精品解析：江苏省苏州市昆山震川中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

昆山震川高级中学2024-2025学年第二学期 高二第一次模块测试数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若＝18，则m等于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2. 设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 函数的单调减区间为（ ）． A. ， B. ， C. D. ， 4. 若函数有最大值，则实数的值是（ ） A 1 B. C. 4 D. 5. 只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ） A. 96 B. 144 C. 240 D. 288 6. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是 A. B. C. D. 7. 设，，，则，，大小关系是　　 A. B. C. D. 8. 方程-lnx -2=0的根的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ） A 四位回文数有90个 B. 四位回文数有45个 C. （）位回文数有个 D. （）位回文数有个 11. 定义在上的函数的导函数为，且对恒成立.下列结论正确的是（ ） A B 若，，则 C. D. 若，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分，请把答案填写在答题卡相应位置上 12. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有___________种.(用数字作答) 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 四、解答题；本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，．试问： （1）从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点? （2）从中取出三个不同元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐减小，这样的三位数有多少个? 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求实数a的取值范围． 17. 用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，设圆锥的高为h． （1）试将圆锥容积表示成关于高h的函数； （2）当扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大? 18. 已知函数 （1）当时，求函数在上的最值； （2）证明：对一切，都有成立. 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； （2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆山震川高级中学2024-2025学年第二学期 高二第一次模块测试数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若＝18，则m等于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由A＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6. 2. 设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，计算出切点处的导数值及切线的斜率，在根据直线方程求出直线斜率，两直线平行斜率相等即可求出的值. 【详解】由，得， 又因为点在曲线上， 所以曲线在点处的切线的斜率， 易知直线的斜率为， 又因为两直线平行，所以即. 故选：C 3. 函数的单调减区间为（ ）． A. ， B. ， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令导数小于零，解不等式可求出此函数的单调减区间 【详解】由题意可得： 令，即 解得：或 故该函数的单调减区间为和， 故选：A 【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，考查高次不等式的解法，属于基础题. 4. 若函数有最大值，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可. 【详解】， 令，得临界点（因，舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时无最大值， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为， 所以，满足题意， 故选：. 5. 只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ） A. 96 B. 144 C. 240 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理分三步求解即可. 【详解】从2，3，4，5四个数字选个作为重复数字，共有种选法， 将不重复的个数字全排列，有种排法， 不重复的个数字排好后形成个空位，从中选个空位插入重复数字， 共有种选法， 根据分步乘法计数原理，可得， 所以这样的五位数有个. 故选：. 6. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可. 【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求. 故选D. 【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7. 设，，，则，，大小关系是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据的单调性可得（3），从而得到，，的大小关系． 【详解】考查函数，则，在上单调递增， ，（3），即， ， 故选：． 【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题． 8. 方程-lnx -2=0的根的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导函数研究函数的单调性可知函数的单调区间，然后结合零点存在定理确定方程根的个数即可. 【详解】令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 且：，， ， 结合函数零点存在定理可知函数在上存在一个零点，在区间上存在一个零点， 方程-lnx -2=0的根的个数为2. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据函数的单调性与导函数符号之间的关系判断各选项中和的图象是否合乎要求，同时也要注意特殊点处的导数值作为切线的斜率，由此可得出结论. 【详解】对于A选项，由函数的图象可知，，但函数在处的切线斜率不存在，不合乎题意； 对于B选项，由函数的图象可知，函数存在增区间，但B选项的图中，函数为减函数，不合乎题意； 对于C选项，由函数的图象可知，函数在上为增函数，合乎题意； 对于D选项，由函数的图象可知，函数有两个单调区间，但D选项的图中，函数有三个单调区间，不合乎题意. 故选：ABD. 【点睛】本题考查函数与导函数图象之间的关系，在判断时要注意导函数符号与函数单调性之间的联系，考查推理能力，属于中等题. 10. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ） A. 四位回文数有90个 B. 四位回文数有45个 C. （）位回文数有个 D. （）位回文数有个 【答案】AC 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】根据题意，对于四位回文数， 有1001、1111、1221、……、1991、 2002、2112、2222、……、2992、 ……、 9009、9119、9229、……、9999， 其首位和个位有种选法，第二为和第三位有种选法，故共有个，则A正确，B错误； 对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……， 第个数字，即最中间的数字有10种选法， 则共有种选法， 即（）位回文数有个，故C正确，D错误. 故选：AC. 11. 定义在上的函数的导函数为，且对恒成立.下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】 构造函数，然后求导，可得到函数的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误. 【详解】构造函数，则 因为对恒成立， 所以在上恒成立，即在上递减， 所以，即，整理得：，故A错； 所以，即，整理得：，故C正确； 对于B选项，若，，则恒成立， 所以整理得：，所以B错； 对于D选项，当时，，则可得，故D正确 故选：CD. 【点睛】本题考查利用构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否成立的问题，难度一般. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分，请把答案填写在答题卡相应位置上 12. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有___________种.(用数字作答) 【答案】54 【解析】 【分析】根据题意，甲教师和乙教师带不带同一队作为分类标准，分别计算两种情况下的不同带队方案，最后由分类加法计数原理计算结果即可； 【详解】根据题意可得： 若甲教师和乙教师不带同一队，则共有种不同的带队方案； 若甲教师和乙教师带同一队，则共有种不同的带队方案； 由分类加法计数原理可得：共有54中不同的带队方案； 故答案为：54. 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题；本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，．试问： （1）从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点? （2）从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐减小，这样的三位数有多少个? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得集合，，分两种情况求解即可； （2）由（1）可得，根据顺序固定应用组合数计算求解. 【小问1详解】 由题意可得，， 所以，， 中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有个， 中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有个， 其中重复的有， 所以不同的点有个； 【小问2详解】 因，， 所以， 要满足从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字逐渐减小， 即从个元素中选个元素的组合数， 所以，所以满足要求的三位数有个. 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的正负判断函数的单调性即可； （2）分和两种情况，当时讨论和，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以， 令，可得或；令，可得， 所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 当时，恒成立，可以取任意实数； 当时，令，则， 当时，因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 即，符合题意； 当时，令，得， 当时，，所以单调递减， 此时，即，不合题意； 所以实数a的取值范围为. 17. 用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，设圆锥的高为h． （1）试将圆锥容积表示成关于高h的函数； （2）当扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，令，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则， 因此， 即. 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 令，解得．   ∴  当时容积最大，把代入得， 由得，即圆心角为时容积最大． 18. 已知函数 （1）当时，求函数在上的最值； （2）证明：对一切，都有成立. 【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，根据导数的符号，求得函数在上单调递减，在上单调递增，进而求得最值； （2）当时， 等价于，由（1）得到的最小值是，设，利用导数求得函数取得最大值，即可作差证明. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 当时，，则， 令，即，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因此在处取得最小值，即，函数在上无最大值. （2）当时， 等价于， 由（1）知时，的最小值是，当且仅当时取等号， 设，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值， 所以对一切，都有，即. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 19. 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． （1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； （2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； （3）已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）严格单调递减 【解析】 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． 【小问2详解】 由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直． 【小问3详解】 设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$