精品解析：广东省中山市博文学校2024-2025学年高二下学期6月段考试题

广东省中山市博文学校2025年6月高二下学期数学三段考 一、单选题 1. 若，则（ ） A. 20 B. 21 C. 30 D. 35 2. 已知随机变量概率分布如表则（  ） 1 2 4 A. 1 B. C. 11 D. 15 3. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 1.2 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，，那么（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.8 6. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同工作，每人承担一项．甲不从事A工作的概率为（ ） A. B. C D. 7. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D. 决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在处的切线方程为 C. 在上的最小值为 D. 在区间上单调递增 11. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球最后落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______． 13. 的展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________． 四、解答题 15. 已知函数（） （1）求的单调区间； （2）当有3个零点时，求的取值范围． 16. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行．足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲参加点球测试，他每次点球成功的概率均为．现他有3次点球机会，并规定连续两次点球不成功即终止测试，否则继续下一次点球机会．已知甲不放弃任何一次点球机会． （1）求甲恰好用完3次点球机会的概率； （2）甲每次点球成功一次，可以获得50积分，记其获得的积分总和为，求的分布列和数学期望． 17. 甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率； （2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率. 18. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者的平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，. （1）求的极值； （2）证明：当时，.（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市博文学校2025年6月高二下学期数学三段考 一、单选题 1. 若，则（ ） A. 20 B. 21 C. 30 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数求得n，再根据组合数公式求得答案. 【详解】因为，所以，即， 解得或（舍去），所以 故选：D. 2. 已知随机变量的概率分布如表则（  ） 1 2 4 A. 1 B. C. 11 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解. 【详解】依题意，，解得， 则， 所以. 故选：D 3. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（ ） A B. C. 1 D. 1.2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求出样本点中心为，再将其代入经验回归方程中即可. 【详解】根据题意可得， ，， 则10对样本数据的样本点中心为， 将其代入方程中得，，则. 故选：B 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得对任意恒成立，分参即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以，即对任意恒成立， 令，则在上单调递减， 所以，所以， 即实数的最小值为. 故选：C 5. 已知随机变量，，那么（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】因为随机变量，， 由正态分布对称性可知，， 所以. 故选：B. 6. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．甲不从事A工作的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过排列组合相关知识，得到所有方案数，再得到甲不能从事A工作的可能情况，结合古典概型概率求解方法得到答案. 【详解】甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项，总共有种方案； 若甲不能从事A工作， ①甲不从事任何工作，有种方案， ②甲从事工作，但不从事A工作，有种方案； 所以甲不从事A工作的概率为. 故选：B 7. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由杨辉三角的性质判断第20行的数大于2023的个数，结合古典概型的概率公式即可得解. 【详解】由杨辉三角的性质知第20行的数为，一共有21个数， 其中， 由杨辉三角的对称性可知，第20行中大于2023的数的个数为， 故所求概率为. 故选：A. 8. 若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据极值点及零点得出满足的等式，再结合函数的单调性得出等式计算即可求值. 【详解】因为是函数的一个极值点， 所以， 因为是函数的一个零点， 所以， 设单调递增函数， 因为， 所以. 故选：B. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D. 决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】利用波动大小判断A；利用残差图的意义判断B；利用相关系数、决定系数的意义判断CD. 【详解】对于A，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据波动性不变，方差不变，A正确； 对于B，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，B错误； 对于C，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，C错误； 对于D，决定系数越接近于1，说明拟合效果越好，D正确. 故选：AD 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在处的切线方程为 C. 在上的最小值为 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义可判断A；利用导数求出切线斜率，再求出，由直线的点斜式方程可判断B；利用导数求出在上的最小值可判断C；利用导数可判断的单调性可判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，，，，所以在处的切线方程为，故B错误； 对于C，当时，由得，单调递增，由得，单调递减，又，，所以在上的最小值为，故C正确； 对于D，，因为，所以， 当时，，单调递减， 当，，单调递增，故D错误. 故选：AC. 11. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球最后落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】令，分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式和期望的性质可判断B选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断CD选项. 【详解】记事件“向右下落”，则事件“向左下落”，且， 令，因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上， 而小球在下落过程中共碰撞小木钉次，则， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于CD选项，，C错D对. 故选：BD. 三、填空题 12. 已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求出结果. 【详解】设切点为， 因为，所以， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过，所以，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：或 13. 的展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 【答案】180 【解析】 【分析】 根据二项式定理，结合展开式通项即可确定的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】的展开式中的通项公式 ， 而 分别令，， 解得，或． ∴的展开式中的常数项． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题. 14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一局甲胜，第二局乙胜： 若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； （2）第一局乙胜，第二局甲胜： 若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为. 综上所述，甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数（） （1）求的单调区间； （2）当有3个零点时，求的取值范围． 【答案】（1）增区间，，减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据导数与单调性的关系即可得结果； （2）首先求出函数的极值，根据题意得到，再解不等式组即可. 【小问1详解】 因为， 令，得或1； 令，得或； 令，得， 所以的增区间为，，减区间为. 【小问2详解】 由（1）易得的极大值为，极小值为 因为有3个零点，所以，解得. 即的取值范围为. 16. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行．足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲参加点球测试，他每次点球成功的概率均为．现他有3次点球机会，并规定连续两次点球不成功即终止测试，否则继续下一次点球机会．已知甲不放弃任何一次点球机会． （1）求甲恰好用完3次点球机会的概率； （2）甲每次点球成功一次，可以获得50积分，记其获得的积分总和为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，85.2 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可得的所有可能取值为，然后求出各自对应的概率，从而可求出的分布列和数学期望． 【小问1详解】 设事件：恰好用完3次机会，事件：前2次均不成功，依题意得， ． 【小问2详解】 易知的所有可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 所以 17. 甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品只有1个是次品的概率； （2）若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出甲箱中任取2个产品和这2个产品只有1个是次品的方法数，然后根据古典概型的概率公式求解即可； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【小问1详解】 令事件“这2个产品只有1个是次品”， ； 【小问2详解】 令事件“从乙箱取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，则两两互斥，且， 则，， 则 18. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者的平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.035；41.5岁 （2）表格见解析；有关 （3）；1 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可； （2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案； （3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案 【小问1详解】 ， ， ， 估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁； 【小问2详解】 选出的200人中，各组的人数分别为： 第1组：人，第2组：人， 第3组：人，第4组：人， 第5组：人， 青少年组有人，中老年组有人， 参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题， 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人， 列联表如下； 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 零假设：假设关注民生问题与性别相互独立， ， 根据独立性检验，可以认为零假设不成立， 即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关； 【小问3详解】 由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为， 将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为， 因为每次抽取的结果是相互独立的，所以， 所以， 所以，． 19. 已知函数，. （1）求的极值； （2）证明：当时，.（参考数据：） 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再证明即可，或者转化证明不等式，通过构造函数可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 设， 解法一：则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又， 所以存在，使得，即. 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，在处取得极小值，即为最小值， 故， 设，因， 由二次函数的性质得函数在上单调递减， 故， 所以当时，，即. 解法二：要证，即证， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $