8.1.2 向量数量积的运算律 期末复习限时作业四-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦向量数量积运算律，通过选择、填空、解答题梯度设计，系统覆盖夹角计算、性质应用及几何情境，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|4题|考查夹角计算、三角形应用、充要条件判断|从数量积定义出发，经运算律推导，应用于几何问题，形成概念-性质-应用逻辑链| |多选|2题|涉及数量积性质及命题真假判断| |填空|2题|垂直条件应用求参数| |解答|2题|综合夹角计算与三角形向量表示|

高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.2 向量数量积的运算律限时作业四 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，且，则向量与的夹角为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 直接利用向量的数量积求解向量的夹角即可． 本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力． 【解答】 解：，，且， 可得， 因为， 所以向量与的夹角为：． 故选：． 2.在中，，，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了向量的数量积，属于基础题． 根据向量的数量积的定义计算．注意向量的夹角． 【解答】 解：． 故选： 3.已知向量为非零向量，则“”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查必要条件、充分条件的判断，向量的数量积，属于基础题． 根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法结合向量的数量积，即可求出结果． 【解答】 解：由，得到， 所以当时，有，充分性成立； 当时，成立，但得不出，必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 4.已知向量，满足，，，则，(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查平面向量的模长、数量积、夹角问题，基础题． 根据平面向量的夹角定义可知，由，，可得的值，由，，，可得的值，从而可得答案． 【解答】 解：因为，，， 所以， ，，，， 所以， 因为， 所以， 故选D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，，且两向量的夹角为，则下列说法正确的是(     ) A. B. C. D. 与垂直 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查了向量数量积，向量的模，向量垂直的判断，属于基础题． 直接以向量的数量积公式判断，利用向量模公式判断，求出可判断． 【解答】 解：对于：因为，，且两向量的夹角为，所以故A错误； 对于：故B错误； 对于：故C正确； 对于：因为，所以与垂直故D正确． 故选CD． 6.已知，，是三个向量，在下列命题中，假命题是(     ) A. B. C. D. 若，则 【答案】CD  【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，命题的真假的判断，是中档题．利用向量的数量积的运算法则判断、；数量积的性质判断；数量积的几何意义判断．解：满足向量数量积的交换律，所以A正确； ，满足向量数量积的乘法的分配律，所以B正确； 表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以不正确； 若，说明，在投影相同，所以与不一定相等，所以不正确； 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知单位向量的夹角为，与垂直，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查平面向量垂直关系的应用，考查平面向量数量积的计算，属于基础题． 由条件可得，继而可求出的值． 解：由单位向量的夹角为，与垂直， 所以，则． 故答案为：． 8.已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平面向量的夹角公式，属于基础题． 根据向量的数量积求解夹角的余弦值． 【解答】 解：设与的夹角为，因为，，，所以， 所以与的夹角的余弦值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，，求： 与的夹角； 与的夹角的余弦值． 【答案】解：， ． 又，， 解得． ， ， 向量夹角的范围为， 与的夹角为； 由可得 ， ． ． 与的夹角的余弦值为．  【解析】本题考查了向量的数量积运算法则和性质、向量的模，向量的夹角公式，属于基础题． 利用数量积运算法则和性质、向量夹角公式即可得出； 利用数量积的性质和夹角公式即可得出． 10.本小题分 在中，，，设，． 用，分别表示， 若，，，求． 【答案】解：由题意可得： ； ； 由可得： ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.2 向量数量积的运算律限时作业四 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，且，则向量与的夹角为(     ) A. B. C. D. 2.在中，，，，则(     ) A. B. C. D. 3.已知向量为非零向量，则“”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知向量，满足，，，则，(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，，且两向量的夹角为，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 与垂直 6.已知，，是三个向量，在下列命题中，假命题是(     ) A. B. C. D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知单位向量的夹角为，与垂直，则           ． 8.已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为           ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，，求： 与的夹角； 与的夹角的余弦值． 10.本小题分 在中，，，设，． 用，分别表示， 若，，，求． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.2向量数量积的运算律限时作业四 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.己知=5,61=4，且a.6-10,则向量与的夹角为( A月 B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 直接利用向量的数量积求解向量的夹角即可. 本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力. 【解答】 解：=5，b=4,且a.6=-10, 可得co<6-器8号 因为<a,b>E[0,], 所以向量a与的夹角为： 故选：C 2.在△ABC中，∠B=60°，AB=6,BC=5,则AB.BC( A.-15V3 B.-30 C.-15 D.15 第1页，共6页 【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查了向量的数量积，属于基础题. 根据向量的数量积的定义计算.注意向量的夹角， 【解答】 解：AE.BC=ABIBClcos(180°-60)=6×5×(-)=-15. 故选：C 3.已知向量a,b,c为非零向量，则6=是分.b=a·的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查必要条件、充分条件的判断，向量的数量积，属于基础题 根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法结合向量的数量积，即可求出结果， 【解答】 解：由a.b=a.c,得到a.⑥-⊙=0， 所以当6=时，有.=ac,充分性成立： 当a1(b-⊙时，.i=a成立，但得不出=c,必要性不成立； 所以6=是.=a.的充分不必要条件 故选：A. 4.已知向量，b满足=5,6=6,6=-6，则cos<a,+() A一甜 B-号 c号 D号 【答案】D 【解析】【分析】 第2页，共6页 本题主要考查平面向量的模长、数量积、夹角问题，基础题. 根据平面向量的夹角定义可知c0s低五+可-6翻， 卧+ 由=5，a6=-6,可得a(+)的 值，由=5,6=-6，=6，可得+的值，从而可得答案. 【解答】 解：因为(+)=+6，=5，a6=-6, 所以a(a+b)=19, :+=a+)=V+26+,=5,6-6,=6, 所以+=7， 因为cos(+刊-G脚， 卧+ 所以c0sa+可=品-号 故选D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知=1，=2，且两向量的夹角为5，则下列说法正确的是() A.a.b=√3 B.=7 C.2+l=2v3 D.与a-b垂直 【答案】CD 【解析】【分析】 本题考查了向量数量积，向量的模，向量垂直的判断，属于基础题. 直接以向量的数量积公式判断A,利用向量模公式判断BC,求出.-b可判断D. 【解答】 解：对于A:因为=1，=2，且两向量的夹角为经所以a.币=×6×cos=1× 2×号=1.故A错误： 对于B:-可=a-=√2-2a币+D=V1P-2+4=V了故B错误： 第3页，共6页 对于C:2+可=(+D2=√+4.6+b=√4+4+4=2V3.故C正确： 对于D:因为.信-b=-.6=1-1=0,所以a与-垂直.故D正确. 故选CD 6.已知，6，是三个向量，在下列命题中，假命题是( A.a.b=b.a B.a.⑥+⊙=a,b+a·c C.(a.b).c=.(b.c) D.若.=a.,则=d 【答案】CD 【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，命题的真假的判断，是中档题.利用 向量的数量积的运算法则判断A、B;数量积的性质判断C:数量积的几何意义判断 D.解：a.=·a满足向量数量积的交换律，所以A正确： a.(石+=a.b+a.C,满足向量数量积的乘法的分配律，所以B正确： .b)·c表示与共线的向量，a.⑥·表示与共线的向量，所以C不正确： 若a.下=a.d,说明6，c在a投影相同，所以6与c不一定相等，所以D不正确： 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知单位向量冠，的夹角为45°，ka-6与垂直，则k=一· 【答案】9 【解析】【分析】 本题主要考查平面向量垂直关系的应用，考查平面向量数量积的计算，属于基础题， 由条件可得ka-b·a=0,继而可求出k的值. 第4页，共6页 解：由单位向量a,b的夹角为45°，ka-b与垂直， 所以ka-可=k2-6=k-9-0,则k=9 故答案为： 8.己知，b满足=1，=3，.下=2，则与的夹角的余弦值为 【答案】 【解析】【分析】 本题考查了平面向量的夹角公式，属于基础题. 根据向量的数量积求解夹角的余弦值. 【解答】 解：设a与的夹角为0，因为间=1，-3，a币=2，所以cos0=5=2=3 13一3 所以a与的夹角的余弦值为 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 己知=1,6=-币+6=号求： (1)a与6的夹角： (2后-与+的夹角的余弦值. 【答案】解：(1)-而+D= 4-6= 又同=1,12-= 解得6-9 :a6=号 co8<君6 第5页，共6页 向量夹角的范围为0，π]， “与的夹角为好 (2)由(1)可得a-=V+b-2a.6 =、12+(9-2x9 a+=√+2+2a.6 =、1+(竖>+2x .cos <a-b,+b> -a-6a+6 _V5 a-6a+6 x Γ5 i-与+的夹角的余弦值为5 【解析】本题考查了向量的数量积运算法则和性质、向量的模，向量的夹角公式，属于 基础题. (1)利用数量积运算法则和性质、向量夹角公式即可得出： (2)利用数量积的性质和夹角公式即可得出. 10.(本小题14分) 在△ABC中，AM=MC,BN=2NC,设AB=a,AC= (I)用，b分别表示AN,B; (②)若AB=2,AC=10,cos∠BAC=O求AN.Bi. 【答案】解：(1)由题意可得： AN=AB+BN=+BC=+(AC-AB)=+-=+b; BM=BA+AM=-+AC--a+6; (2)油(1)可得：AN.BM=(+D·(-+6 -+号-五6-×4+×100-×2×10×。-31. 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第6页，共6页高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章) 8.1.2向量数量积的运算律限时作业四 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知=5，=4，且a.下=-10，则向量与的夹角为() A. B. C. D. 2.在△ABC中，∠B=60°，AB=6,BC=5,则AB.BC() A.-15V3 B.-30 C.-15 D.15 3.已知向量a,b,c为非零向量，则“6=”是“.b=a.c”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量，6满足园=5,6=6,6=-6，则cos<a,a+b() A B一号 c D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知=1,6=2，且两向量的夹角为5，则下列说法正确的是() A.a.=√3 B.-=V7 C.|2+=23 D.与-b垂直 第1页，共3页 6.已知，b,c是三个向量，在下列命题中，假命题是() A.a.b=b. B.a.(b+=a.b+a c..b.c=a.⑥. D.若a.b=a.d,则b=d 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka-b与垂直，则k= 8.已知，满足同=1，⑥=3，.下=2，则与式的夹角的余弦值为 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 己知=1,6=a-b(+6=,求： (1a与6的夹角： (2)a-b与a+的夹角的余弦值. 第2页，共3页 10.(本小题14分) 在△ABC中，AM=MC,BN=2NC,设AB=a,AC=b. (I)用a,b分别表示AN,BM; (2)若AB=2,AC=10,cos∠BAC=0求AN.BN. 第3页，共3页