湖北省黄冈中学2025-2026学年高三下学期5月考前模拟预测数学试卷

高三5月第三次模拟考试 数学试卷 本试卷共4页，19题．满分150分． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（ ） A．1 B． C．2 D． 3．一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A．35 B．36 C．39 D．40 4．已知，，，则向量，的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．3 C． D． 6．已知抛物线：的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知直线与圆：相交于，两点，且为正三角形，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D．或 8．已知，是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，，则（ ） A． B． C． D． 10．设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于0的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A． B．的离心率为 C．直线的斜率为 D．的渐近线方程为 11．如图，五面体中，，，，，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A． B．平面平面 C．平面截该几何体所得截面面积的最小值为 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中的系数为________． 13．若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________． 14．已知，，满足，则的值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设是等比数列的前项和，已知，． （1）求和； （2）若，求数列的前项和． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 17．（15分） 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分；若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 18．（17分） 已知椭圆:的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若不过，且直线，，的斜率成等差数列，求的取值范围； （3）若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在极小值，且极小值等于，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄冈中学2026届高三数学三模（参考答案） 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】BC 10．【答案】ABC 11．【答案】ABD 12．【答案】20 13．【答案】 14．【答案】 15．【详解】（1）设的公比为，由题可得，又，所以， 又，所以，，所以， ； 5分 （2）由（1）得， 所以 13分 16．【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 设，依题意得，，，，，所以，，则，所以，由已知，且，，平面，所以平面； 6分 （2）解：已知，由（1）可知平面， 又平面，所以，故即为平面与平面的夹角，设点的坐标为，则，设，则有，即，，， 设，则有，解得， 则点的坐标为，即，又点的坐标为，所以 ，所以， 又为锐角，所以，即平面与平面的夹角大小为． 15分 17．【详解】（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立， 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前3局甲胜2局输1局，第4局甲胜，概率为； 因此甲得3分的概率为； 4分 （2）若，设甲的总得分为随机变量，则的可能取值为0，1，2，3， ； 对应甲获胜，前4局甲胜2局输2局，第5局甲胜： ； 对应乙获胜，前4局乙胜2局输2局，第5局乙胜： ； 对应乙或获胜，； 的分布列为： 0 1 2 3 根据离散型随机变量的期望公式可得； 10分 （3）由定义， 代入得， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 因此，即的最大值为． 15分 18．【详解】（1）因为椭圆：的左焦点为，且经过点，故，所以，且，化简得，即， 整理得，解得（舍去负根），所以，所以椭圆C的标准方程为； 4分 （2）设：，因为不过，所以，设，， ，，化简得，所以，．因为直线，，的斜率成等差数列，所以，即，整理得，得，整理得，即，解得（舍去），所以，代入，得，解得或，故k的取值范围为； 10分 （3）设：，，解得， 故，， 所以，设，则：， 其斜率为，又，所以，因为在椭圆上，所以 ，解得，不妨令，则， 所以点到直线的距离， 所以面积，化简得 ，令， 则， 当且仅当时取等号，即面积的最大值为． 17分 19．【详解】（1），当时，， 由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，的最小值为 3分 （2）， 当时，则对任意的恒成立，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时，由可得或，由可得，所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，，此时在上单调递增； ③当时，即时，由可得或，由可得，此时在上单调递减，在、上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增 8分 （3）由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 11分 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中，即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，，设，即，所以，上述两个等式相除得，所以，所以，则，即，可得 ，由基本不等式可得，故原不等式得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $