黑龙江大庆市祥阁学校2025-2026学年九年级下学期数学学科模拟训练（一）

**基本信息** 融合“一带一路”、传统建筑等时代与文化素材，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，考查数学抽象、推理与模型意识的九年级一模数学卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|数与式、图形性质、概率|以“墀头”构件考三视图，化学实验情境考概率计算| |填空题|8/24|函数、几何计算、规律探究|圆锥侧面展开求半径，二次函数“保值范围”创新设问| |解答题|10/66|方程应用、几何综合、函数建模|新能源充电站建设考分式方程，手臂机器人工作状态考解直角三角形|

祥阁学校九年级数学学科模拟训练 (一) 一.选择题：本题10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求 1.-|-2026|是( ） A. - 2026 B. 2026 C. D. 2.随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴.近十年国内生产总值年均增长达到121000000000000元,是全球经济发展的最大动力源,数据121000000000000用科学记数法表示为( ） A. 121×10¹² B. C. D. 1.21×10¹⁴ 3.下列四个博物馆的标志中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 4.墀头(chitóu)是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能.如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是( ) 5.下列说法正确的是( A.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离 B.平分直径的弦会垂直于这条直径 C.垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. A，B两组学生身高的平均数相同，方差分别为 则A组学生的身高较整齐 6.若一元二次方程+3x=4的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是( ) A. (-3,-4) B. (3,-4) C. (3,4) D. (-3,4) 7. 如图,△ABC中∠A=30°,E是AC边上的点,先将△ABE沿着BE翻折,翻折后△ABE的AB边交AG于点D,又将△BCD沿着BD翻折,C点恰好落在BE上,此时∠CDB=82°,则原三角形的∠B为( A. 78° B. 77° C. 76° D. 75° 8.在化学实验中，酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色.小明在实验中看到实验台上有四瓶没有标签的无色溶液，他只知道它们分别是KOH溶液、Mg(OH)溶液、稀盐酸稀硫酸.小明随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为( ) D. B. C. A. 9.如图是反比例函数 的图象，等腰Rt△ABC的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在少轴相x轴上，则点A的坐标为 ) A. (3,2) B (2,3) C .（） D. 10.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点,E是AB边上的点,AE=4,BE=8,点F是BC上的一点,△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是 A) A. 2 B. 4 -2 C. 2₁. L 4 7题图 9题图 二.填空题：本题8小题，每小题3分，共24分. 11.要使代数式 有意义，则x的取值范围是 . 12.因式分解： . 学科网（北京）股份有限公司 13.若不等式组 的解集是-1<x<1,则 14. 已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为6，则其底面圆半径为 . 15.若关于x的分式方程 有增根，则m的值是 . 16.在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有 架无人机. 17题图 17.如图，在矩形ABCD中，分别以点B，C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，以点B为圆心，BA的长为半径作弧，在矩形ABCD的内部与直线EF相交于点P，连接AP并延长，交CD于点Q.若Q是CD的中点，则 . 18.对于二次函数 当自变量x的取值范围为p≤x≤q(p<q)时，对应的函数值y的取值范围也恰好是p≤y≤q，我们称p≤x≤q为该二次函数的“保值范围”.若二次函数 存在“保值范围”p≤x≤q，且p<1<q，则实数m的取值范围是 三.解答题：本题.10-小题，共66分. 19.(4分)计算: 20. (4分) 先化简,再求值: 其中 21. (5分)为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站? 22.(6分)“手臂机器人”大家可能听说过，如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似，这种机器人一般由大、小臂组成，立柱与大臂间形成肘关节，可使大臂作回转运动和俯仰运动，小臂作俯仰摆动，如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC分别为机器人的大,小臂,其中小臂BC=3米,大臂AB=4米,移动基座AO=2.8米,当AB⊥BC,∠OAB=143°时，求点C到工作台的距离CD的长(参考数据：s 23.(7分)每年的4月23日是世界读书日.某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查(每人必选其中一项)，其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读1~3小时，C：每周课外阅读3~5小时，D：每周课外阅读5小时以上.将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图. 请根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 ，n= ； (2)直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为 ； (4)若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人 学科网（北京）股份有限公司 24.(7分)如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE. (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； (2)若DE⊥DC, DC=10,BE=13,求线段DE的长. 25.(7分)为支持大学生勤工俭学，市政府向某大学生提供了1万元的无息贷款用于销售某种自主研发的产品，并约定该学生用经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件10元，每天还要支付其他费用25元.该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)关系为y=-x+40. (1)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大?最大利润为多少元?(注：每天的利润=每天的销售利润一每天的支出费用) (2)若销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过50%，则该学生最快用多少天可以还清无息贷款? 26.(8分)如图，正比例函数y=-2x与反比例函数 的图象交于点P，且点P的纵坐标为8.过点P作PQ⊥x轴于点Q. (1)求k的值; (2)点A在线段PQ上,若OA=PA, ①求OA的长; ②点B为x轴负半轴上动点，当△OAB与△PAB的面积相等时，请直接写出所有符合题意的点B的坐标. 27.(9分)如图，PA是圆O的切线，A为切点，过点P作圆的直径交圆于点B，C两点，M为PA上一点，连接MB并延长交圆于点N，E为BN上一点，且MA=ME，连接AE并延长交圆于点D，连接BD. (1)求证: ∠BAD=∠DBE; (2)求证: (3)若 求圆的直径. 28.(9分)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知点A(-2,0)、B(6,0)、C(0,8)、 在同一个二次函数的图象上. (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线BE平分∠ABC,交y轴于点E, ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段BE的点F处，求此时抛物线顶点F的坐标； ②如果点P在射线BE上，当△PBC与△BOE相似时，请求点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $大庆市祥阁学校九年级数学学科模拟训练（一）答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 A D B D A B A C C C 1.A 【详解】解：--2026=-2026 2.D 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键.需将数字表示为α×10”的 形式，其中1≤a<10,n为整数 【详解】解：121000000000000=1.21×104， 故选：D 3.B 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形如 果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形， 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键 【详解】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意： B.是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意： C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意： 故选：B 4.D 【详解】解：该几何体的左视图为： 5.A 【分析】根据点到直线的距离定义，垂径定理，平行线判定，方差越小数据越稳定逐项判定 即可 【详解】解：A、根据点到直线距离的定义，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫 答案第1页，共19页 做点到这条直线的距离，故本选项符合题意 B、因为平分直径的弦是直径，所以根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可知平分直径 的弦不一定垂直于这条直径，故本选项不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项不符合题意： D、因为S?<S,所以B组学生的身高较整齐，故本选项不符合题意： 6.B 【分析】先将方程化为一般形式，求出m,得到点坐标，再根据对称特征求对称点坐标即可. 【详解】解：x2+3x=4 x2+3x-4=0,其中a=1,b=3,c=-4, m=b=-3,n==-4,即点坐标为(3,4)。 a a .点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y), .点（-3,4)关于y轴对称的点为(3,4) 7.A 【分析】在图①的△ABC中，根据三角形内角和定理，可求得∠B+∠C=150°；结合折叠的 性质和图②@③可知：∠B=3∠CBD,即可在△CBD中，得到另一个关于∠B、∠C度数的等 量关系式，联立两式即可求得∠B的度数， 【详解】解：在△ABC中，∠A=30°，则∠B+∠C=150①； 根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD,∠BCD=∠C; 在△CBD中，则有：∠CBD+∠BCD=180°-82°，即： }<Br∠C=8@ ①-@，得：子∠B52 解得∠B=78°. 故选A ① ② ③ 【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性 答案第2页，共19页 质发现∠B和∠CBD的倍数关系是解答此题的关键， 8.C 【分析】先确定能使酚酞变红的溶液数量，再列举出所有等可能的选瓶情况，找出符合条件 的情况数，利用概率公式计算即可得到结果。 【详解】解：由题意可知，四瓶溶液中，能使酚酞变红的碱溶液共2瓶，不能使酚酞变红的 酸溶液共2瓶.将两瓶变红溶液记为R,R,两瓶不变红溶液记为A,A,. 从4瓶中随机选2瓶，所有等可能的情况为 (R,R),(R,A)（R,A),（R2,A),（R,A),（A,A),共6种 其中只有一瓶变红色的情况共4种， 所求概率P= 42 63 9.c 【分析】过点A作x轴的平行线，交y轴于点D,过点C作CE1DA,构造一线三等角，然 后证得△ABD≌△ACE,证得点A的横纵坐标相等，将点A代入反比例函数中求解， 【详解】解：过点A作x轴的平行线，交y轴于点D,过点C作CE L DA, 交DA的延长线于点E, JA ∴.∠ADB=∠AEC=90° 又.VABC是等腰直角三角形， ∴.∠BAC=90°，AB=AC, ∠DAB+∠ABD=90,∠DAB+∠CAE=90, .∴.∠ABD=∠CAE、 [∠ADB=∠AEC 在△ABD和△ACE中 ∠ABD=∠CAE, AB=AC :.△ABD≌△ACE(AAS), 答案第3页，共19页 .AD=CE, ∴.点A的横纵坐标的绝对值相等， 又点A在第一象限 点A的横纵坐标相等， 设点A(m,m),m>0,且点A在反比例函数y=（x>0)上， 6 解得m=√6 点A的坐标为6,6) 10.C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补 等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键 法一：由动点可识别瓜豆模型，构造△AEQ∽aGEF,进而再证△AEG∽△QEF,所以可知 AG=)r,进而求出QF最小值即可， 法二：过E作M⊥BC于点M,作M⊥AB于点H,作AI⊥GM于点L,则，点E、M、F, G四点共圆，从而得到AI=MH,因为AG≥GF,所以求出MH的值即可解答 【详解】解：法一：如图，过E作EQ∥BC,过A作AB的垂线交EQ于点Q, B 则∠AEQ=∠B=60°， .∠AQE=30°=∠EFG, .∠GEF=∠EAQ=90°， ∴.△AEQ∽△GEF, AEEO EG EF AE EG EO EF ,∠AEG=∠QEF=60°+∠QEG 答案第4页，共19页 .△AEG∽△QEF, AGAE =sin30°=1 OF OE GOF. 过E作EH⊥BC于点H,则EH=BE·sin60°=4， 点F是BC上的一点， ∴.QF1BC时最小，此时QF=EH=4W3, AG最小值为0F=25: 法二：如图，过E作EM⊥BC于点M,作MH⊥AB于点H,作AI⊥GM于点I, D E H B MF .'∠EMF+∠EGF=180°， 点E、M、F、G四点共圆， .∠EMG=∠EFG=30°， .∠B=60° ∴.∠BEM=30°=∠EMG, .MG⊥AB ∴.∠HMF=∠MHA=90°，∠HAI=∠AIM=90° .四边形HAI是矩形， ∴.MH=AI, ∵BE=8, .EM=BE.cos30°=4V5, Mm=M=25=A. .AG≥1=2N5, ∴.AG最小值是2√3 故选：C 答案第5页，共19页 11.x≥-1且x≠2 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列不等式求解即可。 【详解】解：要使代数式x+有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， x-2 x+1≥0 可得 x-2≠0 解不等式x+1≥0得x≥-1， 解不等式x-2≠0得x≠2， 因此x的取值范围是x≥-1且x≠2. 12.a(2-b)(2+b) 【详解】原式=a(4-b）=a(22-b2)=a(2-b)(2+b)· 13.1 【分析】本题考查了已知不等式组的解集求字母参数的值，代数式求值，解答关键是根据数 轴比较解集得到字母参数的值， 解出不等式组的解集a+2<x<名，与已知解集-1<x<1比较，得到a+2=山， b=1,求出 a=-3,b=2,然后代入(a+b)024求解即可. x-a>2① 【详解】解： 1b-2x>0② 解不等式①得，x>a+2, b 解不等式@得，x<2 ∴.不等式组的解集为a+2<x< x-a>2 不等式组 的解集是-1<x<1, b-2x>0 ∴.a+2=-1, b-1 .a=-3,b=2 .(a+b)2024=(（-3+2)204=1. 故答案为：1. 14.3 答案第6页，共19页 【分析】设底面圆半径为r,根据题意列方程2=6π求解即可. 【详解】解：如图所示， 设该圆锥底面圆半径为”， 由题意得，侧面展开半圆的弧长为π×6=6π， 根据侧面展开扇形弧长等于圆锥底面周长，可得2π=6π， 解得r=3, .该圆锥底面圆半径为3 15.-2 【分析】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握处理增根问题的步骤：①让最简公 分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的 值， 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x+2=0,把x=-2代入整式方程 计算求出m的值即可. 【详解】解：x-3=m x+29x+2 x-3x-6=m =-2x-6, 由分式方程有增根，得到x+2=0,即x=-2, 将x=-2,代入上式得，m=-2×(-2)-6=-2 故答案为：-2 16. 50 【分析】本题考查了图形变化的规律，代数式求值.根据前3个图案无人机的数量，推算出 第n个图案无人机的数量为2n架，再将n=5代入，即可求解. 【详解】解：第①个图案无人机的数量为2×1=2（架）， 第②个图案无人机的数量为2×22=8（架）， 答案第7页，共19页 第③个图案无人机的数量为2×32=18（架）， … 第n个图案无人机的数量为22架， 当n=5时，2×52=50（架）. 17. 2 【分析】设AB=x,AD=y,根据作图可知EF为BC的垂直平分线，再由勾股定理可表示PM 的长度，由此可表示PN的长度，结合三角形相似边成比例求解即可. 【详解】解：在矩形ABCD中，ADI BC,AB=CD,AD=BC 记EF与BC的交点为M,EF与AD的交点为N,如图， p M 根据作图可知，EF为BC的垂直平分线，且BP=AB, .EF为AD的垂直平分线，四边形ABMN是矩形， .MN=AB=CD,且MNCD‖AB, 设AB=x,AD=y, :BP=x,BM=AN-Y, 在BMP中M=BP-BM-R-产， .MIN=AB=x, N=N-PM=r√ 2是CD的中点， 0 MNICD .△ANP∽△ADO, 答案第8页，共19页 AN PN 即2兰 AD DO y 1 整理可得 X= 4 4 两边同时平方可得9x 2=x2-12 16 则5.1 √7 4x=2y,即y= 2 , 小4AD=y=2 AB xx 2 18. 0≤m<2 【分析】根据二次函数的保值范围的定义即可求出t的值；先根据二次函数的“保值范围” 的定义结合二次函数的性质得到p=m-1,再分两种情况结合二次函数的性质讨论求解即可. 【详解】解：二次函数为y=x2-2x+m=(x-12+m-1,顶点坐标为(1，-1)； .当p<1<q且p≤x≤q时，二次函数的最小值为m-1, ,函数y=x2-2x+m存在“保值范围”卫≤x≤9 .p≤y≤q, .p=m-1; 则-2+m= ∫q-2g+m≤q p°-2p+m≤qp2-2p+m=q 对于 q-2q+n=9. p2-2p+m≤q 则p2-2p+m≤q-2q+m, 整理得：(p-q)(p+q-2)≤0， p<1<q, .p-9<0,9-1>0, .p+q-2≥0， 由q-2q+m=q及p=m-1,得p=-q+3q-1, ∴.（-q9+3q-1+q-2≥0， 即(q-1)(q-3)≤0， 答案第9页，共19页 由于q-1>0,则q-3≤0， .q≤3， p<1<q, .1<q≤3； ∴.m=p+1=-q+3q=- g- :.0≤m≤4 对于 ∫q2-2q+m≤4 p2-2p+m=q1 则(q-p(q+p-2)≤0， p<1<q, .p+q-2≤0， 由p2-2p+m=q及p=m-1,得p2-p+1=q, .p+p2-p+1-2≤0， 即(p-1)(p+1)≤0 .p<1<q .p-1<0 .∴.p+1≥0 即m≥0， p<1, .m-1<1, .m<2, 则0≤m<2; 综上，当0≤m<2时满足题意. 19.-2+V3 【分析】本题考查了实数的运算，掌握各运算法则、特殊角的三角函数值及运算顺序是解题 的关键.先计算出乘方、立方根、特殊角的三角函数值及绝对值，再按运算顺序计算即可. 【详獬】解：原式=-1+(-2)+3x1-(2-V5) 答案第10页，共19页 =-1-2+3-2+5 =-2+√5 20.15 x-1’6 【分析】括号里先通分进行分式加减运算，然后再进行分式乘除运算，根据特殊角的三角函 数值求出x的值后代入，即可得出最后结果 【详解】解： x+1-1 =(x+1)(x-1)x+1 x+1 (x+1)(x-1)x s、1 x-11 当x=25n45+2tm60°=×5+2xV5=1+25时. 2 11 1-3 x-11+2W3-12W36 原式= 6 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记分式混合运算的运算法则以及特殊的三角函数值 是解答本题的关键 21.原计划平均每月建成200座充电站 【分析】设原计划平均每月建成x座充电站，分别表示出原计划和实际的时间，再根据“提 前3个月完成任务”建立分式方程求解 【详解】解：设原计划平均每月建成x座充电站，根据题意可列方程为 1800_1800=3, x1.5x 解得x=200 经检验x=200是所列方程的解，且符合题意 答：原计划平均每月建成200座充电站 22.4.2米 【分析】延长OA,DC,过点B作OD的平行线，与OA,DC分别交于M,N,在△ABN中， 解直角三角形得到AN,在△MBC中，解直角三角形得到MC,从而得到CD 答案第11页，共19页 【详解】解：如图，延长OA,DC, 过点B作OD的平行线，与OA,DC分别交于M,N 则∠CMB=∠CBA=∠ANB=90°， .∠OAB=143°， .∠BAN=37°， 在△ABN中，AB=4,∠BAN=37°， cos∠BAN=AW-4Aw AB 4' .∴.AN=4c0s37°=4×0.8=3.2， ∴.ON=OA+AN=6, .∵MBA+∠BAN=90°，MBC+∠NBA=90°， .∴.∠MBC=∠BAN=37°. 在△MBC中，BC=3, n∠MBc=C-MC=0.60, BC 3 .∴.MC=1.8 .CD=DM-MC=ON-MC-4.2 ∴.CD的长为4.2米 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键 23.(1)50,32 (2)见解析 (3)108° (4)每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名 【分析】(1)用A的人数除以占比即可求出样本容量；用B的人数除以样本容量即可求出 n; (2)用样本容量乘以D的占比求出D的人数，然后求出C的人数，然后补全统计图； 答案第12页，共19页 (3)用360°乘以C的占比即可求出对应扇形的圆心角； (4)用2000乘以C和D的占比即可求解， 【详解】(1)解：本次调查的样本容量是8÷16%=50； n9%=16x1009%=329% 50 ∴.n=32; (2)解：D的人数为50×22%=11（人） .C的人数为50-8-16-11=15（人） 补全条形统计图如下： 人数 16 16 15 14 10 8 8 4 01 A B CD每周阅 读时长 (3)解：扇形统计图中“C部分对应扇形的圆心角为360°×1 =108°； 50 (4解：2000x15+1=1040(名) 50 答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名. 24.(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质及勾股定理， (1)根据平行四边形性质得出ADF=BEF,DAF行EBF,证明△ADF≌△BEF(AAS), 得出AD=BE即可证明结论； BF=)AB=5,DBAB,根据勾股定 【详解】(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形， :.AD∥BC,即AD∥BE .ADF=BEF,DAF行EBF, ,点F是AB的中点， .AF=BF, 答案第13页，共19页 .△ADF≌△BEF(AAS), ∴.AD=BE, .四边形AEBD是平行四边形 (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=10,AB∥CD, F是AB的中点， ..BF=-AB=5, 2 DE⊥DC, .DE⊥AB ·,四边形AEBD是平行四边形 .EF=DF=VBE2-BF2=V132-52=12 ∴.DE=24. 25.(1)当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；(2)该生最快用100天可以 还清无息贷款 【分析】(1)计算利润=销量×每件的利润-支付的费用，化为顶点式，可得结论： (2)先得出每日利润的最大值，即可求解. 【详解】(1)1w=(-10)(-x+40)-25 =-x2+50x-425 =-(x-25)2+200 'a=-1<0, .当x=25时，日利润最大，为200元， .当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元： x≥10 (2)由题意得 x-10≤50% 10 解得：10≤x≤15， p=-（x-25)+200, .a=-1<0, .抛物线开口向下，当x<25时，w随x的值增大而增大， 答案第14页，共19页 .当x=15时，日利润最大为m=-(15-25+200=100元， .10000÷100=100 .该生最快用100天可以还清无息贷款 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大利润的问题常利用函数的增 减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其 中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值） 26.()-32(2)①5，@(-10.0)或(，y 【分析】(1)根据一次函数图象上点的坐标特征求出，把点P的坐标代入反比例函数解析 式求出k: (2)①根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案： ②根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出符合题意的点B的坐标 【详解】解：(1)设点P的坐标为(m,8)， :点P在正比例函数y=-2x上， .-2m=8, 解得，m=4, ∴点P的坐标为(4,8) k=-4×8=-32; (2)①设OA=n,则PA=n, 点P的纵坐标为8， ∴.AQ=8-n 在RtAQ0中，AQ+OQ=OA2,即(8-)2+42=n2, 解得，n=5,即OA=5; ②设点B的坐标为(t,0)t<0), 则oB=-t,B24-t, 由(2)可知，A9=8-5=3, 由题意得，3x()×54-, 解得，1=10或弓 答案第15页，共19页 :当△01B与△PAB的面积相等时，点s的坐标为（←10,0）或（号。 【点晴】本题考查的是反比例函数的图形和性质、三角形的面积计算、勾股定理是的应用， 掌握反比例函数的性质、一次函数的性质是解题的关键 27.(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握 弦切角定理是解题的关键 (I)根据弦切角定理可得∠PAB=∠BDA,然后根据等边对等角得到∠MAE=∠MEA,然 后根据角的和差和三角形的外角得到结论即可； (2)根据∠BAE=∠DBE,∠D=∠D证明△DBE∽DAB,即可得到结论： (3)连接AC,则∠BAC=90°，然后根据∠PAB=∠C进行解题即可. 【详解】(1)证明：PA是圆O的切线， ∴.∠PAB=∠BDA,(需要连接半径证明弦切角定理) 又'MA=ME, ∴.∠MAE=∠MEA, 又'MAE=∠PAB+∠BAE,∠MEA=∠BDA+∠DBE, ∠BAE=∠DBE; (2)证明：∠BAE=∠DBE,∠D=∠D .'.△DBEDAB BD DA BE BD' 即BD2=DB·DA; (3)连接AC, PA是圆O的切线， .∠PAB=∠C 又：BC是圆O的直径， .∠BAC=90°， 答案第16页，共19页 si∠PAB=sin∠C=AB_1 BC=3 .BC=5AB=5. .圆的直径为5， 28.(1)y=- 3 (2)①F(2,2）②R(-2,4),P(4,5) 【分析】(1)把解析式设为交点式，再把C(0,8)代入解析式中求解即可； (2)①过点E作EH1BC于H,由角平分线的性质得到OE=E.利用勾股定理求出 BC-10,进而利用等面积法求出o8=3,则EQ3).求出直线服解析式为y=之+3， 再求出对称轴为直线x=2,由此即可求出F(2,2)；②先求出OE=3,OB=6,设 P(2,-m+3),则PC2=5m2+10m+25,PB2=52-30m+45,分当△PBC∽△OBE时，当 △PBC∽△EBO时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可. 【详解】(1)解：设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-6)(a≠0)， 把C(0,8)代入y=a(x+2)(x-6)(a≠0)中得：a(0+2)(0-6)=8, 第a子 二次函数解析式为y=一 +2-0=子+号+8 (2)解：①过点E作EH I BC于H, .射线BE平分∠ABC,EH⊥BC,EO⊥AB, ..OF=HE B(6,0)、C(0,8), .OC=8OB=6, ∴.BC=√OC2+OB2=10, SABOC =SABCE +SABOE :.OB-OC-LOE.OB+-BC.HE, 3x6x8=30B+508 答案第17页，共19页 .0E=3, .E(0,3), 设直线BE解析式为y=c+b, 「6k+b=0 {b=3 2, b=3 1 ~直线配解析武为y=2+3, ‘二次函数解析式为y=- +8+8 3 3 8 .对称轴为直线x=- 3 =2 3+3 在y=3中，当=2时。y=2。 .F(2,2; B ②E(0,3),B(60), .OE=3,OB=6, 设P(2m,-+3), ∴.PC2=(2m-0+(-m+3-8)=52+10m+25, PB2=(2-62+(-1m+3-0)2=5m2-30m+45, 当&PECAOBE时，则-O2-=2, PC OE 答案第18页，共19页 5m2-30+45 5m2+102+25 ∴.5m2-30m+45=20m2+40m+100, .3m2+14m+11=0 解得m=1或m=-1马 (舍去)， 3 P(-2,4): 当△PBCAEBO时，则PC_OE_1 BC OB2 :.52+10m+251 100 4 .∴.m+2=0 解得m=-2或m=0(舍去)， P(4,5); 综上所述，P(-2,4)或P(4,5) 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质， 一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键. 答案第19页，共19页