8.1.3 向量数量积的坐标运算 期末复习限时作业七-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦向量数量积坐标运算，通过选择、填空、解答题系统覆盖垂直、夹角、几何应用等核心考法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选4题|坐标表示、数量积计算|从向量坐标定义到数量积公式推导| |性质应用|多选2题|垂直条件、夹角公式应用|性质与坐标运算的结合| |几何综合|填空2题+解答2题|平行四边形、矩形中的向量问题|几何背景下数量积的实际应用|

高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.3 向量数量积的坐标运算限时作业七 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题． 利用平面向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示即可求解． 解：由题意，得， 因为， 则， 解得． 2.已知向量，，若与垂直，则实数(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题． 由与垂直，则，可由数量积的坐标运算得到结果． 【解答】 解：，，， ， ． 故选A． 3.已知向量，，则与的夹角是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查平面向量的夹角公式，向量的坐标运算，属于基础题． 【解答】 解：由向量的夹角公式得， 所以， 故选C． 4.设向量与的夹角为，定义，已知，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查平面向量的的模和夹角的运算以及同角三角函数的关系，属于基础题． 根据所给的两个向量的坐标，写出两个向量的夹角的余弦，再求出两个向量的夹角的正弦，根据所给的公式得到结果． 【解答】 解：，，， ， 又为向量与的夹角， 则， ． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则(     ) A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量平行和垂直的判断，属于基础题． 根据题意结合向量的坐标运算依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于，向量，若，则有，无解， 则必有，A正确； 对于，若，则，解可得，B正确； 对于，若，则有，解可得或，C错误； 对于，，则，必有，D正确； 故选：． 6.已知，，，则(     ) A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查向量平行共线关系的坐标表示，向量垂直关系的坐标表示，投影向量，向量模的坐标表示，属于基础题． 根据向量模的坐标表示即可判断；根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断；根据投影向量的计算公式即可判断． 【解答】 解：对，，故 A错误； 对，若，则，解得，故 B正确； 对，若，则，解得，故 C错误； 对，在上的投影向量的坐标为，故 D正确． 故选BD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在平行四边形中，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了向量的夹角及向量的坐标运算，属于基础题． 先求得，然后利用向量的夹角公式求得正确答案． 【解答】 解：依题意 所以，， 则 ，． 故答案为． 8.在矩形中，，，点、满足，，，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查向量的数量积公式，掌握建系法是解本题的关键，属于基础题． 由题意可建立平面直角坐标系，分别写出对应点的坐标，再结合向量的数量积公式，即可求解． 【解答】 解：以为坐标原点建立直角坐标系，，， 可得， 所以． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在平面直角坐标系中，已知向量，． 求； 若，，，求实数的值． 【答案】解：由，得，． ，，由得，解得．   【解析】本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，向量模的坐标表示，向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题． 先计算出，再通过坐标运算求模长； 先表示出，再由解出． 10.本小题分 已知向量，． 设，若，求实数的值 若与共线，求实数的值． 【答案】解：，， ， 又，， ，， 即， 与共线，且与不共线， 存在，使得， 故，即， 从而．  【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的共线关系、向量垂直与数量积的关系，属于基础题． 利用，可得，即可求解； 根据向量平行的坐标关系即可得出关于的方程，解出即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章) 8.1.3向量数量积的坐标运算限时作业七 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知向量=(0,1)，币=(2，x),若都1⑥-4，则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基 础题。 利用平面向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示即可求解. 解：由题意，得6-4=(2，x-4), 因为16-4， 则66-4=4+x(x-4)=0, 解得x=2, 2.已知向量=(1,2)，6=(-4，m),若a与6垂直，则实数m() A.2 B.-2 C.-8 D.8 【答案】A 【解析】【分析】 第1页，共6页 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题. 由与6垂直，则a6=0,可由数量积的坐标运算得到结果. 【解答】 解：a=(1,2),6=(-4,m),a1b, .a6=1×(-4)+2m=0, m=2. 故选A. 3.已知向量a=(1,V3),6=(-2,2W3),则与6的夹角是() C. D.1 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查平面向量的夹角公式，向量的坐标运算，属于基础题. 【解答】 解：由向量的夹角公式得cos0= a-b -2+6 1 V1+3x√4+1元2 所以0= 故选C 4.设向量a与6的夹角为0，定义a⊕b=sin0-bcos0,已知=(3,4)，b=(4,-3),则 a⊕b=( A.(3,4) B.（-4,3) C.5 D.25 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查平面向量的的模和夹角的运算以及同角三角函数的关系，属于基础题. 根据所给的两个向量的坐标，写出两个向量的夹角的余弦，再求出两个向量的夹角的正 弦，根据所给的公式得到结果. 【解答】 解：a=(3,4),b=(4,-3),=b1=5, 第2页，共6页 co80=6 3x4+4x(-3)=0, 卧 25 又0为向量a与的夹角， 则sin0=1, ..b=asin 0-bcos0==5. 故选：C 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量=(1，x-1),b=(区，2)，则( A.a≠ B.若1d,则x= C.若6，则x=2 D.a-6≥V2 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量平行和垂直的判断，属于基础题. 根据题意结合向量的坐标运算依次分析选项是否正确，综合可得答案， 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于A,向量=0，x-,6=c,2),若五-i,则有《二}=2无解。 则必有≠6，A正确： 对于B,若1币，则.币=x+2(x-1)=0,解可得x=B正确： 对于C,若/心，则有2=x(x-1),解可得x=2或-1，C错误： 对于D,-6=(1-x,x-3),则后-=2区-2)2+2≥2，必有同-6≥V2,D正 确； 故选：ABD. 6.已知=(3，-1)，币=(-1,2)，=(1，入)，则() A.=10 B.若心，则入- 第3页，共6页 C.若1，则入=-2 D.在上的投影向量的坐标为() 【答案】BD 【解析】【分析】 本题考查向量平行（共线）关系的坐标表示，向量垂直关系的坐标表示，投影向量，向量模 的坐标表示，属于基础题。 根据向量模的坐标表示即可判断A;根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断BC:根据 投影向量的计算公式即可判断D. 【解答】 解：对A,=√32+(-1)2=V10,故A错误： 对B,若心，则3入-1，解得入=-子故B正确； 对C,若1d则-1+2入=0，解得入=号，故C错误： 对D,6在a上的投影向至的坐标为号高=若(，-)=(-》，改D止确， 故选BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在平行四边形ABCD中，AC=(2,1),BD=(2,-3),则coS∠CAD= 【答案】 【解析】【分析】 本题考查了向量的夹角及向量的坐标运算，属于基础题. 先求得A下，然后利用向量的夹角公式求得正确答案， 【解答】 解：依题意 AC=AB+AD=(2,1) BD=AD-AB=(2,-3) 所以2AD=(4,-2),AD=(2,-1) 第4页，共6页 则c08∠CAD=cos<AD,ACAD-AC=4-1 3 ADACIV5x√万5 故答案为， 8.在矩形ABCD中，AB=6,AD=2√3，点M、N满足AM=2MB,DN=NC,AE= AN+AM,则AM·A正=一· 【答案】14 【解析】【分析】 本题主要考查向量的数量积公式，掌握建系法是解本题的关键，属于基础题， 由题意可建立平面直角坐标系，分别写出对应点的坐标，再结合向量的数量积公式，即 可求解. 【解答】 解：以A为坐标原点建立直角坐标系，AM=(4,0),A=(2,2v3), 可得A正=(，)， 所以AM·AE=14. 个y D M B 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在平面直角坐标系中，已知向量a=(1,1),b=(2,1) (1)求3-： (2)若m=2-6,五=+6，m1五，求实数t的值. 【答案】解：(1)由a=(1,1),币=(2,1)得3-6=(1,2)，|3-=√12+2=V5. (2)m=2-=(0,1),五=+=(t+2,t+1),由m1得t+1=0,解得t=-1. 第5页，共6页 【解析】本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，向量模的坐标表示，向量垂直的 性质，两个向量的数量积公式，属于基础题， (1)先计算出3-6，再通过坐标运算求模长： (2)先表示出m,五，再由m1解出t. 10.(本小题14分) 已知向量a=(1,2),6=(-2,3). (1)设=μa-5b,若1c,求实数μ的值； (2)若λa+与2+λb共线，求实数入的值. 【答案】解：(1)a1c,=μa-5b, ac=a.(μa-5b=μa2-5a.6=0, 又：a=(1,2),b=(-2,3), a=12+22=5,a.6=1×(-2)+2×3=4, 即5μ-20=0，μ=4 (2):入+与2+入共线，且与式不共线， 存在k∈R,使得入a+币=k(2+入D, 「入=2k 1=k 故入=2×二，即入2=2， 从而入=±V2. 【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的共线关系、向量垂直与数量积的关系，属于 基础题。 (1)利用a1,可得（μa-5b)=0,即可求解： (2)根据向量平行的坐标关系即可得出关于入的方程，解出入即可. 第6页，共6页 高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.3 向量数量积的坐标运算限时作业七 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则(     ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若与垂直，则实数(     ) A. B. C. D. 3.已知向量，，则与的夹角是(     ) A. B. C. D. 4.设向量与的夹角为，定义，已知，，则(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则(     ) A. B. 若，则 C. 若，则 D. 6.已知，，，则(     ) A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在平行四边形中，，则          ． 8.在矩形中，，，点、满足，，，则           ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在平面直角坐标系中，已知向量，． 求； 若，，，求实数的值． 10.本小题分 已知向量，． 设，若，求实数的值 若与共线，求实数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章) 8.1.3向量数量积的坐标运算限时作业七 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知向量=(0,1)，6=(2，x),若都1⑥-4，则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.己知向量a=(1,2),b=(-4,m),若a与垂直，则实数m=() A.2 B.-2 C.-8 D.8 3.己知向量=(1，√3)，6=(-2,23)，则a与6的夹角是() A.日 B. C. D. 4.设向量a与6的夹角为0，定义a⊕6=sin0-bcos0,已知=(3,4)，下=(4，-3)，则a⊕ 6() A.(3,4) B.(-4,3) C.5 D.25 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量a=(1,x-1),b=(x,2),则() A.a≠b B.若16，则x=月 C.若6，则x=2 D.-b≥√2 第1页，共3页 6.已知=(3，-1)，6=(-1,2)，c=(1,),则() A.=10 B.若心，则入=-} C.若61，则入=-2 D.在上的投影向量的坐标为(-，) 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.在平行四边形ABCD中，AC=(2,1),BD=(2,-3),则cosCAD= 8.在矩形ABCD中，AB=6,AD=2V3,点M、N满足AM=2ME,D示=NC,A正= AN+AM,则AN·A正=一· 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在平面直角坐标系中，已知向量a=(1,1),b=(2,1) (1)求3a- (2)若而=2-6，五=+6，m1五求实数t的值. 第2页，共3页 10.(本小题14分) 已知向量冠=(1,2)，6=(-2,3) (1)设=a-5b,若1c,求实数μ的值， (2)若a+与2+共线，求实数的值. 第3页，共3页