湖南长沙市长郡中学2026届高三下学期考前模拟测试二数学试题

高三数学模拟卷二 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 过 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={xlog2(x-1)<2},B={x∈N|一1<x<6},则A∩B= A.{0,1,2,3,4,5}B.{1,2,3,4》 C.(1,5) D.{2,3,4} 2.命题“Vx∈[3，+∞)，x+16>8”的否定为 A.3x4[3,+oo),x+168 B.3x∈[3，十oo),x+16≤8 C.ヨxg[3,+o∞)，x+16≤8 D.3x∈[3，十o∞)，x+16<8 2 3.1-C0040 A品 c D.3 2 4.函数f(x)=(e-e)osx在区间[一受，]上的图象大致为 蚊 5.已知a>b>0,且a十b=1,则下列不等式不一定成立的是 Aa2b日 Bab君 C.√a+√i<2 D+6>4 6.已知圆)：(x十2)2+y2=169,过点P(1,4)的直线与圆交于A,B两点，则弦AB的最小值为 A.24 B.12 C.10 D.5 数学试卷(N10)第1页（共5页） 7.在△ABC中，AB=4,∠BAC=120°，D为BC边上一点，且∠DAC=90°，DA=2,则边AC 长为 A.√3-1 B.√3+1 C.3+2 D.4 8,已知椭圆C:名+1@>6>0)与抛物线C2:y=2z(p>0)交于M,N两点，点A为 上顶点，直线MA,NA的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 A. B26 3 5 C5 5 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是 A.两个变量线性相关程度越强，则相关系数r的绝对值就越接近1 B.残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 C.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，作零假设H:喜欢参加体育活动与性 别无关 D.在2X2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍，则x不变（x2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d①其中n=a十b十+c十d) 10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD,中，M为棱C1D D M 上（含端点）的动点，N为棱C1C的中点，则下列结论正确的是 A A.若M为C1D,的中点，则直线AM与直线BN是异面直线 B若M为CD,的中点，点B到直线AM的距离为4y2 3 C.存在点M,使得DNLAM D.存在点M,使得AM∥平面A1BN 11.设复数z在复平面内对应的点为Z,任意复数之都可以表示为三角形式r(cos0+isi).由复 数的三角形式可得出，若x1=r(cos0十isin0),2=r2(cos02十isin2),其在复平面内对应 的点为Z1,Z2,1z2=n(cos0+isin0)·r2(cos02+isin02)=r1r2[cos(0+2)+isin(0+ 02)门.其几何意义是把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转角02（如果02<0，就要把OZ绕点O 按顺时针方向旋转角02)，再把它的模变为原来的2倍.根据上面知识，下列选项中正确 的有 A当=1,0=平，且n为偶数时，复数为纯虚数 数学试卷(N10)第2页（共5页） B若=+，则=合 C复平面中，点A2,1D绕原点0逆时针旋转得到A(1-号，1+受） D.复平面中，将直线l:2x十y十1=0绕O点顺时针旋转T得到直线1：3x一y十V2=0 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知平面向量a,b满足a=4,b=√3，且(a一2b)⊥b,则a与b的夹角大小为 13.如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上，点C位于第 一象限，点B(号，)，∠A0C=-a,△B0C为正三角形，则2sin号cos号+ 2v3c0s2%-V3= M,可知e为白然对数的底数，不等式心十a≥0对Yzx∈R恒成立，则实数a的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 设S,为数列a)的前n项和，且S=多a,-1n∈N), (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列么，}满足6，一公，求数列么，的最大值 数学试卷(N10)第3页（共5页） 16.(本小题满分15分) 函数fx)=axlnx-ax--,aeR (1)a=1时，求f(x)在x=1处的切线方程； (2)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围. 17.（本小题满分15分) 如图，圆柱OO2的轴截面是边长为2的正方形，P为⊙O2上一点，正方形ABCD内接于 ⊙O,设平面PAD与平面PBC的交线为直线l,点Q为直线l上一点 (1)证明：l∥BC; (2)求四棱锥P-ABCD外接球的表面积； (3)若平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD,当直线PB与平面QCD所成角的余 弦值为号时，求PQ的长 03 B 数学试卷(N10)第4页（共5页） 18.（本小题满分17分) 人工智能(AI)离不开光，光电子因AI重生一AI是需求发动机，光学光电子是AI的算力底 座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就.某市高新技术开发区，一家光学元件生 产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次 品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [20,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100] 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）. (2)现采取分层（按次品与合格品分层）随机抽样的方式，从100件样品中共抽取10件，再随 机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数X的分布列与数学期望E(X). (3)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望 E(X)=,方差D(X)=,则对任意正数e,均有P(X一≥e)≤g成立.若X~ B100,2),证明：P(0≤X≤25)≤0 19.（本小题满分17分) 已知双面线C三若=1(。0，b>0)的左右焦点分别为F,,虚轴长为2，且点P2,1在 双曲线C上， (1)求双曲线C的方程. (2)斜率为一1的直线与双曲线C的右支交于A,B两点（异于点P) ①若直线AP,BP的斜率分别记为k1,k2,1十λk2=0,求入的值. ②若△PAB的外接圆圆心为M,试问在x轴上是否存在定点Q使MQ2一|MP|2为定 值？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由， 数学试卷(N10)第5页（共5页）高三数学模拟卷二参考答案 题号 1 3 5 6 8 9 10 11 答案 D B A D B B C AC BC BCD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 2B【解标】易知◆题Vr[,十∞)，+8”的否定为3x∈[3，十o∞)x+≤8”，递B x 8A【解折1-号+号号+9-多=1-广-动 4.D【解析】已知f(x)=(e-e')cosx, f(-x)=(e-:-e')cos(-x)=(e--e')cos x=-(e'-e)cos x=-f(x), 因此f(x)是奇函数，图象关于原，点对称，排除关于y轴对称的选项A,B; 当xe(0,2）时，e>e,故e-e>0:同时cosx>0,因此f()>0, 即x∈(0，)时，f(x)图象在x轴上方，选项D符合该特征，选项C不符合，故选D. 5.B【懈析】由>b>0a十6=1，得0<<号<a<1,对于A,因为0a-a,所以。b>日A正确：对于B,取a= 意=号则b>含=7B储误对子Cw@+6=十什2va<1+a+巧=2，C玉确：对千D+号 a -(日+号)a十6)=2+台+号>2+2√会·号=4因为0<K号<a<1,截不等式无法取等)，D正确 a 6.A【解析】AB⊥OP时，弦AB最小，此时O到AB的距离为5，故|AB|mm=2XV132一5=24. 7.B【解析】由等面积法可得SA=S△D十S△c, 即2×41AC1sin120=2×4X2Xsin30+2×21AC, 即V3|AC=2+|ACl,故|AC|=V3+1. 8.C【解析】由椭圆与抛物线的对称性可知，M,N两，点关于x轴对称， 设M,则N(,一，由题意知A(0,),由m·ku=告，得 km·ku=Y,二b.二为-b-二f+E=4 5 因为点M在椭圆C上，所以兰十 以+幕-1，解得D】 b2 一+B=4, 所以y)格=等所以描国C的离心率-5 a25 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共8分） 9.AC【解析】选项A:两个变量线性相关程度越强，则相关系数r的绝对值就越接近1，故A正确； 选项B:残差图中，残差，点所在的水平带状区域越宽，说明残差波动越大，即对数据的预测误差越大，故B错误； 选项C:由独立性检验，知零假设正确，故C正确； 选项D:若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍， 2n (4ad-4bc)2 2X42×n(ad-bc)2 则X'-2a+2b2+202aF20(26+2dD-16(a千b)(c+0a+c)6+d0=2t, 则X改变，故D错误. 10.BC【解析】对于A项，若M为C,D,的中点，连接AM,AB,易得MN∥A1B,故M,N,A,B四点共面，故A项 错误； 对于B项，在对角面ABCD,中，AD,=22,AM=3,DM=1,利用等面积法可求得D,到直线AM的距离为2 31 又，点B到直线AM的距离为D1到直线AM的距离的两倍，故B正确； 对于C项，AM在平面DCC1D,上的射影为DM,当M为C1D,中点时，DN⊥DM,由三垂线定理可知D,N⊥AM, 故C正确； 数学参考答案(N10)一1 对于D项，如图过，点A作平面A,BN的平行平面AEF,E,F分别为棱DD1,DC的中点，显然直线C,D,与平面 AEF的交点不在棱C,D1上，故D错误. D. B 11.BCD【解析】由复数的乘法可推出之”=”(cos0十isin0)"="(cosn0+isin n0). 选项A:当r=1,0=开时，易得g=(os圣+sin晋）”=cos项+isin军， 当n=4时，z=cosr十isinπ=一1，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数之”不一定为纯虚数，所以选项A错误； 这装以（传+到”-(@音+如}-2整-m2驾-m号+如当-一言-停我B项： 3 3 选项C:复平面中点AW2,1)对应复数x=2十i,根据复数三角形式乘法的几何意义，逆时针旋转于，对应复数(W2 +iD(os+血)=+（受+号到=(1-号）+(1+)i.故A(1-竖，1+)，选项C正确： 选项D:设直线1：2x十y十1=0上任一点P,(0%),点P。旋转后得P(x,y),点P。对应复数%=十，旋转后 点Px》对应复数=x+i=(红+%[cos(-）+in(-圣)]-(+D(竖-竖)-2“2》+ 2(一2i, 2 x2 2(x-), 故 故 将上式代入2x十%十1=0整理得3一y十V2=0,故选项D正确. -w-.-号+ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.否【解析】因为(a-2b)Lb,所以(a-2b)·b=0,即a·b-2=0,解得a·b=6. 故aab-日简4g停又a∈0所以a与b的夫病大小为各 13.2I【解析12sin号os号十2v3cos号-一5=sina+V3cosa=2sin(a+号）， 5 由园，加角a十骨对应的终边为0B,因为点B的坐标为（号，号） 且固0为单位圆，由三角函数定义得2sn(e+)=2·名=2可 r5 14心【解折]学-心十o≥0对V:6R恒成主， 当a<0时，x→十∞时，左边→一∞与条件矛盾，舍去； a>0,令c=1,t>02g-lnt计a≥0， a 即2-aln+≥0对>0恒成立， 令g40=2r-n+片p0=2-2-号-2-4d-2+a-, 2 t2 当t∈(0，a)时，p(t)<0,t∈(a,+∞)时，p(t)>0, 所以p(t)在(0，a)上单调递减；在(a,十∞)上单调递增， 故只需p(t)mn=p(a)=3a一dlna≥0→0<a≤e3,所以amx=e3. 数学参考答案(N10)-2 四、解答题（本大題共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析11)由S.=是a一1D,得S-,=是a1-1D≥2， 所以a.=S-51=.-多4≥2a=3am22, 当=1时a=S=号，-是，故a,=3,所以教列1a是以3为首项3为公比的学北数到， 所以an=3”.……6分 2a-=答4-么=”-等-2++3 3“+13 3+1 ,……8分 当n=1时，-2m3+3n2+3n十1=5>0，故b2>b1, 当n=2时，一2n3十3n2十3n十1=3>0，故b3>b2,…10分 当n≥3时，-2m3+3n2+3n十1≤-62+3n2+3n十1=-3m2+3n+1<0,故n≥3时，bn+1<bn, 33 故6<b2<b,b>b>b>…,所以数列{b,}的最大值为bg=3=1.…13分 16.【解析]1a=1时，f)=nx一x一之2，)=一， 又了(x)=l血x一2,1)=-1，所以fx)在x=1处的切线方程为=-(x-1)-是， 即y=一x一是 …5分 (2)f(xz)=a(1+Inx)-a-x=alnx-x, 由题可知f(x)=alnx一x在(0，十o∞)有两个变号零，点，… 7分 由alnx-x=0,得2=nx,令g)=血，g(x)=1-lnx, x2 ……………………9分 当x∈(0，e)时，g(.x)>0,g(x)在(0，e)上单调递增， 当x∈(e,十∞)时，g(x)<0,g(x)在(e,十o∞)上单调递减， 11分 又x0,g()--0,x十o,g)0,所以gx=gte)=, 13分 由fx)有两个极值点，则后∈(0，是），故aE(e,十oo.… …15分 17.【解析】(1)在正方形ABCD中，AD∥BC, 因为BC庄平面PAD,ADC平面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又因为平面PAD与平面PBC的交线为直线I,且BCC平面PBC, 所以礼/∥BC.…4分 (2)设O是OO2的中点，设圆柱的底面半径为r, 因为圆柱OO2的轴截面是边长为2的正方形， 所以O,O=O02=1,O1A=0B=OC=OD=O2P=1, 显然OA=OB=OC=OD=OP=√1？+1平=√2， 所以点O是四棱锥P-ABCD外接球的球心， 所以四棱锥P-ABCD外接球的表面积为4π·（√2)=8π.…9分 (3)在正方形ABCD中，AD⊥DC, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以CD⊥平面PAD,而PDC平面PAD, 所以CD⊥PD,同理可证AD⊥PD, 以D为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， P(0,0,2),B(22,0),C(0N2,0),D(0,0,0),Q(a,0,2), 设平面QCD的法向量为m=(x,y,z), DQ=(a,0,2),DC=(0,N2,0),PB=(W2,2,-2), 数学参考答案(N10)-3 m·DQ=ax+2z=0, 所以有 m.Dd=2y=0, 所以y=0,令之=a,所以x=一2， 即m=(一2,0，a), 因为直线PB与平面QCD所成角的余弦值为 03 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为√1-（ 3 0 所1m成1一高-停 -2√2-2a =v6 W2+2+4X√4+a3' →a2-6V2a+10=0,→a=5√2，或a=√2， 当a=5√2时，PQ=5√2， 当a=√2时，PQ=√2， 所以PQ的长为5√2或2. …15分 18.【解析】(1)记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到一件不合格品， 则P(AB)=C:C=32 C991 ………………4分 (2)由题中表格可知合格品（指标大于或等于76）的频率为0.8，次品的频率为0.2. 从100件样品中按分层随机抽样的方式抽取10件，则这10件样品中合格品件数为10×0.8=8，次品的件数为 10×0.2=2,随机选出3件，这3件中次品X的可能取值为0,1,2， 且PX=0)-是-是PX=1e-品 C8=5P(X=2)== =15 所以X的分布列如下： X 0 1 P 2 7 1 15 15 则E(X)=1×元+2X言是. …………………10分 (3)若X~B(10,2),则E(X)=50,DX)=25, 又PX-)-=C(2)=PX=10-. 所以P(0≤X≤25)=合P(0≤X≤25或75≤X≤10)=号P(1X-501≥25)， 由切比香夫不等式可知，P(1X-50≥25)≤察=宏 所以P0≤X≤25)≤动 17分 19.【解析】(1)由条件，2b=2,所以b=1, 又点P(2,1)在双曲线C上，所以是-1=1，解得a=2, 故双白线C的标准方程为写-y-1. 4分 (2)①设点A(x1,y),B(z2,y),设直线AB的方程为y=一x十m, 因为，点P不在直线AB上，则m一2≠1，可得m≠3， y=一x十m, 联立号二=1.可得r-mx+2m+1)=0 则△=16m2-8(m2+1)=8(m2-1)>0,解得m<-1或m>1, |x1+x2=4m>0, 由题意可得 所以m>1且m≠3， 1xx2=2(m2+1)>0, 数学参考答案(N10)-4 所以6+流=的号+二是+段1+2北二十mDm3--2+2m-3-(-2] x2-2x1-2 x2-2 x-2 x2-2 =2m-3+2m-32-1-A=m3)十22n-1-A=m-3)[4m+1)21+)]-1-入 x-2zx2-2 x122-2(x,十x2)十4 2(m2+1)-8m+4 =(m-3)[(4m+（A-1)2(1+A)]-1-A=0, 2(m一1)(m-3) 即[4-2(1十入)]十（入-1）x1=0,入=1.…10分 ②设△PAB的外接圆方程为x2十y+sx十ty十n=0,代入坐标， 5+2s+t+n=0, 则x好+y+s1+y+n=0, x号十y号+sx2十十n=0, 将y=一x十m代入x+y+s+ty十n=0, 可得x号+(m-x)2十sx1十t(m-x)+n=0, 即2x号+(s-t-2m)x1+(m2+tm十n)=0, 同理2x号+(s-t-2m)x2+（m2+tm十n)=0, 所以1，x2为关于x的方程2x2+(y-t-2m)x十(m2十tm十n)=0的两根， 又因为x1,x2为关于x的方程x2一4mx十2(m2十1)=0的两根， 所以方程2x2+(s一t-2m)x十(m2+tm十n)=0与方程x2一4mx十2(m2+1)=0为同解方程， (s-t-2m=-8m, 所以m十m十n=4(m+1),解得二-3m3, t=3m-3, (5+2s+t+n=0, 1-3-3m 易知点M(-言-台)，即点Mmn3,32),e 2 3m-1=-1, 2-3m+31-3m 2 所以直线MP的方程为y-1=-（x一2)，即y=-x十3， 当PQ⊥MP时，直线PQ的方程为y-1=x-2,即y=x-1, 直线y=x-1与x轴的交点为(1,0)，不妨取，点Q(1,0),此时PQLMP, 则|MQ2-|MP|2=PQ2=(2-1)2+(1-0)2=2, 故在x轴上存在定点Q(1,0),使得MQ2-MP2为定值2.… …17分 数学参考答案(N10)-5