湖北省竹山县第二中学2026届高三下学期普通高等学校招生仿真模拟考试数学试卷

2026年普通高等学校招生仿真模拟统一考试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 个 9 答案 B A B C D A ACD 1 12.-1 13. 14.815 20 【12-14评分标准】按照参考答案标准给分 15.(①)由余弦定理得：c2=d2+b2-2 ab cosC代入 =37所以c=√37.5分) (aS-ab inc=×43xsm120=35a分 2 由题意可知∠ACD=∠ACB-∠BCD=120°-30°=90° o号acc0-n30-}4cD}c0 2 S.AC-CD.i90=x3xCDx1=3CD 2 2 2 (11分) SABc=SAcD+S,BcD得方程： CD-35解得：CD=6y52分剂 2 5 因此，S.cD=CD=6 5(3分) 【第2问补充下图解法】 法-：44Bc中：A 中A=C 享的冰号 又A确 ·4= —91 t△Aen中， 03M=气 5 .一3. 法2：S4@ 4c0 3 =2 SsecD 士B印%0 2 2 及=级一13 5 5 高三仿真模拟考数学答案第1页共8页 日 二 是 16.(1)由题意，因为2+1-2m=1+ia=Re(2n) aut-a=Re()-Re()=Re(-)= a=Re(z)=Re(1)=1,a=Re(z)=Re(1) 通项公式为4.=1+(n-1)×1=n.(6分) (1)由(1)得bn=ni”则Sn=1i+2i2+3i3+. iSn=1i2+2i3+34+..+n-1)-i"+n-i ①-②得(1-)Sn=i+i2+i+..+i”-ni 等比数列求和1十2+十=0-12分） 1-i 代入得Q-0S,=0--n-州1两边同除以1 1-i 3=0严0-m+0- .(15分 1-)21-i 【补充下图解法】 第习这Ξ :2nt12nt1十c 。2n)以2,1为服.以什三差 岂美加3 2n1t(I+n-)2n+-)d 0n2ke(3n)二h 第二问，讨论了结果中的I的周期性也给分 n-nc 2 negktp.b6 n+(m 2 n4h+) -n2tni n24k十2 2 -nH-(n元 n≥4h3 2 高三仿真模拟考数学答 Re1+i)=1(3分) =1所以数列{4}是以1为首项，1为公差的等差数列 ,+ni”①两边同乘i得 ②(9分) i,化简得 CN 州 案第2页共8页 17.(1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，有 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),C(4,2,0),E0,0,2) BD=(-1,2,0),AC=(4,2,0),AE=(0,0,2) BD·AC=-4+4=0三BD⊥AC(3分) BD·AE=0→BD⊥AE(4分) AC∩AE=A,AC,AEc面ACE,故BD⊥面ACE(6分) (其余几何法或向量法酌情给分)》 【法二】证tan∠ADB=tan∠ACD= 3 【法三】BD/: 【法四】AD2=D02+AO2(O为交点) (2)设H(x,y,z),H为△BDE垂心，列出下列方程： Ei.BD=-x+2y=0①：BH,DE=-2y+2z=0②：(8分) 再求平面BDE的法向量m:由m·BD=-a+2b=0,m·BE=-a+2c=0, 令b=1,得m=(2,1,1),H在平面BDE内，故B班⊥m,得方程：2(x-1)+y+z=0③，联 211 立①②③：得H 333 .(12分) BC=(3,2,0),B7= 111 3x+2%=0 333 设法向量n1=(x,,)，则 -x+y+21=0 令x=2,得n1=(2,-3,5).(13分) -4x2=0 CD=(-4,0,0),CE=(-4,-2,2),设法向量n2=(,y2,2),则 -4x-2y2+22=01 令3=1，得n2=(0,1,1).(14分) 故00-S,不面B07与面c8夹角的杂花他为 .(15分) n1n219 19 【法二】由BD=BE=√5，取DE的中点G,则BG⊥DE,所以H∈BG,平面BCH即为平面BCG,下 求两平面法向量即可【优点不需求点H的坐标】 高三仿真模拟考数学答案第3页共8页 18.(1)f'(x)=2xex-xex=x(2-x)ex.(1分) 当x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减：当0<x<2时，f(x)单调递增：x>2时，f'(x)<0,f(x) 单调递减.因此，f(x)的单调递减区间为(-0,0)和(2，+0)，单调递增区间为(0,2).(3分) 极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=4e2.(4分) ②对任意x>0,xe≤(r+)恒成立因为x+1>0,参变分离得k≥te令 x+1 8(r)=x'e x十x>0),则的最小值为(y的最大值求导得6分) g的2x-re-tDro1-"Pa例 (x+1) (x+1)2 令g'(x)=0,解得x=√2(x=-√2舍去)当0<x<√2时，g'(x)>0,g(x)单调递增：当x>√2 时，g'(x)<0,g(x)单调递减所以g(x)在x=√2处取得最大值 8()=②)'e6 =2(V2-1)e5因此，实数k的最小值2（√2-1）e5.(9分) V2+1 (3)已知ae=be且a≠b,两边同时除以ee得aea=beb即f(a)=f(b) 由(1)知，f(x)在(0,2)单调递增，在(2，+o)单调递减，故不妨设0<a<2<b.设b=ta,其中t>1,代 入f(a)=f(b)得aea=taea约去a2并取自然对数得-a=2lnt-to整理得 2Intb=2rht 因此ab=4r血t (12分) t-1 t-1 (t-1)2 要证d<4,只证血t<4→hn't<《-)两边同时开平方得 (t-1)2 fi<1-1s1<听75别 含0=i- 左血z》,则有0=+片+2业_5》0因此0在 2v1 21t t 2tvt 2tvt (L,+o)上单调递增，所以h(t)>h(1)=0,即ab<4.证毕.(17分) 【评分标准】按照参考答案标准给分 高三仿真模拟考数学答案第4页共8页 1g0消s味两点标aa亏am写)-{长受Aaea告6am）号 (1分) 代入椭圆有向积定义计算： S(R.P)== 2 4 4 (2)对于任意两个不同的点P,P,设它们的参数分别为日， 2i沉和6， 2j江，则 n S(P,P)=xy;-xy,=acos8·bsin0-acos0·bsin8=ab(cos8sin0,-cos8sin2)化简 得SB,P)=absin(0,-g)=absin2U-0r） ,(5分) 记d=i-jl(1≤d≤n-1),则S(P,P)=ab sin ∫2d）=0解得2r=krk∈2)即2d=m.结 n n 合1≤d≤n-1的范围，唯一可能的整数解为k=1,即d=二(6分) 2 故若n为奇数”不是正整数，不存在满足条件的间隔d,因此取法种数为0.若n为偶数：B,P关于原点 对称，因此不重复的取法种数为二.(7分) 由，P关于原点对称因此 P(acos8,bsinθ)，P,(acos(8+π)，bsin(8+π)=(-acos0,-bsinθ) bsin0 bsine =y-0 bsinbsine 两式 kacos e+a a(cos0+1)RAx-(a)-acoseta ad 相乘并化简kgA·gA bsine -bsin0 -b'sin'0b'sin'e b2 a(cos0+1)a(1-cosθ)a(1-cos2θ) a'sig=a=e-1 故k4·kBA为定值(9分) (3)由题意，随机变量X的表达式为：X=T(P,P,P)=S(P,P)+S(P,P)+S(P,P)2数学期望的 线性性质：对于任意随机变量Y,Y,Y,有E(y+Y,+Y)=E(Y)+E(Y)+E(Y).由于从n个点中 随机抽取三个不同的点，任意两个不同的点被同时选中的概率完全相等，因此 E[S(E,P)]=E[S(E,P)]=E[S(E.,P)]故E(X)=3E[S(E,P)]11分) 从n个点中任取两个不同的点，总取法数为组合数C:=m0-少由(2知 2 高三仿真模拟考数学答案第5页共8页 S(P,P)2=a'b'sin 2d 对于每个固定的间隔d(1≤d≤n-1),恰好有n个有序点对满足 2 i-=d,对应”个无序点对.因此，所有无序点对的S总和为 ∑s,Py=-ab:m 2dπ a2b2n-.2 2dπ >sin 2 15分) 2 di 1-1 对任意正整数23，有习sm2k” n -号(n为4的倍数时互余角的正弦值配淡得) 代A得有六的S8来为三SgP子的圆肤两公装学期 1<i<jsn ab'n' 为8.P]7 ab'n -20n-1) 故有E)=3xabn- 3ab'n .(17分) 2(n-1)2(n-1) 【评分标准】按照参考答案标准给分 【8.11.14详解】 8.详细答案：设A(x1,乃)，B(x,y2),C(x3,y3),焦点F(1,0)。由抛物线性质PF=xp+1和等差数列 条件得：2|BF曰AF|+CF一2x2=x1+x3 向量和：A+FB+FC=(x+x2+x3-3y1+y2+y)=(3(x-1),y+y+y)模长： 1FA+FB+FC上V9(x,-1)+(y+y+y)2,下面说明|FA+FB+FC1最小值为0 当x2=1时，横坐标项为0。此时y=±2，不妨取y2=2,设x=1+4,x3=1-4,解方程： -2i+a+2M-a=-2sa=5 ∈(0,1)符合条件故存在满足条件的点A,点C使乃+y2+=0, 故模长最小值为0。答案为A 11.详细答案：对于选项A 法一：由正弦定理，a2+b2=2c2等价于sinA+sin2B=2sin2C用降幂公式化简 1-c0s2A1-o82B-2.1-cos2C整理得c0S24+c0s2B=2c0s2C 2 2 2 高三仿真模拟考数学答案第6页共8页 和差化积2cos(A+B)cos(A-B)=2cos2C由cos(A+B)=-coSC,代入 得：-2c0sC·c0s(A-B)=2cos2C,化简得 c08(A-B)=-cos2C=1-2c082C1 --2 cos C （*) cosC -cos C cos 由锐角三角形条件，三个角均小于 2,c0(A-B)= _-2cosC∈(0,1刂 cosC 推得Ce ππ 故cosC 43A正确 法二（简单但无法散后续选项：由余弦定理，c08C-。+b-c_2c-c由基本不等式 2ab 2ab 2ab +b≥2b代入a+b=2得2c≥2ab即c≥ab因此co8C2总=放C≤A正确 对于选项B由积化和差公式：sin Asin B=[c0s(A-B)-cos(A+C]={cos(A-B)+cosC]代 入(*)得：sin Asin B 11 -2.cosC+cosC= -cosC令 2 cosC 22 显然f(x)单调递减.因此sin Asin B的取值范围是 √23 ]，B正确. 44 对于选项C由积化和差公式：co0sB=lc08(A+)+cos(A-B别=cos(A-到-cosC代 入等式()得cos A cos B 令g(9=1-3x,xE 1√2 √21 22 显然g(x)单调递减因此cos Acos B的取值范围是 ,C正 1 44 确 对于选项D由d2+b'=2c,令1=- (锐角三角形条件，CosA>0,c0sB>0加余弦定理 代入口+h=2c齐次后解不等式，则也5.1+1 ,令0-G+)°=1+21 Vt2+1 ，由对勾函 t+1t2+1 数性质，t+之≥2，故2≤1，即0≤2.因此+色sV5万=2，即a+b≤2c=2,当且仅当t=1 t2+1 即a=b时等号成立.即a+b的最大值为2，无最小值，D错误. 高三仿真模拟考数学答案第7页共8页 14.详细答案：显然唯一的人数分配结构为：1个班选2人，剩下4个班各选1人，且每个班有C=3种选2人 的方式（男1女1，男1，女2，女1女2）. 正难则反只算男生人数不足2人的选法数（即男生0人或1人的选法数） 步骤一，1.先选1个班级作为选2人的班级：C=5种选择；2.对选中的这个班，选2人：C3=3种选法： 3.对剩下的4个班级，每个班选1人：每个班有C=3种选法，共34=81种选法.因此总选法 数：W=C×C×34=5×3×81=1215 步骤二，计算男生人数为0的选法数（全女生）要求选的6人全为女生，即所有选中的人都来自每个班的2 名女生，因此无男生选法数：N=C×C×24=5×1×16=80. 步骤三，计算男生人数为1的选法数，要求选的6人中恰好有1名男生，分两种情况：情况1：这名男生来自 选2人的班级此情况选法数：C×C,×16=160. 情况2：这名男生来自选1人的班级此情况选法数：C×1×C4×2=160.因此男生1人的总选法数 N,=160+160=320 综上N=N点-N。-N1=1215-80-320=815 高三仿真模拟考数学答案第8页共8页绝密★本科目考试启用前 2026年普通高等学校招生仿真模拟统一考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： ①答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。 ②回答选择愿时，选出每小愿答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字 笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 ③考试结束后，考生须将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知复数z满足z+z=4,z·z=5,以1z日 A.5 B.5 C.2 D.±2 2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={xeNr2<10),则CA= A.（4,5,6 B.(5,6 C.{L2,3 D.{3,4,5,6 3.学校科技节开幕式，某科创社团有2名男生和4名女生报名担任志愿者.从中随机抽取3人负 责机器人展示环节的引导工作，则恰好抽到1名男生和2名女生的概率为 A 2-5 C D 年.已知双曲线C: y =1(a>0,b>0)的一条渐近线斜率为2，焦距为2√5，则C的离心率为 A.√2 B.5 C.5 D.2W5 高三仿真摸拟考数学试卷第1页共4页 5.将函数y=s血(5x+(0>0)的图象向右平移”个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则P的 12 最小值为 A合 7π B. 12 c D. lπ 2 6.△ABC中，AB=3,AC=4,D是BC的中点，则AD.BC= A月 B.7 c D.25 7.已知2°=3,3°=4,5=4，则下列大小关系正确的是 A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,抛物线上有三个不同的点A,B,C,满足MF,BF,CF成 等差数列.则|FA+FB+FCI的最小值为 A.0 B.1 C.2 D.3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体则 A.该几何体的体积为 0 B.该几何体的表面积为12+2√5 C.该几何体的外接球半径为√ D.该几何体有7个面 10.已知圆C:(x-2)2+0y-1)2=4,直线/：mx-y+1-m=0(m∈R),则 A.直线1恒过定点(1,1) B.当m=0时，直线1与圆C相切 C.存在实数m使得直线1与圆C相交于A么，B两点且4- D.若直线1与圆C交于A,B两点，则△ABC面积的最大值为5 11.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+b2=2c2.则 AC的最大值为写 B.血A5血B的最大值为子 C.cosAcos的最大值为月 D.若c=1,则a+b的最小值为2 高三仿真模拟考数学试卷第2页共4页 ▣▣ c33 a“1.%oa 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.已知曲线y=2+ar在点(L1+a)处的切线方程为y=4x+b,则a+b= 13.已知数列{a.)的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n22,都有a。=-S,·S-1,则a5= 14.某学校有5个班级，每个班级有1名男生和2名女生报名参加运动会，现要从这15名学生中选 出6人组成枚代表队，要求每个班级至少选1人，最多选2人，同时代表队中至少有2名男生， 这样的选法数为 四、解答题：本题共5小题，共刀分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,b=3,C=120'. (1)求边c的长度： (2)若点D在边AB上，且满足∠BCD=30',求△BCD的面积. 16.(15分) 已知复数z1=1,且对任意正整数n,21=z。+1+i(i为虚数单位)，记an=Re(zn)(Rc(z)表示复 数z的实部)。 (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b=a,·严，求数列{b}的前n项和S。 17.(15分) 如图，在四棱锥E-ABCD中底面ABCD中，AB‖CD,AD⊥AB, 已知AD=2,AB=1,CD=4,AE⊥面ABCD,且AE=2. (1)求证：BD⊥面ACE: (2)设H为△BDE的垂心，求平面BCH与平面CDE夹角 的余弦值。 高三仿真接拉考数李试叁第3页共4页 18.(17分) 已知函数∫(x)=xe (1)讨论∫(x)的单调性，并求其极值： (2)若对任意x>0,不等式∫(x)≤k(x+)恒成立，求实数k的最小值： (3)设a,b为两个不相等的正数，且a2e°=b2e°，证明：ab<4. 19.(17分) 在平面直角坐标系x0中，已知精圆C:号+长-e>b0左顶点为4(-a0右顶点 为A(a,O).对于椭圆C上任意两点A(x4,y),B(xa,ya),定义它们的“椭圆上的有向积” 为：S(LB)=xuya-xay4,对于椭圆C上任意三个不同的点AB,C,定义它们的新运算 为：T(4,B,C)=S(AB)2+S(B,C)+S(C,)2.设n为不小于3的正整数，在椭圆C上取n个不 同的点R.BR共中月的坐标为(aom2华sn2 n (kel,2,) (1)当n=6时，求S(B,P)的值： (2)从这n个点中任取两个不同的点，求满足S(P,P)=0的取法种数，并证明：对任意满足该条 件的两点，B,有k4·k4为定值： (3)若”为4的倍数，从这n个点中随机抽取三个不同的点，记为P,P,P,随机变量 X=T(P,P,P),求X的数学期望E(X)(用a,b表示). 高三仿真模权考数学试卷幕4页共4页 ▣▣ cs 35 a^“"1.%o¤