精品解析：广东中山市小榄中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

广东省中山市小榄中学2025-2026学年高二下数学5月月考试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 2. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，若方差，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ） A. 5.15吨 B. 5.25吨 C. 5.5吨 D. 9.5吨 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 7. 已知函数为函数的导函数，的图象大致如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（ ） A. 若，则 B. 若，则成对数据的样本相关系数等于 C. 若，则成对数据的样本相关系数大于 D. 若，则成对数据的经验回归方程 10. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数的和为 B. 展开式中所有奇数次项系数的和为 C. 展开式中所有偶数次项系数的和为 D. 11. 已知且，函数，则（ ） A. 若，则有个零点 B. 若，则在区间上单调递减 C. 若有两个零点，则 D. 若，则存在，使得当时，有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知数列对于任意，，有，若，则_____________． 13. 若定义在上的函数的导函数为，则函数的单调递减区间是__________． 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤. 15. 已知在的展开式中，第9项为常数项，求： （1）n的值； （2）展开式中的系数； （3）含x的整数次幂的项的个数. 16. 已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. （1）证明：对任意实数，数列不是等比数列； （2）试判断数列是否为等比数列. 17. 人们在接受问卷调查时，通常并不愿意如实回答太敏感的问题．比如，直接问运动员们是否服用过兴奋剂，绝大多数情况下难以得到真实的数据． 某中学发布了一项针对学生行为规范的新校规，学生社团想进行一次本校学生对新校规认可度的调查，为了消除被调查者的顾虑，精心设计了一份问卷： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否”． （友情提示：为了不泄漏您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数字是奇数吗？ “是”“否” 问题二：您是否对新校规持认可态度? “是”“否” 学生社团随机选取了150名男学生和150名女学生进行问卷调查，已知统计问卷中有85张勾选“是”． （1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校学生对新校规持认可态度的概率； （2）据核实，以上的300名学生中有20名学生对新校规持认可态度，其中男生15人，女生5人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为对新校规持认可态度与性别有关． 男生 女生 合计 认可新校规 不认可新校规 合计 参考公式和数据如下：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 7.879 18. 定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间． （1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点； （2）对于函数（其中e为自然对数的底数） （ⅰ）当时，求的弹性区间D； （ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围． 19. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 参考公式：时，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市小榄中学2025-2026学年高二下数学5月月考试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可. 【详解】解析由已知可得曲线关于直线对称，， 所以，故． 故选：C 2. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A：，故A错误； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误． 3. 已知随机变量，若方差，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式求出，再求出的值. 【详解】由，得，解得或， 所以. 故选：D 4. 在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可. 【详解】∵公比，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴且， ∴且， 即“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ） A. 5.15吨 B. 5.25吨 C. 5.5吨 D. 9.5吨 【答案】B 【解析】 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，， 又回归直线方程必过点，即，解得， 所以，当时， 故生产7吨产品，预计相应的生产能耗为5.25吨. 故选：B 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 7. 已知函数为函数的导函数，的图象大致如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对每个选项中的函数求导，再判断导函数的奇偶性及导函数的单调性即可. 【详解】对于A项，，则， 又，所以为偶函数，与已知矛盾，故A项不符合； 对于B项，，则， 又，所以为奇函数， 令，则， 当时，，单调递减，即在上单调递减， 当时，，单调递增，即在上单调递增，故B项符合； 对于C项，，则， 又，所以为偶函数，与已知矛盾，故C项不符合； 对于D项，，则， 又，所以为奇函数， 令，则， 当时，，单调递增，即在上单调递增，与已知矛盾，故D项不符合. 故选：B. 8. 一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可. 【详解】样本空间，这是一个古典概型，可得，， 即，，从而且. 由可得事件；又因为，所以1或2. (1)若，则，即，， 此时不满足； (2)若，则，且，又因为， 所以或，即或3； ①若，，此时或或或 ，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本 点，即有个满足条件的事件； ②若，，同理有个满足条件的事件； ③若，，此时或或或， 即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件； ④若，，同理有个满足条件的事件； 综上所述，满足条件的事件共计个. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（ ） A. 若，则 B. 若，则成对数据的样本相关系数等于 C. 若，则成对数据的样本相关系数大于 D. 若，则成对数据的经验回归方程 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数的意义判断ABC，利用线性回归方程的求法判断D. 【详解】当时，变量正相关，所以，故A正确； 因为，所以成对数据对应点相当于把成对数据对应的点向下平移2个单位，不改变变量的相关性，故B正确； 因为，则成对数据对应点相当于把成对数据对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，故变量间的相关性不变，故C错误； 当，由可知，新的回归直线方程中斜率变为，，则成对数据的经验回归方程，故D正确. 故选：ABD 10. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数的和为 B. 展开式中所有奇数次项系数的和为 C. 展开式中所有偶数次项系数的和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由展开式中所有项的二项式系数的和为可判断A项，令与代入计算，两式相加、相减可判断B、C项，令与代入计算可判断D项. 【详解】对于A项，展开式中所有项的二项式系数的和为，故A项正确； 对于B项，令，， 令，， 两式相减得展开式中所有奇数次项系数的和为，故B项正确； 对于C项，由B项可知，两式相加得展开式中所有偶数次项系数的和为，故C项错误； 对于D项，令，则， 令，则， 所以，故D项正确. 故选：ABD. 11. 已知且，函数，则（ ） A. 若，则有个零点 B. 若，则在区间上单调递减 C. 若有两个零点，则 D. 若，则存在，使得当时，有 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项，构造函数，结合单调性和最值判断解的个数，对于选项，利用零点存在性定理判断函数单调性，结合单调性和区间端点函数值得符号，对选项进行判断，对于选项，利用指数函数增长速度快于幂函数增长速度即可判断. 【详解】对于：，时，. 则，即， 令，，时，， 在上，，单调递增，在上，，单调递减. ， 因为，所以， 在上，单调递增，， 在上，单调递减. ， 所以在上必有两个解， 所以有两个零点，所以正确； 对于：，， 令，，为增函数， ， 因为，所以，则， 所以， 所以在存在，使在上，在上， 所以在递减，在递增，且， 因为，所以，所以， 所以在上，所以在上递减.所以B正确. 对于：，时，同项有， 令，，时，， 在上，，单调递增，在上，，单调递减. ， 当时，，有两个零点， 当时，，有两个零点， 所以项错误； 对于：因为，所以中，一直以倍的速度增长.而中 的增长倍数无限趋近于.所以存在，使得当时，有. 所以项正确. 故选：. 【点睛】思路点睛：（1）利用导数研究函数的单调性、零点等问题，往往要先构造函数，再利用导数研究函数的有关性质，例如本题涉及指数函数和幂函数常常构造形如形式的函数. （2）对于超越方程无法直接求根，往往需要二次求导. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知数列对于任意，，有，若，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】按递推公式先求出，再导出，然后求出，再导出，进而求出，由此可求出． 【详解】由题意得， , 故答案为:4． 13. 若定义在上的函数的导函数为，则函数的单调递减区间是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数解析式得到原函数解析式，即可得到的解析式，再根据二次函数的性质计算可得. 【详解】解：因为函数的导函数为，所以原函数可以是， ∴， ∴函数的单调递减区间是. 故答案为： 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程过演算步骤. 15. 已知在的展开式中，第9项为常数项，求： （1）n的值； （2）展开式中的系数； （3）含x的整数次幂的项的个数. 【答案】（1）10 （2） （3）6项 【解析】 【分析】（1）写出通项公式，根据时，的指数为0，可求出； （2）在通项公式中，令的指数为5，可求出，从而可得展开式中的系数； （3）在通项公式中，由的指数为整数以及，k∈N，可求出的个数. 【小问1详解】 由已知得二项展开式的通项为. 因为第9项为常数项，所以当时，，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 令，得，所以的系数为. 【小问3详解】 要使为整数，只需k为偶数，由于，k∈N，因此含x的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项. 16. 已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. （1）证明：对任意实数，数列不是等比数列； （2）试判断数列是否为等比数列. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用反证法，根据，可得矛盾，即可求解， （2）代入化简可得，利用等比数列的定义，即可求证. 【小问1详解】 ∵且，∴，． 假设存在一个实数，使数列是等比数列， 则，即，即，得，矛盾． 故对任意实数，数列不是等比数列． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴当时，，此时数列不是等比数列； 当时，，此时，数列是等比数列． 17. 人们在接受问卷调查时，通常并不愿意如实回答太敏感的问题．比如，直接问运动员们是否服用过兴奋剂，绝大多数情况下难以得到真实的数据． 某中学发布了一项针对学生行为规范的新校规，学生社团想进行一次本校学生对新校规认可度的调查，为了消除被调查者的顾虑，精心设计了一份问卷： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否”． （友情提示：为了不泄漏您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数字是奇数吗？ “是”“否” 问题二：您是否对新校规持认可态度? “是”“否” 学生社团随机选取了150名男学生和150名女学生进行问卷调查，已知统计问卷中有85张勾选“是”． （1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校学生对新校规持认可态度的概率； （2）据核实，以上的300名学生中有20名学生对新校规持认可态度，其中男生15人，女生5人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为对新校规持认可态度与性别有关． 男生 女生 合计 认可新校规 不认可新校规 合计 参考公式和数据如下：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 7.879 【答案】（1） （2）列联表见解析；有 【解析】 【分析】（1）由题意计算出回答第一个问题和回答第二个问题的人数，根据古典概型的概率公式可得答案； （2）由题意可得列联表，计算的值，比较即可得结论. 【小问1详解】 由题意知抛一个硬币：得到正面或反面是等可能的， 故回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数也为150人， 因为身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的， 所以回答第一个问题，选择“是”的学生人数为， 则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人， 所以估计该校学生对新校规持认可态度的概率为； 【小问2详解】 由题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 认可新校规 15 5 20 不认可新校规 135 145 280 合计 150 150 300 故， 故有的把握认为对新校规持认可态度与性别有关． 18. 定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间． （1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点； （2）对于函数（其中e为自然对数的底数） （ⅰ）当时，求的弹性区间D； （ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1），； （2）（ⅰ），（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据题设条件，即可求得的弹性函数及弹性零点； （2）（ⅰ）函数，可得函数的定义域为，函数是弹性函数，得出不等式组，进而求得函数的弹性区间； （ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 则， 令，解得， 所以弹性函数的零点为. （2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为， 因为， 函数是弹性函数， 此不等式等价于下面两个不等式组： （Ⅰ） 或（Ⅱ）， 因为①对应的函数就是， 由，所以在定义域上单调递增， 又由，所以①的解为； 由可得， 且在上恒为正， 则在上单调递增，所以，故②在上恒成立， 于是不等式组（Ⅰ）的解为， 同①的解法，求得③的解为； 因为时，④，所以不成立， 所以不等式（Ⅱ）无实数解， 综上，函数的弹性区间. （ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立， 设，则， 而， 由（ⅰ）可知，在上恒为正， 所以，函数在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题综合性强，属于难题． 19. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 参考公式：时，，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案. （2）根据独立重复事件概率计算公式求得. （3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立. 【小问1详解】 设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，， ，，， 则， 故. 【小问2详解】 由题知，1，2， 由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵. 【小问3详解】 由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 【点睛】本题中有很多新定义名词，如“逻辑门”、“信息熵”，“上旋粒子”，“下旋粒子”等等.解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $