重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度（下）高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 3. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有， A. 1359人 B. 1569人 C. 2719人 D. 3409人 4. 在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织包含甲在内的8名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，甲不看排球，则观看比赛的不同方案种数为（ ） A. 630 B. 1260 C. 1960 D. 3920 6. 某研究小组收集了10组数据，计算得到相关系数，则以下结论最合理的是（ ） A. 与正相关且线性关系很强 B. 与负相关且线性关系很强 C. 与正相关但线性关系很弱 D. 与负相关但线性关系很弱 7. 已知函数则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球，事件表示“由乙罐取出的球是黑球”，则（ ） A. B. C. 事件 与事件相互独立 D. 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 11. （多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的解集为 C. 对任意，，，都有 D. 若，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________. 14. 设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为________ 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 17. 羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人． 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关? （2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望． （3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 已知函数，函数，． （1）讨论函数的单调性并求最值； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围； （3）已知，证明： 19. 乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.乒乓球比赛规则为：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.若单局比赛中，甲发球时甲获胜的概率为，乙发球时甲获胜的概率为，已知甲先发球，且各球胜负相互独立. （1）求前4球中甲得3分的概率； （2）求单局比赛中甲以获胜的概率： （3）不考虑比赛是否已提前结束，设打完n个球后甲比乙至少多2分的概率记作，乙比甲至少多2分的概率记作，证明： 2025-2026学年度（下）高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】16 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 【15题答案】 【答案】（1），线性相关性很强 （2）， 【16题答案】 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【17题答案】 【答案】（1） 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关 （2） 0 1 2 3 （3） 【18题答案】 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，最大值为，无最小值. （2） （3）由（2）的结论，对 ，令​​，则.​ 求和得​. 由（1）的结论，对任意，，令，则 . 求和得. 因此. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：设表示打完个球后甲的得分减去乙的得分． 一组完整的4球中，甲发2球，乙发2球． 设这一组4球使增加的量为，则的可能取值及对应概率如下： 概率 由表可知，当时，均有． 把前球分成组，每组4球． 若某一种分组结果对应的得分差增加量依次为，则把每一组的增加量都改为相反数，得到另一种分组结果． 当时，由每组概率之间的关系可知，前一种分组结果的概率是后一种分组结果概率的2倍． 所以． 记，，则． 又第球由甲发球，甲赢该球的概率为，甲输该球的概率为． 因为只能取偶数，所以 于是 因为，所以，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $