精品解析：四川省苍溪中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 2. 已知，复数，则 A. -2 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值． 详解：因为， 所以， 即.故选D． 点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力． 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 4. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义运算即可得解. 【详解】因为，，， 所以 故选：D． 5. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. B. 12 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出直观图的面积，进而即可得到原图形的面积. 【详解】由斜二测画法可知， 所以， 所以， 所以， 故选：A. 6. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合余弦定理可得，进而结合面积公式即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，则， 所以，即， 所以， 又， 则，即， 又， 所以的面积为. 故选：A. 8. 长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案. 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算可求出、的值，可得出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项. 【详解】因为向量，，， 所以，，解得，则，， 对于A选项，， 因为，则与不共线，A错； 对于B选项，，则， 故，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，，故，D对. 故选：BCD. 10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ） A. C1、O、A、M四点共面 B. 直线C1O与直线A1C为异面直线 C. 直线A1A与直线OM相交 D. D1、D、O、M四点共面 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点与线，点与面，线与面的位置关系逐项判断即可求解. 【详解】对于A选项，如图，连接， 因为O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M， 所以点在平面与平面的交线上，即三点共线， 则点、、、四点共面，故选项A正确； 对于B选项，由选项A的分析可知三点共线，所以直线与直线相交，故选项B错误； 对于C选项，因为为的中点，点为直线与平面的交点，所以不是的中点， 又因为平面，且与不平行，所以直线与直线相交，故选项C正确； 对于D选项，因为点、、均在平面内，点不在平面内， 且直线与直线没有交点，所以直线与直线异面， 则点、、、四点不共面，故选项D错误， 故选：AC. 11. 已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. AB的中线长为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据大边对大角可知角为钝角，可得A错误；由余弦定理以及三角形面积公式计算可得BC正确，结合余弦定理判断D错误. 【详解】对于A，由题意可知边最大，所以角为的最大内角， 易知，因此角为钝角，可得A错误； 对于B，易知，又，可得，即B正确； 对于C，由，可得的面积为，即C正确； 对于D，设AB的中线为，易知，可得，即D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可. 【详解】根据题意可知，. 在中，由正弦定理得,即. 故答案为：. 13. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】对两边平方得出①，对两边同时点乘即可得出②，联立①②即可解出的值. 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 14. 已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对应关系可得圆台的上、下底面圆半径分别为，进而计算出圆台的高，设球心到点所在的底面的距离为，表示到点所在底面的距离，利用球半径相等建立等量关系，解方程即可得到结果. 【详解】设圆台的上、下底面圆半径分别为， 由题意得，，，解得. 如图，设圆台的上、下底面圆心分别为，则圆台的高为. 设球的半径为，球心到点所在的底面的距离为， 则到点所在的底面的距离为， 由题意得，，解得， 所以球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知复数，，且是实数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题中条件及复数的乘法法则、复数的分类即可求解的值，再根据共轭复数的定义即可求解； （2）由（1）知，根据复数的加法运算及复数的几何意义即可求解. 【小问1详解】 ∵，， ∴. ∵是实数，∴，解得. ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）知，∴. ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得，即实数m的取值范围为. 16. 已知向量． （1）若单位向量与共线，求向量的坐标； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可； （2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可. 【小问1详解】 因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到 解得或． 【小问2详解】 因为与垂直， 所以， 即， 解得． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】（1）因为 为 的中点，且 ，所以 ， 又因为 且 ，所以 且 ， 因此，四边形 是平行四边形，故 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）连接，由 且 ，，，可知四边形 是正方形， 因为，因此 ，且 ， 在 中，，故 ， 在 中，，故 ， 在 中，，所以 ， 即 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 。 （3）1 【解析】 【分析】(1)根据线面平行的判定定理求证； (2) 根据面面垂直的判定定理求证； (3)利用四棱锥的体积公式求解. 【小问1详解】 略; 【小问2详解】 略; 【小问3详解】 因为 平面 ， 平面 ，所以 , 又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 , 因为 平面 ，所以 , 因此 就是二面角 的平面角，即 , 在 中，，，所以 , 梯形 的上底 ，下底 ，高 ， 故梯形 面积为 所以四棱锥的体积为 . 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解； （2）根据同三角函数关系可求出，再根据正弦定理求出，根据二倍角公式求出； （3）根据三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 因为，则， 故． 【小问2详解】 ∵，且, ∴， ∵，， ∴，解得， ∵，∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 ∵，∴， 由余弦定理得， ∴， 又，∴，则， ∴， 于是的周长． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， （1）求证：平面； （2）若，分别为棱，的中点，求证：∥平面； （3）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理即可证明平面； （2）易证四边形是平行四边形，进而根据线面平行的判断定理证明即可； （3）由（1）可知平面平面，进而可知是直线与平面所成角，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又因为矩形，所以，，且是中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（1）可知平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面平面， 因为为等边三角形， 所以，平面， 所以平面， 连接，所以是直线与平面所成角， 在矩形中，， 在正中，， 所以， 因为， 因此， 即直线与平面所成角为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 2. 已知，复数，则 A. -2 B. 1 C. 0 D. 2 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. B. 12 C. 12 D. 24 6. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ） A. C1、O、A、M四点共面 B. 直线C1O与直线A1C为异面直线 C. 直线A1A与直线OM相交 D. D1、D、O、M四点共面 11. 已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. AB的中线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为________ 13. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 14. 已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知复数，，且是实数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 16. 已知向量． （1）若单位向量与共线，求向量的坐标； （2）若与垂直，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求四棱锥体积． 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， （1）求证：平面； （2）若，分别为棱，的中点，求证：∥平面； （3）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $