）求的值； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为10，最小值为2. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【小问1详解】 ， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意. 【小问2详解】 由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且极大值为, 极小值为，又因为 故函数  在区间  上的大值为10，最小值为2. 16. 某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表： 合格 不合格 男生 35 15 女生 45 5 （1）依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关； （2）从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 【答案】（1）不能推断该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据公式计算，结合独立性检验判断即可； （2）由题知的可能取值为0，1，2，求出对应概率，列出分布列计算期望即可． 【小问1详解】 零假设：该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别无关． ， 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立， 即不能推断该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关. 【小问2详解】 由题意的可能取值为0，1，2． ，，， 所以的分布列为 0 1 2 . 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并分类讨论参数，即可得出的单调性； （2）根据（1）中的结论得出极大值的表达式，解不等式即可得的取值范围． 【小问1详解】 ， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，，可得，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立，在上单调递增， 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是． 18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，再利用均值公式计算即可. 【详解】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，. . （2） 的可能取值为. ， ， . 故的分布列为 2 3 4 5 所以. 考点：1.概率的求解；2.期望的求解. 19. 在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. （1）如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； （2）如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； （3）如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的性质可得，则独立，利用条件概率求得不换箱子不中奖和不换箱子中奖的概率的概率，即可得解. （2）求得，即可判断. （3）记事件表示主持人知道内情，结合互斥事件的概率加法公式，利用条件概率得，进而求出，即可求出抽奖人不换箱子中奖的概率. 【小问1详解】 如果主持人知道内情，则他必然打开空箱子，，则， ，所以独立， 所以， 说明不换箱子不中奖的概率是，不换箱子中奖的概率是，于是，换箱子中奖的概率是. 【小问2详解】 如果主持人不知道内情，， 于是，， 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是. 【小问3详解】 如果主持人知道内情的概率为，事件表示主持人知道内情，则， ， 又，设， ， ， 因此，. 说明不换箱子不中奖的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市字水中学2026年5月高2027届 学情调研数学试题卷 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 2. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 64 D. 81 3. 已知某随机变量， ， 则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若小林某天选择自驾、乘坐地铁去上班的概率分别为0.8，0.2，且自驾、乘坐地铁去上班不迟到的概率分别为0.7，0.9，则小林这天去上班不迟到的概率为（ ） A. 0.82 B. 0.74 C. 0.86 D. 0.78 5. 的二项展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 10. 已知函数.若.有三个零点，且在点处切线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 的极大值点为 B. 的极小值为 C. 点是曲线的对称中心 D. 11. 如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若，则实数________. 13. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 14. 已知集合，从集合中随机抽取一个数记为，再从中随机抽取一个数记为，则___________． 四、解答题 15. 已知函数 在 处取得极大值10． （1）求的值； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 16. 某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表： 合格 不合格 男生 35 15 女生 45 5 （1）依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关； （2）从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围． 18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）. 19. 在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. （1）如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； （2）如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； （3）如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $