精品解析：青海省西宁市虎台中学2025-2026学年下学期八年级数学期中检测试卷

西宁市虎台中学2025—2026学年度第二学期八年级数学期中检测试卷 （试卷满分：100分，考试时间：90分钟） 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 4. 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分； B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形； C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质； D. 对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形； 6. 图是第七届国际数学教育大会（）会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图）演化而成的．如果图中的，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点，某同学以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是（ ） A. 任意四边形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 8. 如图，正方形的边长为4，点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，过点作，垂足为，连接，则有以下结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 10. 若一个边形的内角和等于它外角和的5倍，则的值为_____． 11. 计算：_____． 12. 已知在数轴上的位置如图：化简的结果为______． 13. 如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 14. 如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，则的长为_____． 15. 如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 16. 如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，，则的面积是_____． 17. 如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值_______． 18. 如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 三、解答题（共56分，第19题12分、第20、21、22各8分，第23、24题各10分） 19. 计算下列各式： （1）； （2）． 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 21. 如图，在中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，． （1）求线段的长． （2）判断是什么特殊三角形，并说明理由． 22. 如图，在等边三角形中，，于点，点是上一点，延长到点，使． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则四边形的面积是________． 23. 如图，在中，是边上一点，是的中点，过作的平行线交的延长线，且，连接． （1）求证：点是的中点； （2）当满足什么条件时，四边形为矩形，并说明理由． 24. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有________（一个即可）； ②如图1，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； （2）知识运用 如图2，菱形是“勾股四边形”，对角线、交于点，，，则四边形的面积是________． （3）拓展应用 如图3，是正三角形，，且，．求证：，即四边形是“勾股四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市虎台中学2025—2026学年度第二学期八年级数学期中检测试卷 （试卷满分：100分，考试时间：90分钟） 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先明确二次根式的定义，二次根式需要同时满足两个条件：根指数为2，且被开方数（式）为非负数，再逐个判断各式得到二次根式的个数． 【详解】解：①是二次根式； ②在中，由于a的取值未定，不能保证被开方数为非负数，故不是二次根式； ③是二次根式； ④不是二次根式； ⑤不是二次根式； 综上，符合要求的二次根式共2个，故选B． 2. 下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 3. 在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理与勾股定理逆定理，计算各选项的角度或边长关系，即可求解． 【详解】解：∵三角形内角和为， 对选项A，设，由， 得，， 则， 解得 ，则，，，三个内角均不为，故△ABC不是直角三角形； 对选项B，，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 对选项C，设三个角分别为，，，则， 解得，得最大角， 是直角三角形； 对选项D，由移项得，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 综上，不能判断为直角三角形的是A选项． 4. 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分； B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形； C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质； D. 对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形； 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质进行判断即可得． 【详解】解：A、矩形和平行四边形都具有对角线互相平分这一条性质，则此项错误，不符合题意； B、有三个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则此项错误，不符合题意； C、因为正方形是矩形（四条边都相等的矩形是正方形）和菱形（有一个内角是直角的菱形是正方形）的特殊情形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质，则此项正确，符合题意； D、对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键． 6. 图是第七届国际数学教育大会（）会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图）演化而成的．如果图中的，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2＝，OA3＝，找到OAn＝的规律，即可计算OA8的长． 【详解】解：∵OA1＝1， ∴由勾股定理可得OA2＝， OA3＝ …， ∴OAn＝， ∴OA8＝， 故选择：D 【点睛】本题考查了勾股定理，数字类的找规律，勾股定理求得OAn＝是解题的关键． 7. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点，某同学以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则四边形是（ ） A. 任意四边形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，结合尺规作图可知，从而得出，再根据可证四边形为平行四边形，最后由邻边相等判定为菱形． 【详解】解：在中，是斜边上的中线 以为圆心，长为半径作弧交于点 ，即 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形． 8. 如图，正方形的边长为4，点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，过点作，垂足为，连接，则有以下结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】证明得出，即可判断①，进而证明是等腰直角三角形，即可判断②，得出，进而得出，即可判断③，根据勾股定理求得，得出，进而得出，根据是等腰直角三角形，即可得求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，． ∴， ∴， ∴，结论①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，结论②正确； ∵， ∴是直角三角形． ∵是等腰直角三角形，， ∴是的中点， ∴， ∴，结论③正确； ∵ ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴，结论④正确． 综上，4个结论均正确，故选：D． 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式和分式的有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 且， 解得且． 10. 若一个边形的内角和等于它外角和的5倍，则的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式以及多边形的外角和定理．利用多边形的外角和是，一个n边形的内角和等于它外角和的5倍，则内角和是，而n边形的内角和是，则可得到方程，解之即可． 【详解】解：根据题意列方程，得： ， 解得：， 即边数n等于12． 故答案为：12． 11. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，平方差公式的应用，将原式拆分为同指数幂的乘积与剩余因式的乘积，逆用积的乘方法则，结合平方差公式化简计算即可． 【详解】解： ． 12. 已知在数轴上的位置如图：化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置比较大小、绝对值的化简、二次根式的性质、整式的加减运算，根据点在数轴上的位置，推出，，再化简绝对值，根据二次根式的性质进行化简，最后根据整式加减运算法则计算即可． 【详解】解：∵，，在数轴上的位置如图所示， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 14. 如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由等边对等角可得，进而由直角三角形两锐角互余可得，即得，得到，即得到，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴点是的中点， ∵， ， 又 ∵是边上的中点， ∴是的中位线， ， ． 15. 如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图， ∴． 16. 如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可推出，根据折叠的性质可得，进而得到，推出，最后根据勾股定理得出，则，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠可得：， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴ ∴． 17. 如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作， ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 三、解答题（共56分，第19题12分、第20、21、22各8分，第23、24题各10分） 19. 计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先计算乘除法，再合并同类二次根式即可求解； （2）先运用完全平方公式及平方差公式化简，再合并同类二次根式即可求解． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值； （1）先求出，，再由进行计算求解即可． （2）先求出，再由进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴． 21. 如图，在中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，． （1）求线段的长． （2）判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】（1）25 （2）直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴是三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理逆定理即可解答． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：略． 22. 如图，在等边三角形中，，于点，点是上一点，延长到点，使． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则四边形的面积是________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形三线合一可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再利用垂直平分线的判定与性质可得，即可得证； （2）勾股定理求得，得出，进而根据菱形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：是等边三角形，， ， ， 四边形是平行四边形， 在上，，， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵是等边三角形，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 23. 如图，在中，是边上一点，是的中点，过作的平行线交的延长线，且，连接． （1）求证：点是的中点； （2）当满足什么条件时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）突破口是为中点且，因为，所以可得内错角相等，结合对顶角相等和，可证明，得到，再结合已知，即可推出； （2）首先由且，可判定四边形是平行四边形，要使其为矩形，根据矩形判定定理，需添加一个角为直角的条件，结合是中点，考虑等腰三角形三线合一定理推导需满足的条件． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中：   ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴点是的中点． 【小问2详解】 当 ，四边形为矩形，理由如下： ∵ ，且 ， ∴ 四边形是平行四边形, ∵， 且由（1）得是中点， 得 ， 即 ， ∴ 平行四边形是矩形． 24. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有________（一个即可）； ②如图1，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； （2）知识运用 如图2，菱形是“勾股四边形”，对角线、交于点，，，则四边形的面积是________． （3）拓展应用 如图3，是正三角形，，且，．求证：，即四边形是“勾股四边形”． 【答案】（1）①正方形；②见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解，②根据勾股定理计算出对角线，再根据情况画出即可； （2）根据菱形的性质及“勾股四边形”的定义得出四边形是正方形，根据正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质得出，根据即可得出答案； （3）根据等边三角形的性质得出，，根据，得出是等边三角形，可得，，进而证明，得出，根据得出，利用勾股定理即可得出，进而可得答案． 【小问1详解】 解：①∵正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， ∴正方形是“勾股四边形”． ②∵，， ∴， ∵，为勾股边，且对角线相等， ∴， ∴如图，四边形， 【小问2详解】 解：∵菱形是“勾股四边形”， ∴， ∴相邻两边的平方和相等， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 证明：∵是正三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是“勾股四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $