湖南长沙市长郡中学2026届高三下学期考前模拟测试二数学试题

高三数学模拟卷二 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 3． A． B． C． D． 4．函数在区间上的图象大致为 A． B． C． D． 5．已知，且，则下列不等式不一定成立的是 A． B． C． D． 6．已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为 A．24 B．12 C．10 D．5 7．在中，，，为边上一点，且，，则边长为 A． B． C． D．4 8．已知椭圆：与抛物线：交于，两点，点为椭圆上顶点，直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的是 A．两个变量线性相关程度越强，则相关系数的绝对值就越接近1 B．残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 C．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，作零假设：喜欢参加体育活动与性别无关 D．在列联表中，若每个数据，，，均变成原来的2倍，则不变（，其中） 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱上（含端点）的动点，为棱的中点，则下列结论正确的是 A．若为的中点，则直线与直线是异面直线 B．若为的中点，点到直线的距离为 C．存在点，使得 D．存在点，使得平面 11．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有 A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角大小为__________． 13．如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点位于第一象限，点，，为正三角形，则__________． 14．已知为自然对数的底数，不等式对恒成立，则实数的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 设为数列的前项和，且， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的最大值． 16．（本小题满分15分） 函数，． （1）时，求在处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点为直线上一点． （1）证明：； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）若平面平面，平面平面，当直线与平面所成角的余弦值为时，求的长． 18．（本小题满分17分） 人工智能（AI）离不开光，光电子因AI重生——AI是需求发动机，光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）． （2）现采取分层（按次品与合格品分层）随机抽样的方式，从100件样品中共抽取10件，再随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望． （3）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程． （2）斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学模拟卷二参考答案 题号 1 2 3 45 67 8 9 10 11 答案 D B A 0 B A B AC BC BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12gR.2 5 14.e 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【苏1D由s=a-,斜5-a-r≥2， 3 33 所以a,=5.-S-0-20(n22小，a。=3an≥2， 33 当n=1时，a=S=a-子放4=3.所以数列(a,}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a,=3”.6分 (2)== a3,2=n+）n2n+3n+3n+ 3+13 30* 二，8分 当n=1时，-2n3+3n2+3n+1=5>0,，故b,>b, 当n=2时，-2n3+3n2+3n+1=3>0,故b>b2,10分 当n≥3时，-2n3+3n2+3n+1≤-6n2+3n2+3n+1=-3n2+3n+1<0，故n≥3时，b1<bn, 33 故么<b,<b,b,>b,>6,>…,所以数列b,}的最大值为么=子=1.1B分 16.【解折11)a=1时，f=xhx--,0=- 3 又f"(x=1nx-x,∫()=-1，所以f()在x=1处的切线方程为y=-(x-刂- 3 1 即y=-x25分 (2)f'(x)=a(1+Inx)-a-x=alnx-x, 由题可知f'(x)=anx-x在(0，+o有两个变号零点，7分 由anx-x=0,得=hx,令g(x=nx,g(x=-hx,9分 x2 当xe(0,e)时，g'（x)>0,gx在(0，e上单调递增， 当x∈e,+oo)时，g'x<0,g(x在(e,+o上单调递减，11分 又x→0,8（→-0，x→+m,8x)→0，所以gm=g(心=，13分 由f(x)有两个极值点，则上0， 故a∈e,+o.15分 a e 17.【解析】(1)在正方形ABCD中，AD∥BC, 因为BC丈平面PAD,ADC平面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又因为平面PAD与平面PBC的交线为直线I,且BCC平面PBC, 所以1∥BC.4分 (2)设O是OO,的中点，设圆柱的底面半径为， 因为圆柱OO的轴截面是边长为2的正方形， 所以O0=O0,=1,OA=OB=O,C=OD=0,P=1, 显然OA=OB=OC=OD=OP=V12+12=V2, 所以点O是四棱锥P-ABCD外接球的球心， 所以四棱锥P-ABCD外接球的表面积为4π(2=8π.9分 (3)在正方形ABCD中，AD⊥DC, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以CD⊥平面PAD,而PDc平面PAD, 所以CD⊥PD,同理可证AD⊥PD, 以D为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， B P(0,0,2),BV2,2,0,C0V2,0),D(0,0,0),(a,0,2 设平面QCD的法向量为m=（x,y,z), D0=(a,0,2),DC=(0,2,0,PB=(2,2,-2 所以有 m-D0=ax+2z=0,所以y=0,令z=a,所以x=-2. m.DC=2y=0, 即m=-2,0,a, 因为直线PB与平面QCD所成角的余弦信为√ 3, 3 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为 3 -2W2-2a 所以有cos<m,PB> mPB√6 .V6 m.PB 3 V2+2+4×V4+a23 →a2-6V2a+10=0,→a=5V2,或a=√2， 当a=5V2时，PQ=5V2, 当a=V2时，PQ=V2, 所以PQ的长为5V2或V2.15分 18.【解析】(1)记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到一件不合格品， 则P(AB) CC-32 4分 99 (2)由题中表格可知合格品（指标大于或等于76）的频率为0.8，次品的频率为0.2. 从100件样品中按分层随机抽样的方式抽取10件，则这10件样品中合格品件数为10×0.8=8，次品的件 数为10×0.2=2，随机选出3件，这3件中次品X的可能取值为0,1,2， P川x=2=1 且PX=0=S-,Px=-c- C。15 C。15 所以X的分布列如下： X 0 2 P 75 7 1 则E(X)=1×7+2 15 13.10分 155 则E(X)=50,D(X)=25, 100 又p(X=k)=Cim2 =P(X=100-k), 所以P0≤X≤25)=2P0≤X≤25或75≤X≤10)=PX-50≥25， 由切比雪夫不等式可知，PX-50≥25)≤25=25 251 所以P0≤X≤25≤017分 19.【解析】(1)由条件，2b=2,所以b=1, 又点P(2,1)在双曲线C上，所以4-1=1，解得a=V2, 0 酸双曲线C的标准方程为一广=1,4分 (2)①设点Ax,y),Bx2,2),设直线AB的方程为y=-x+m, 因为点P不在直线AB上，则m-2≠1，可得m≠3， y=-x+m, 联立 x2 2y2=1, 可得x2-4mx+2m2+1=0, 则△=16m2-8m2+1=8m2-1>0,解得m<-1或m>1, 5=2m2+1小>0，所以m>1且m≠3. x+x2=4m>0, 由题意可得 所以k+k,=片+凸=当+m-1+2名+m-1-m-3-(x-2到+2[m-3-(3-2] x-2“x2-2x-2 x2-2 x1-2 x2-2 =m-3+2m-3引-1-元=m-32x+5-2-22-1-元-m-3[4m+(入-x-21+2] x-2x2-2 xx2-2(x1+x2)+4 2(m2+1-8m+4 1-A-m-3[4m+2-21+-1-A=0, 2(m-1(m-3) 即4-21+元)]m+(2-1)x1=0,∴.2=1.10分 ②设△PAB的外接圆方程为x2+y2+Sx+y+n=0,代入坐标， 5+2s+t+n=0, 则x2+2+5x+,+n=0, x3+y3+sx2+y2+n=0, 将y=-x+m代入x2+y2+Sx+y+n=0, 可得x+(m-x)2+sx,+t(m-x)+n=0, 即2x2+(s-t-2m）x1+m2+tm+n=0, 同理2x号+(s-t-2m)x2+m2+tm+n=0, 所以x,x2为关于x的方程2x2+(s-t-2m)x+m2+tm+n=0的两根， 又因为x,x为关于x的方程x2-4mx+2m2+1=0的两根， 所以方程2x2+(s-t-2mx+m2+tm+n=0与方程x2-4mx+2m2+1=0为同解方程， s-t-2m=-8m, 所以m2+tm+n=4m2+l,解得 s=-3m-3, t=3m-3, 5+2s+t+n=0, 1-3-3m 易知点M 即点M 3m+33-3m = 2 2,2 3m-1=-1, 2-3m+31-3m 2 所以直线MP的方程为y-1=-（x-2),即y=-x+3, 当PQ⊥MP时，直线PQ的方程为y-1=x-2,即y=x-1, 直线y=x-1与x轴的交点为(1,0)，不妨取点Q(1,0),此时PQ⊥MP, 则M-MP=P=(2-1)2+(1-0)2=2, 故在x轴上存在定点Q1,0),使得MQ-MP为定值2.17分