精品解析：湖北省黄冈中学2025届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题

湖北省黄冈中学2025届高三第三次模拟考试 数学试卷 考试时间：2025年5月24日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位， ，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 在平面直角坐标系中，对应的点在第一象限 2. 已知等腰直角的斜边长为2，设，，，那么（ ） A. 6 B. C. 4 D. 3. 将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A. 底面半径为，高为的圆柱体 B. 底面直径为，高为的圆锥体 C. 半径为的球体 D. 各棱长均为的四面体 4. 设是关于的方程的两个不等实根，则过两点的直线与双曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（ ） A. 2 B. 10 C. 11 D. 56 6. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 个车位分别停放了、、、、、，辆不同的车，现将所有车开出后再按、、、、、的次序停入这个车位，则在车停入了车原来的位置的条件下，停放结束后恰有辆车停在原来位置上的概率是（   ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身.平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.则曲线C：（其中是自然对数的底数）的伴随曲线长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在本场考试中，多选题可能有2个或3个正确的选项.全部选对得6分，若有3个正确的选项则每选对一个得2分；若有2个正确的选项则每选对一个得3分；有选错或未选的得0分.若因完全不会做某道题目而必须随机选择项选项.设该题恰有3个正确选项的概率为，得分设为随机变量 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若随机选择一项，则为定值 B. 若，则随机选择两项比选择一项更优 C. 存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望 D. 存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望 10. 已知数列的前项和为，.则下列式子的值可以确定的是（    ） A. B. C. D. 11. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、4、6的直线，给出下列四个结论，其中正确的结论有（    ） A. 存在，使得是直角三角形 B. 存在，使得是等边三角形 C. 存在使得四面体存在一个顶点处的三条棱两两垂直 D. 存在使得四面体对棱互相垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 在三角形ABC中，，设，，则________. 14. 如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第行第列的数为，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列．则_________；若，则______． 1 … 6 20 … 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”. （1）请写出具体的样本空间； （2）请证明：但不满足两两独立； （3）连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率. 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且. （1）若，求； （2）求△ABC面积的最大值. 17. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.是边的中点，平面， . （1）在直线上是否存在一点，使得直线平面? （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . （1）求的方程； （2）证明：直线MH过定点. 19. 对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，满足：（1）对任意的，；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“压缩函数”.区间上所有“压缩函数”构成的集合记作. （1）判断下列函数是否属于集合？（请直接写出结论） ① ② （2）设，若，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，，均有.求M的最小值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省黄冈中学2025届高三第三次模拟考试 数学试卷 考试时间：2025年5月24日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位， ，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 在平面直角坐标系中，对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据复数的模的计算公式求解即可；对于B，虚数不能比较大小；对于C，根据复数的加法运算求解即可；对于D，根据复数的几何意义可知复数对应的点. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，虚数不能比较大小，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，在复平面内，对应的点为，位于第一象限，故D正确. 故选：D 2. 已知等腰直角的斜边长为2，设，，，那么（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加法运算和数量积的运算法则可得结果. 【详解】， 故. 故选：D. 3. 将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A. 底面半径为，高为的圆柱体 B. 底面直径为，高为的圆锥体 C. 半径为的球体 D. 各棱长均为的四面体 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间几何体的形状，结合选项即可求解. 【详解】对于A,由于正方体的棱长为，故圆柱底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5，圆柱的高最大不超过，故A错误，B正确， 正方体的内切球的半径为5，为正方体内最大的球，故C错误， D.正方体的面对角线的长度为，故棱长不超过.D错误， 故选：B 4. 设是关于的方程的两个不等实根，则过两点的直线与双曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数关系得到且必有一个为0，进而确定直线的斜率且过原点，结合双曲线渐近线方程即可得答案. 【详解】依题意，，且，则必有一个为0，另一个非0， 过两点的直线斜率为，且过原点， 又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线无交点， 故选：A 5. 已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（ ） A. 2 B. 10 C. 11 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】令 ，可得，再利用求解即可. 【详解】中，令 ， 即， 所以 ， 故选：A. 6. 已知函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域， ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值为，极大值为， 又易知，所以函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为 所以的最小值为， 故选：B 7. 个车位分别停放了、、、、、，辆不同的车，现将所有车开出后再按、、、、、的次序停入这个车位，则在车停入了车原来的位置的条件下，停放结束后恰有辆车停在原来位置上的概率是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】假设、、、、、原来的车位的编号分别为、、、、、，、、、、，辆车停放的方法数为，结合列举法求出车停入了车原来的位置所包含的基本事件数，结合古典概型的概率公式可求出所求事假的概率. 【详解】假设、、、、、原来的车位的编号分别为、、、、、， 依题意，车停入了车原来的位置的事件为样本空间， 、、、、，辆车停放的方法数为， 从、、、中任取一辆车停在原来位置上有种方法，不妨假设停在原处， 若停在处，则、、三阶错位，有种方法， 若不停在处，则等价于四阶错位，有种方法， 则停放结束后恰有辆车停在原来位置上的事件含有基本事件数为， 所以停放结束后恰有辆车停在原来位置上的概率为. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身.平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.则曲线C：（其中是自然对数的底数）的伴随曲线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出曲线和过原点的切线斜率，判断两切线的位置关系，再根据伴随曲线的定义（两条过原点切线之间单位圆弧）求出伴随曲线的长度.利用导数的几何意义求切线斜率，根据点斜式得到切线方程，再结合两直线斜率乘积判断垂直关系，最后根据弧长公式求伴随曲线长. 【详解】由题意，曲线C的伴随曲线为其两条过原点切线之间单位圆弧， 因为，所以该函数在单调递减，在单调递增. 过原点作的切线，设切点， 由，则切线的斜率为， 直线过，故，， 即，由函数与的图象在有且只有一个交点， 且当时满足方程，故方程有唯一解，则； 过原点作的切线，设切点，由，得切线的斜率，则切线过原点，则有，∴， 则，则有，则两切线垂直，故伴随曲线长为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在本场考试中，多选题可能有2个或3个正确的选项.全部选对得6分，若有3个正确的选项则每选对一个得2分；若有2个正确的选项则每选对一个得3分；有选错或未选的得0分.若因完全不会做某道题目而必须随机选择项选项.设该题恰有3个正确选项的概率为，得分设为随机变量 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若随机选择一项，则为定值 B. 若，则随机选择两项比选择一项更优 C. 存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望 D. 存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望 【答案】AB 【解析】 【分析】利用条件概率乘法公式来计算各种条件下的概率，并列出分布列，通过求期望来判断各选项即可. 【详解】对于，随机选一项， 若该题恰有3个正确选项的概率为，则该题恰有2个正确选项的概率为， 若得2分，则由条件概率乘法公式可得，， 若得3分，则由条件概率乘法公式可得，， 所以得0分，则， 则随机选一项，可得分布列为 0 2 3 P ，故A正确； 对于，随机选两项， 若该题恰有3个正确选项的概率为，则该题恰有2个正确选项的概率为， 若得4分，则由条件概率乘法公式可得，， 若得6分，则由条件概率乘法公式可得，， 所以得0分，则， 则随机选两项，可得分布列为 0 4 6 P 所以， 当时，由于， ，故B正确； 对于，随机选三项， 若该题恰有3个正确选项的概率为，则该题恰有2个正确选项的概率为， 若得6分，则由条件概率乘法公式可得，， 所以得0分，则， 则随机选三项，可得分布列为 0 6 P ， 由于， 所以，故C错误； 通过比较：，所以， 所以随机选择三项的得分期望小于随机选择两项的得分期望，故D错误. 故选：AB. 10. 已知数列的前项和为，.则下列式子的值可以确定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】推导出，，其中，的值不确定，然后利用分组求和法可判断AB选项；利用并项求和法可判断CD选项. 【详解】由题意得，，即，， 所以，，，， 可得，， 由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定， 其中，的值不确定. 对于A选项， ， 其中的值不确定，故选项A错误； 对于B选项， ， 每一组数都可以确定，故选项B正确； 对于D选项， ， 每一组数都可以确定，故选项D正确； 对于C选项，因为，故， 因为 ，每一组数都可以确定， 则为定值，故选项C正确. 故选：BCD. 11. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、4、6的直线，给出下列四个结论，其中正确的结论有（    ） A. 存在，使得是直角三角形 B. 存在，使得是等边三角形 C. 存在使得四面体存在一个顶点处的三条棱两两垂直 D. 存在使得四面体对棱互相垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，判断中的的变化情况，可判断AB的真假；分情况讨论，判断共垂点的位置，可判断C的真假；数形结合，让点在直线上运动起来，观察可判断D的真假. 【详解】如图： 当平面与直线（）垂直时，因为，， 由余弦定理可得：， 所以为钝角. 固定、的位置不动，令沿向上移动，移动过程中，逐渐变小. 故选项A ，B正确； 选项C，如图所示． 为方便书写，称三条两两垂直的棱的公共顶点为共垂点． （1）如图，假设是共垂点，不妨，显然 ，若 则 ，有；过作，连接. 可得 ，，舍. （2）同理可知，不存在四点（j＝1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体． 选项D，不妨，如图让在上移动，移动的过程中可以实现 ，由对称性可知. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分别赋值可得答案. 【详解】令，则， 令，则， 两式相减可得 则. 故答案为：. 13. 在三角形ABC中，，设，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式及面积比即可求解. 【详解】记 ，则， 因为，所以，所以 故答案为： 14. 如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第行第列的数为，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列．则_________；若，则______． 1 … 6 20 … 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】设出第一行数列的公差，以及各列的公比，用基本量表达，求得公差和公比，再求得关于，的表达关系，求解即可． 【详解】（1）设数表第一行构成等差数列的公差为，各列构成等比数列的公比均为． 因为数表中各项均为正数，因此． 由表中已知数据可得，解得． 所以，． （2）若，则，即为奇数． 因为，所以，． 实数对， 故答案为：10；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”. （1）请写出具体的样本空间； （2）请证明：但不满足两两独立； （3）连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率. 【答案】（1） ; （2）事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：.故事件所含的样本点为：，所以， 又，所以. 又事件所含的样本点为：，所以，又， 所以，所以事件不独立，即两两独立错误. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意直接写出样本空间； （2）分别求出事件对应的样本点，利用古典概型求概率，验证即可得解； （3）所求事件可分为三个互斥事件的和，分别根据独立事件同时发生的概率计算求和即可得解. 【小问1详解】 由题意，可得样本空间为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立， 记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则， 所以事件只发生1次的概率为 . 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若，且. （1）若，求； （2）求△ABC面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正弦公式计算求解； （2）应用已知条件化简再结合面积公式及基本不等式计算求解. 【小问1详解】 若 ，则，所以， 所以，即 ， 因为，所以 . 则 ， 解得； 【小问2详解】 ， 有， 故 有， 即， . 当且仅当 时等号成立 . 所以面积的最大值为. 17. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.是边的中点，平面， . （1）在直线上是否存在一点，使得直线平面? （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在； （2） 【解析】 【分析】（1）当点是的中点时,得到，即可求证； （2）先证平面，进而建系，求得直线方向向量及平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 存在点是的中点.理由如下： 当点是的中点时，是三角形的中位线， 所以又平面 所以面. 【小问2详解】 过作于D，若D与C不重合， 平面平面，且两平面交线为， 在平面内， 平面，在平面内， ，为平面内两条相交直线， ，又在平面内， ，矛盾. 故与重合，平面，在平面内，所以. 以为原点，过作的平行线为z轴，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 设平面的法向量为 ， 则，令 ，得. 设直线与平面所成的角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值是 18. 已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 . （1）求的方程； （2）证明：直线MH过定点. 【答案】（1） （2）由题意双曲线C的右焦点，直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为， 因为直线与双曲线左，右两支分别交于两点， 所以， 设，将直线的方程代入中， 得到， 则，，所以， 直线的方程，又直线 ，联立可得， 所以直线的方程为 ， 又直线的方程是，联立可得 ， 又，所以H的坐标是， 所以直线的方程是： 令，由，， 得， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由条件及点到直线的距离公式求，由左顶点的坐标求，进而得到的方程即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与曲线方程可得，的值，由给定条件求的坐标，从而得到直线的方程，进而得到定点即可. 【小问1详解】 因为C的一条渐近线方程为， 所以点A到渐近线的距离为， 所以，所以双曲线C的方程是 . 【小问2详解】 略 19. 对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，满足：（1）对任意的，；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“压缩函数”.区间上所有“压缩函数”构成的集合记作. （1）判断下列函数是否属于集合？（请直接写出结论） ① ② （2）设，若，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，，均有.求M的最小值，并说明理由. 【答案】（1）①属于集合，②不属于集合； （2）； （3）M的最小值为3，理由如下： 一方面，令，则，. 对任意的，，，不妨设. （a）若，则 （b）若，则 （c）若，则，所以. 综上，， 由，得， 另一方面，设，对任意的， （a）当时， （b）当时，由，得，故； （c）当时，由，得，故； （d）当时， 综上，恒成立， 所以的最小值为3. 【解析】 【分析】（1）根据题设给定的新定义判断即可； （2）根据新定义有单调递减，对其求导有，即可得； （3）令得，再从必要性验证恒成立，即可得. 【小问1详解】 ①属于集合，②不属于集合. ①，，则；1， 表示任意两点斜率的绝对值，所以最大为，符合； ②，，则； 当1，则，而，不符合； 【小问2详解】 若，时，单调递增. 令，则， 则需，即需单调递减， 而，则，即， 显然符合题意，此时； 综上， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $